材料力學(xué)講義五一

Chapter6DeflectionofBeams第六章彎曲變形第六章彎曲變形

(DeflectionofBeams)

§6-1基本概念及工程實例（Basicconceptsandexampleproblems)

§6-4

用疊加法求彎曲變形

(Beamdeflectionsbysuperposition)§6-3

用積分法求彎曲變形（Beamdeflectionbyintegration)§6-2

撓曲線的微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)§6-5靜不定梁的解法(Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams)§6-6

提高彎曲剛度的措施(Themeasurestostrengthenrigidity)

§6-1基本概念及工程實例（Basicconceptsandexampleproblems）一、工程實例（Exampleproblem）但在另外一些情況下,有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形,以滿足特定的工作需要.例如,車輛上的板彈簧,要求有足夠大的變形,以緩解車輛受到的沖擊和振動作用.1.撓度（Deflection）二、基本概念（Basicconcepts）w撓度C'CABwx橫截面形心C（即軸線上的點）在垂直于x軸方向的線位移,稱為該截面的撓度.用w表示.2.轉(zhuǎn)角

（Slope）轉(zhuǎn)角

AC'CwB

xw撓度（橫截面對其原來位置的角位移,稱為該截面的轉(zhuǎn)角.用

表示3.撓曲寬線（De路fl鞭ec逆ti倍on的c赤ur榨ve）梁變申形后芹的軸稠線稱況為撓脂曲線.式中,x為梁鞭變形放前軸粘線上傭任一醫(yī)點的額橫坐品標,w為該容點的嘆撓度.撓曲形線wAB

x轉(zhuǎn)角

w撓度（C'C撓曲線方程（equationofdeflectioncurve）為4.撓度笛與轉(zhuǎn)末角的扯關(guān)系（Re轎la嬸ti摩on培sh倒ip趕b能et漲we殼ende葛fl姥ec村ti號onan裹d妻sl矩op貪e）：wABx轉(zhuǎn)角

w撓度C'C撓曲線5.撓度帝和轉(zhuǎn)緞角符拜號的窩規(guī)定（Si烤gn雀c給on暖ve曠nt頭io內(nèi)n縣fo俘r荒de將fl饑ec翻ti炕onan睡d歡sl惠op冶e）撓度孝向上捏為正,向下舞為負.轉(zhuǎn)角自x轉(zhuǎn)至熱切線位方向,逆時磁針轉(zhuǎn)姥為正,順時雨針轉(zhuǎn)干為負.

wABx轉(zhuǎn)角

w撓度C'C撓曲線§6繭-2撓曲跪線的芹微分積方程（Di爪ff讓er臥en席ti優(yōu)al歡e斑qu隱at激io浪n評of疼t鞭he嫩d溝ef筐le賠ct榆io偶n燈cu堂rv混e)一、砍推導(dǎo)計公式（De賣ri仔va貪ti咸on役o犬f恰th排e轉(zhuǎn)fo哀rm緣瑞ul嘩a)1.純彎鈔曲時曲率與彎鏟矩的備關(guān)系（Re處la息ti鏟on刑sh養(yǎng)ip沸b設(shè)et普we膏en絞t金he假c毀ur援va醒tu寸re繭o撲f富be閉am雄a區(qū)nd考t循h(huán)e欲b獄en掌di炕ng棚m累om俘en櫻t）橫力每彎曲床時,M和

都是x的函蕩數(shù).略去寺剪力轎對梁等的位昂移的舟影響,則2.由數(shù)亭學(xué)得姿到平誦面曲蒼線的傾曲率（Th乓e額cu時rv量at考ur礙e視fr較om撐t豈he衣m觸at晝he厚ma評ti智cs）在規(guī)鑰定的前坐標敞系中,x軸水宇平向飾右為正,w軸豎奴直向?qū)毶蠟槁氄?曲線帝向上牲凸時:OxwxOw因此,與的正負號相同曲線認向下誘凸時:此式清稱為梁的賄撓曲采線近李似微嗎分方俗程（di大ff權(quán)er斷en懶ti旺al座e蝦qu股at薯io揉n媽of給th與e沫de叢fl智ec平ti停on紋c登ur醫(yī)ve）(6故.5萍)近似原因:（1）略去了剪力的影響;（2）略去了

項;（3）與1相比十分微小而可以忽略不計,故上式可近似為§6革-3用積壩分法培求彎硬曲變惰形（Be寺am蓄d趴ef悉le陡ct吧io也n鹽by捐i歉nt樂eg電ra魔ti易on青)一、握微分膀方程嚴的積私分（In桂te霉gr敘at確in脹g學(xué)th惡e凈di筒ff窮er喇en窗ti腥al取e類qu蘭at堂io荒n唇)若為赤等截玻面直舉梁,其抗哀彎剛額度EI為一賄常量煌上式稈可改泉寫成2.再積那分一粒次,得撓威度方辮程（In唯te梯gr壓at踩in沖g催ag繳ai杠n遠gi撇ve錄s逼th會e渴e體qu僅at碼io萬n喪fo域r緒th餃e芹de干fl恨ec薯ti妻on）二、線積分僻常數(shù)娛的確愉定（Ev艇al否ua叼ti缺ng貨t窩he鄉(xiāng)豐c封on簡st瘡an尖ts袋o襪f庫in核te兩gr牲at雀io督n）1.邊界捧條件（Bo薄un沒da渠ry挖c迅on驢di瀉ti啦on丘s）2.連續(xù)質(zhì)條件（Co卸nt夢in磚ue育c今on嚴di悲ti饑on循s）1.積分憲一次委得轉(zhuǎn)漂角方帳程（Th跑e刪fi陽rs推t托in受te富gr筆at尼io康n期gi斑ve欺s辭t鉛he崇e留qu序at釋io峰n暴fo別r病th置e壟sl賊op跨e）AB在簡支梁中,左右兩鉸支座處的撓度和都等于0.在懸臂梁中,固定端處的撓度和轉(zhuǎn)角都應(yīng)等于0.ABABxFw例題1圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用.試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角（1）陽彎矩將方程開為解：（2）孩撓曲唯線的評近似縫微分榴方程化為xwABxF對撓瓣曲線潛近似鋤微分橫方程慰進行益積分梁的莊轉(zhuǎn)角始方程淹和撓王曲線蝦方程岸分別鐮為邊界條件將邊界條件代入（3）（4）兩式中,可得BxyAF（）都發(fā)生在自由端截面處和（）例題2圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用.試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其和ABql解:由對稍稱性傍可知,梁的逢兩個拿支反稍力為ABqlFRAFRBx此梁業(yè)的彎敏矩方虜程及細撓曲維線微優(yōu)分方章程分戲別為梁的慣轉(zhuǎn)角神方程占和撓嬌曲線轎方程茫分別敏為邊界條件x=0和x=l時,

xABqlFRAFRB

A

B在x=0和x=l處轉(zhuǎn)央角的王絕對陣值相五等且斜都是搏最大傘值，最大速轉(zhuǎn)角龍和最夠大撓皮度分鍬別為wmax在梁跨井中點拘處有最大園撓度款值例題3圖示愛一抗戲彎剛肅度為EI的簡掏支梁,在D點處大受一形集中茂力F的作漏用.試求恰此梁訴的撓針曲線初方程遙和轉(zhuǎn)徐角方袍程,并求扎其最夜大撓印度和凱最大朽轉(zhuǎn)角.ABFDabl解:梁的狂兩個貸支反剃力為FRAFRBABFDabl12xx兩段化梁的拍彎矩諸方程艇分別貫為兩段尊梁的冷撓曲砌線方酸程分卻別為（a）（0

x

a）撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程（b）（a

x

l）D點的繪連續(xù)圓條件邊界糕條件在x=a處在x=0處,在x=l處,代入考方程使可解暫得:ABFDab12FRAFRB（a）（0

x

a）（b）（a

x

l）將x=浸0和x=l分別甲代入菜轉(zhuǎn)角那方程養(yǎng)左右孫兩支宿座處侍截面違的轉(zhuǎn)睛角當a>b時,右支誼座處彼截面腫的轉(zhuǎn)霧角絕悄對值脾為最悼大簡支梁的最大撓度應(yīng)在處先研究第一段梁,令得當a>b時,x1<a最大猛撓度疾確實蛙在第房誠一段自梁中梁中常點C處的蠶撓度寧為結(jié)論:在簡殼支梁乎中,不論孝它受威什么翅荷載娃作用,只要場撓曲漢線上莫無臺拐點,其最艇大撓京度值趟都可微用梁棋跨中唐點處頸的撓部度值輸來代睬替,其精短確度薪是能膚滿足科工程閣要求巷的.（a）對蓬各段故梁,都是顯由坐兔標原仙點到壇所研篩究截煌面之昌間的蘋梁段灣上的外千力來雞寫彎防矩方隔程的.所以萌后一謙段梁川的彎錫矩方碎程包威含前爺一段挨梁的改彎矩披方程.只增塊加了(x-螞a)的項.（b）對(x-渣a)的項文作積愚分時,應(yīng)該劈燕將(x-北a)項作李為積禍分變暫量.從而感簡化終了確矩定積橫分常淡數(shù)的幟工作.積分法的原則§6搞–4用疊貧加法沒求彎凳曲變氏形（Be觀am嗎d珍ef炎le澇ct插io荷ns闖b走y沉su剖pe舅rp康os鈴it偉io宵n）梁的蔥變形謊微小,且梁厘在線柏彈性跟范圍瘡內(nèi)工熄作時,梁在蠅幾項備荷載(可以口是集逮中力,集中頓力偶繞或分禮布力)同時婚作用除下的靈撓度貼和轉(zhuǎn)倒角,就分狡別等探于每但一荷攜載單霸獨作胞用下碑該截專面的須撓度錯和轉(zhuǎn)碰角的投疊加.當每一駐項荷愛載所主引起纏的撓新度為累同一宵方向(如均皆沿w軸方朋向),其轉(zhuǎn)擊角是在船同一自平面篇內(nèi)(如均蝴在xy平面霜內(nèi))時,則疊偽加就蹄是代酬數(shù)和.這就是疊蜜加原假理.一、攜疊加久原理（Su辱pe六rp可os季it滋io摔n）1.載荷解疊加（Su繞pe勵rp宣os壞it莫io屑n尊of衡l顧oa焦ds）多個俗載荷饑同時懸作用悲于結(jié)患構(gòu)而冒引起惰的變排形等獸于每竭個載陷荷單勉獨作耽用于東結(jié)構(gòu)匆而引調(diào)起的梢變形列的代說數(shù)和.2.結(jié)構(gòu)吃形式暑疊加旬（逐相段剛先化法驢）按疊漏加原極理求A點轉(zhuǎn)氏角和C點撓觀度.解:（a）載荷滲分解陳如圖（b）由梁新的簡符單載紛荷變鬧形表,查簡界單載李荷引央起的異變形.BqFACaaF=AB+ABq（c）疊加qFF=+AAABBBCaaq例題4一抗筒彎剛魂度為EI的簡歐支梁堡受荷尿載如悉圖所蛾示.試按傷疊加希原理幻玉求梁張跨中概點的互撓度wC和支膠座處千橫截洽面的把轉(zhuǎn)角

A,

B。ABCqMel解:將梁較上荷絕載分愛為兩估項簡悲單的往荷載,如圖績所示ABCqMe(a)lBAMe(c)lAq(b)BlCC()()()例題5試利用砌疊加蹈法,求圖吧所示擦抗彎打剛度耍為EI的簡攔支梁璃跨中算點的左撓度wC和兩蝴端截器面的勾轉(zhuǎn)角

A,

B.ABCqll/2ABCq/2CABq/2q/2解:可視貝為正泥對稱畫荷載槳與反聰對稱壞荷載殃兩種可情況讓的疊冊加.（1）正弊對稱拘荷載刪作用煤下ABCq/2CABq/2q/2（2）反召對稱嘉荷載適作用榴下在跨炭中C截面嫂處,撓度wC等于贊零,但拆轉(zhuǎn)角晃不等奴于零服且該金截面浪的屑彎毒矩也淚等于襯零可將AC段和BC段分繳別視科為受肥均布枝線荷病載作立用且酸長度炕為l/2的簡京支梁CABq/2q/2可得奇到：Bq/2ACq/2將相啊應(yīng)的放位移何進行篇疊加,即得()()()例題6一抗央彎剛缸度為EI的外收伸梁齊受荷志載如末圖所滋示,試按噴疊加費原理傷并利豪用附鎖表,求截細面B的轉(zhuǎn)童角

B以及A端和BC中點D的撓南度wA和wD.ABCDaa2a2qq解:將外提伸梁劇沿B截面取截成施兩段,將AB段看庫成B端固定膚的懸土臂梁,BC段看醫(yī)成簡融支梁.ABCDaa2a2qqBCDq2qa2qAB2qaB截面筑兩側(cè)笨的相街互作爐用為煮：簡支概梁BC的受貍力情姥況與崇外伸悔梁AC的BC段的尋受力晌情況陪相同由簡糖支梁BC求得陪的

B,wD就是叼外伸虹梁AC的

B,wD2qaBCDqqBCDBCD簡支鑼梁BC的變芹形就朗是MB和均看布荷煮載q分別訪引起碰變形鋒的疊秋加.由疊扎加原麻理得:DBC2qaBCDqDBC（1）求

B,wD（2）求wA由于悠簡支座梁上B截面墊的轉(zhuǎn)木動,帶動AB段一你起作被剛體始運動,使A端產(chǎn)威生撓介度w1懸臂敗梁AB本身垮的彎翻曲變義形,使A端產(chǎn)意生撓攀度w2A2qB2qaAC2qaBDq因此,A端的堪總撓態(tài)度應(yīng)炭為由表6-橋1查得二、亂剛度出條件（St弱if遍fn榨es偵s撿co弄nd個it被io心n）1.數(shù)學(xué)訪表達酸式（Ma晚th良em蜻at訴ic潛al延f魔or嬸mu詠la）2.剛度呆條件冷的應(yīng)溜用（Ap稿pl鋼ic疑at幫io挑n拆of抽s恒ti子ff用ne筒ss園c詳on昏di猶ti養(yǎng)on）（1）校核毛剛度（Ch副ec削k響th黨e江st燈if懷fn房誠es冠s毒of稼t找he賞b虹ea躺m）（2）設(shè)計彩截面組尺寸（De術(shù)te僵rm膚in商e筍th吧e柜al貿(mào)lo舅wa域bl刷e慮lo頓ad仙o傳n統(tǒng)th奧e望be蚊am）（3）求許臘可載悠荷（De斜te資rm熄in慢e廚th尿e床re耽qu晶ir前ed沈d那im寶en徐si辜on停s這of有t扯he查be沫am）是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角.和例7下圖拔為一嶼空心胳圓桿,內(nèi)外蒸徑分徐別為:d=4唯0m放m,D=8縫0m蒙m,桿的E=2績10伸GP勸a,工程芳規(guī)定C點的[w/L]=解0.炊00版00外1,B點的[

]=島0.孤00牽1弧度,試核此梢桿的漆剛度.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABB解:（1）結(jié)構(gòu)螺變換,查表舍求簡健單載記荷變甲形.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNB+F2BC圖2圖3+F2BCDAM=圖1F1=1kNDC（2）疊加帥求復(fù)掉雜載叨荷下區(qū)的變駝形F2=2kN=++圖1圖2l=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNDBC圖3F2BDAMACCF2（3）校核賺剛度:（rad）一、躲基本層概念（Ba隆si騙c紹co菊nc存ep蝕ts）1.超靜特定梁（sta股ti套ca睜ll剃y旁in賓de握te狡rm香in證at側(cè)e宰be鍛am雕s）§6徹-5靜不萄定梁光的解繼法（So舌l(xiāng)u你ti澡on雪m瓜et晃ho疤dsfo爭rsta眨ti煎ca屢ll行yin哭de每te聚rm劑in助at兆e拒be里am甚s）單憑投靜力飾平衡意方程損不能幫求出精全部差支反攏力的期梁,稱為懶超靜溜定梁FABABCFFRAFRBFRC2.報“多余雹”約檔束（Re枝du愚nd湊an曲t設(shè)co繳ns菊tr它ai蝦nt）多于貌維持搏其靜微力平柔衡所甚必需撐的約束3.夢“多余繁”反兇力（Re耀du誼nd綠an抗t僅re襲ac愛ti佳on）“多躬余”與相應(yīng)首的支屑座反美力FRBABCFFABFRAFRC4.超靜呢定次悼數(shù)（De改gr僑ee照o她fst欺at數(shù)ic運al仔l(wèi)yin惜de彈te售rm份in福at并e航pr蠅ob靠le拼m）超靜執(zhí)定梁負的訪“多處余”輸約梨束的數(shù)目算就等元于其丙超靜雖定次獨數(shù).n=未知呢力的默個數(shù)-獨立鄙平衡慘方程優(yōu)的數(shù)臭目二、友求解李超靜快定梁鄙的步懲驟(p汁ro捉ce諒du詞re斧f撈or語s東ol屆vi倘ng溜a罪st謝at形ic院al遼ly室i炭nd便et火er刻mi伏na挺te)1.畫靜叼定基腦建立貸相當纖系統(tǒng)：將可葬動絞毫鏈支匆座作亞看多余襲約束,解除妖多余強約束棄代之面以約婦束反銅力RB.得到巨原超奪靜定蛛梁的救基本緊靜定督系.2.列幾何雷方程——變形磚協(xié)調(diào)虹方程超靜剛定梁乓在多珠余約盲束處凳的約墾束條脖件,梁的艱變浮形協(xié)爭調(diào)條亂件ABqqABFRB根據(jù)勺變形唯協(xié)調(diào)威條件黑得變欄形幾夕何方階程:變形勾幾何斑方程彎為3.列物理卻方程—變形拳與力凈的關(guān)烘系查表的得qAB將力乘與變運形的融關(guān)系贈代入變形美幾何策方程必得補坊充方杰程4.建立海補充墳方程BAFRBqABFRB補充膝方程飯為由該酷式解巷得5.求解勝其它胞問題侍（反針力,應(yīng)力,變形煤等）qABFRBFRAMA求出屆該梁貌固定迅端的宅兩個劉支反籮力qABBAFRB代以帝與其膛相應(yīng)顧的多菜余反米力偶MA得基屯本靜目定系.變形戰(zhàn)相容乞條件挽為請同額學(xué)們昏自行鍋完成藝！方法逢二取支擺座A處阻含止梁植轉(zhuǎn)動野的約卸束為剩多余際約束.ABqlABqlMA例題8梁AC如圖餐所示,梁的A端用暗一鋼梁桿AD與梁AC鉸接,在梁揭受荷餅載作通用前,桿AD內(nèi)沒沫有內(nèi)凍力,已知豈梁和株桿用塌同樣柴的鋼蓮材制智成,材料剃的彈習(xí)性?；繛镋,鋼梁晚橫截萌面的駛慣性薪矩為I,拉桿鋪橫截即面的晃面積鍋為A,其余煙尺寸帖見圖,試求胞鋼桿AD內(nèi)的設(shè)拉力FN.a2aABCq2qDlCADBq2qAFNFNA點的線變形壤相容王條件改是拉蛋桿和熟梁在固變形應(yīng)后仍界連結(jié)痛于A點.即解:這是同一次傍超靜侵定問返題.將AD桿與膜梁AC之間據(jù)的連型結(jié)絞櫻看作砍多余筒約束.拉力FN為多狂余反法力.基本短靜定難系如庭圖ADBCq2qFNFNA1變形臣幾何臉方程聯(lián)為根據(jù)厚疊加晶法A端的眼撓度旋為BCq2qFNBCq2q在例成題海中已廉求得可算嶼出:CFNB拉桿AD的伸長為:補充方程為:由此解得:ADBCq2qFNFN例題9求圖捏示梁怒的支賤反力,并繪候梁的悟剪力勵圖和防彎矩躍圖.已知EI=配5

競103kN譜·m3.4m3m2mABDC30飲kN20哪kN忍/m解:這是對一次偏超靜婦定問尼題取支賭座B截面叮上的慚相對隔轉(zhuǎn)動秤約束末為多乓余約墾束.基本賴靜定惜系為付在B支座木截面瞞上安賓置鉸嘉的靜負定梁,如圖柳所示.4m3m2mABDC30kN20kN/m4m3m2mABDC30kN20kN/m多余丘反力冰為分侮別