一平面圖形的面積課件

一、平面圖形的面積二、由平行截面面積求體積第十章定積分的應(yīng)用（一）由平行截面面積求體積直接應(yīng)用－－－求旋轉(zhuǎn)體的體積面積公式（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)）一、平面圖形的面積二、由平行截面面積求體積第十章定1一、平面圖形的面積如果函數(shù)y=f(x)(f(x)

0)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則由曲線(xiàn)y=f(x)、x軸與直線(xiàn)x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積為復(fù)習(xí)：Oxyaby

f(x)一、平面圖形的面積如果函數(shù)y=f(x)(2由上下兩條連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線(xiàn)x=a、x=b所圍成的圖形的面積S如何求？考慮如下問(wèn)題：Oxy1、若圖形在x軸上方，aby

f(x)y=g(x)y=g(x)注意圖形的形成由上下兩條連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)、y=g(x)3aby

f(x)y=g(x)Oxy2、若圖形不在x軸上方，y

f(x)+my=g(x)+mm將圖形平移到x軸的上方由上下兩條連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線(xiàn)x=a、x=b所圍成的圖形的面積S如何求？考慮如下問(wèn)題：1、若圖形在x軸上方，abyf(x)y=g(x)Oxy2、4

結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線(xiàn)Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注：

(1)當(dāng)曲線(xiàn)f(x)=0或g(x)=0時(shí)，上述公式也成立。Oxyaby

f(x)g(x)=0Oxyaby

g(x)f(x)=0結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)、y=g(x)與左右兩5Oxyaby

f(x)g(x)=0aby

f(x)g(x)=0Oxyaby

f(x)g(x)=0(2)當(dāng)左右兩邊縮為一點(diǎn)時(shí)，上述公式也成立。(3)積分區(qū)間就是圖形在x軸上的投影區(qū)間。

結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線(xiàn)Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注：

(1)當(dāng)曲線(xiàn)f(x)=0或g(x)=0時(shí)，上述公式也成立。Oxyabyf(x)g(x)=0abyf(x)g(6(4)如果y=f(x)有分段點(diǎn)c，則需把圖形分割后計(jì)算。Oxyaby

f(x)g(x)=0y

f1(x)y

f2(x)c結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線(xiàn)Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注：

(1)當(dāng)曲線(xiàn)f(x)=0或g(x)=0時(shí)，上述公式也成立。(2)當(dāng)左右兩邊縮為一點(diǎn)時(shí)，上述公式也成立。(3)積分區(qū)間就是圖形在x軸上的投影區(qū)間。(4)如果y=f(x)有分段點(diǎn)c，則需把7討論：由左右兩條連續(xù)曲線(xiàn)x=y(y)、x=j(y)與上下兩條直線(xiàn)y=c、y=d所圍成的圖形的面積S如何求？Oxycdx=y(y)x=j(y)答案：

結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線(xiàn)Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為討論：Oxycdx=y(y)x=j(y)答案：結(jié)論：由上8abxyOS1結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線(xiàn)Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為例1.求橢圓所圍成的圖形面積。解：設(shè)橢圓在第一象限的面積為S1，則橢圓的面積為abxyOS1結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)、y=g(9解：由對(duì)稱(chēng)性，圖形面積是第一象限部分的兩倍。S=2[]

例2

求曲線(xiàn)y=21x2、y211x+=與直線(xiàn)x3-=、

xO-11y解：由對(duì)稱(chēng)性，圖形面積是第一象限部分的兩倍10解：由對(duì)稱(chēng)性，圖形面積是第一象限部分的兩倍。S=2[]=2[])233(31-+=p?2.11

例2

求曲線(xiàn)y=21x2、y211x+=與直線(xiàn)x3-=、

解：由對(duì)稱(chēng)性，圖形面積是第一象限部分的兩倍11

例3計(jì)算拋物線(xiàn)y2

2x與直線(xiàn)x

y

4所圍成的圖形的面積。8y-22x2O444(8,4)(2,-2)解：求兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)得：(2，

2)，(8，4)。將圖形向y軸投影得區(qū)間[

2，4]。=18。思考：為什么不向x軸投影？

S=18]61421[)214(4232242=-+=-+--òyyydyyy

例3計(jì)算拋物線(xiàn)y22x與直線(xiàn)xy12一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程

給出時(shí),按順時(shí)針?lè)较蛞?guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值則曲邊梯形面積一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程給出時(shí),按順時(shí)針?lè)较?3極坐標(biāo)情形求由曲線(xiàn)及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為極坐標(biāo)情形求由曲線(xiàn)及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)14對(duì)應(yīng)

從0變例5.計(jì)算阿基米德螺線(xiàn)解:到2

所圍圖形面積.對(duì)應(yīng)從0變例5.計(jì)算阿基米德螺線(xiàn)解:到215例6.計(jì)算心形線(xiàn)所圍圖形的面積.解:(利用對(duì)稱(chēng)性)例6.計(jì)算心形線(xiàn)所圍圖形的面積.解:(利用對(duì)稱(chēng)性)16二、由平行截面面積求體積設(shè)一立體在x軸上的投影區(qū)間為[a,b]，過(guò)x點(diǎn)垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續(xù)函數(shù)，求此立體的體積。(3)令l=max{Dxi}，則立體體積為(1)在[a,b]內(nèi)插入分點(diǎn)：

a=x0<x1<x2<

<xn-1<xn=b，(2)過(guò)xi(i=1,2,

,n-1)且垂直于x軸的平面，把立體分割成n個(gè)小薄片，第i個(gè)小薄片體積的近似值S(xi)Dxi。將n個(gè)小薄片體積的近似值相加得立體體積的近似值xOax1xi-1xixnbV=?=?ni10limlS()Dxi

=òbaS(x)dx。

二、由平行截面面積求體積設(shè)一立體在x軸上的投影區(qū)間17垂直x軸的截面是橢圓例7.

計(jì)算由曲面所圍立體(橢球體)解:它的面積為因此橢球體體積為特別當(dāng)a=b=c時(shí)就是球體體積.的體積.垂直x軸的截面是橢圓例7.計(jì)算由曲面所圍立體(橢球體18例8.

一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成

角,解:如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x軸的截面是直角三角形,其面積為利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.例8.一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交19思考:可否選擇y作積分變量?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?提示:思考:可否選擇y作積分變量?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么20Oxbay區(qū)間[a,b]上截面積為S(x)的立體體積：右圖為由連續(xù)曲線(xiàn)y

f(x)、直線(xiàn)x

a、x

b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。y

f(x)關(guān)鍵是確定截面面積Oxbay區(qū)間[a,b]上截面積為S(x)的立體體積：21當(dāng)考慮連續(xù)曲線(xiàn)段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束截面面積為于是有當(dāng)考慮連續(xù)曲線(xiàn)段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),機(jī)動(dòng)22

例9連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h，r)的直線(xiàn)、直線(xiàn)x

h及x軸圍成一個(gè)直角三角形。將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體。計(jì)算這圓錐體的體積。所求圓錐體的體積為hrxyO曲線(xiàn)y=f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積：區(qū)間[a,b]上截面積為S(x)的立體體積：例9連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h，r)的直線(xiàn)23例10.

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標(biāo)方程則截面面積(利用對(duì)稱(chēng)性)于是例10.計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積24方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a時(shí),就得半徑為a的球體的體積方法2利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a時(shí),就得半25例11.

計(jì)算擺線(xiàn)的一拱與y＝0所圍成的圖形分別繞x軸,y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.解:

繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為利用對(duì)稱(chēng)性例11.計(jì)算擺線(xiàn)的一拱與y＝0所圍成的圖形分別繞x軸26繞

y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為注意上下限!注意分段點(diǎn)！繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為注意上下限!注意分段點(diǎn)！27分部積分注(利用“偶倍奇零”)分部積分注(利用“偶倍奇零”)28例12.

求曲線(xiàn)