2022年浙江省杭州市市交通職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

2022年浙江省杭州市市交通職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一種冰激凌機(jī)的模型上半部分是半球，下半部分是圓錐，其三視圖

如圖所示，則該型號(hào)蛋糕的表面積是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.雙曲線=1的漸近線方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】直接利用雙曲線方程求漸近線方程即可．【解答】解：雙曲線=1可得，所以雙曲線的漸近線方程為：y=±x．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，基本知識(shí)的考查．3.已知銳角的終邊上一點(diǎn)P（，），則等于

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：C4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，若，則a的最大值是（

）A．2018

B．2010

C．2020

D．2011參考答案：D由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，可得：，即，故函數(shù)的周期為12.令，解得，∴在上的根為5，7；又，∴的最大值在上，即.故選：D

5.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（

）A．有極大值－1

B．有極小值－1

C．有極大值0

D．有極小值0參考答案：A6.化簡(jiǎn)A.

B.

C. D.參考答案：D略7.若函數(shù)y=f(x)的圖象如圖，則函數(shù)y=f(1-x)的圖象大致為參考答案：A8.若與在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A．(－1,0)∪(0,1)

B．(－1,0)∪(0,1]

C．(0,1)

D．(0,1]參考答案：D根據(jù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，的對(duì)稱軸為，則由題意應(yīng)有，且，

即，故選D

9.函數(shù)＞，且的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上（其中m，n＞0），則的最小值等于A.16 B.12 C.9 D.8參考答案：D令，得，此時(shí)，所以圖象過定點(diǎn)A,點(diǎn)A在直線,所以，即.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，選D.10.拋物線y2=4x上有兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離之和為8，則A、B到y(tǒng)軸的距離之和為（）A．8 B．7 C．6 D．5參考答案：A【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】拋物線的準(zhǔn)線為x=﹣1，根據(jù)拋物線的定義可知A，B此拋物線焦點(diǎn)的距離之和等于xA+1+xB+1．【解答】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=﹣1．則點(diǎn)A到此拋物線焦點(diǎn)的距離為xA+1，點(diǎn)B到此拋物線焦點(diǎn)的距離為xB+1．∴點(diǎn)A、B到此拋物線焦點(diǎn)的距離之和為xA+1+xB+1=xA+xB+2=8+2=10．則A、B到y(tǒng)軸的距離之和為：10﹣2=8．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)，對(duì)?x∈[1，+∞），使不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立的實(shí)數(shù)m稱為函數(shù)f（x）的“伴隨值”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

．參考答案：m＜﹣1【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【專題】計(jì)算題．【分析】顯然m≠0，分當(dāng)m＞0與當(dāng)m＜0兩種情況進(jìn)行討論，并進(jìn)行變量分離即可得出答案．解：由f（mx）+mf（x）＜0整理得：2mx＜（m+），即2mx2＜m+恒成立．①當(dāng)m＞0時(shí)，2x2＜1+，因?yàn)閥=2x2在x∈[1，+∞）上無(wú)最大值，因此此時(shí)不合題意；②當(dāng)m＜0時(shí)，2x2＞1+，因?yàn)閥=2x2在x∈[1，+∞）上的最小值為2，所以1+＜2，即m2＞1，解得m＜﹣1或m＞1（舍去）．綜合可得：m＜﹣1．故答案為：m＜﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了恒成立問題的基本解法及分類討論思想，屬于難題，解決恒成立問題通常可以利用分離變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解．12.已知定義在R上的函數(shù)則=

.參考答案：

13.已知直線l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，則∥的充要條件是a＝.參考答案：-1略14.在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，，則AC=_______.參考答案：．由正弦定理得，所以.15.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z＝2x＋3y的最小值是________．參考答案：9略16.如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得

M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，則山高M(jìn)N=m．參考答案：150【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】由題意，可先求出AC的值，從而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，從而可求得MN的值．【解答】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100m．在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，從而∠AMC=45°，由正弦定理得，，因此AM=100m．在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，由得MN=100×=150m．故答案為：150．17.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，且

，則的值是___________．參考答案：4由得，即，所以，即。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.（10分）（2015?泰州一模）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A′B′C′D′中，DA=DC=2，DD′=1，A′C′與B′D′相交于點(diǎn)O′，點(diǎn)P在線段BD上（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合）．（1）若異面直線O′P與BC′所成角的余弦值為，求DP的長(zhǎng)度；（2）若DP=，求平面PA′C′與平面DC′B所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】：二面角的平面角及求法；異面直線及其所成的角．【專題】：空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】：（1）以為一組正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，由此利用向量法能求出DP的長(zhǎng)度．（2）求出平面DC'B的法向量和平面PA'C'的法向量，利用向量法求出設(shè)平面PA'C'與平面DC'B所成角的余弦值，由此能求出平面PA′C′與平面DC′B所成角的正弦值．解：（1）以為一組正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，由題意，知D（0，0，0），A'（2，0，1），B（2，2，0），C'（0，2，1），O'（1，1，1）．設(shè)P（t，t，0），∴，．設(shè)異面直線O'P與BC'所成角為θ，則，化簡(jiǎn)得：21t2﹣20t+4=0，解得：或，或．…（5分）（2）∵，∴，，，，，設(shè)平面DC'B的一個(gè)法向量為，∴，∴，即，取y1=﹣1，，設(shè)平面PA'C'的一個(gè)法向量為，∴，∴，即，取y2=1，，設(shè)平面PA'C'與平面DC'B所成角為φ，∴，∴．…（10分）【點(diǎn)評(píng)】：本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．19.在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=BC=1，E是PC的中點(diǎn)，面PAC⊥面ABCD．（Ⅰ）證明：ED∥面PAB；（Ⅱ）若PC=2，PA=，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形．得到DE∥AF，再由線面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，由題意證得A在以BC為直徑的圓上，可得AB⊥AC，找出二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解三角形可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值．法二、由題意證得AB⊥AC．又面PAC⊥平面ABCD，可得AB⊥面PAC．以A為原點(diǎn)，方向分別為x軸正方向，y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．求出P的坐標(biāo)，再求出平面PDC的一個(gè)法向量，由圖可得為面PAC的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF．∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，則四邊形ADEF是平行四邊形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB；（Ⅱ）解：法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．∴AB⊥AC，可得．過D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．過G作GH⊥PC于H，則PC⊥面GHD，連接DH，則PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，連接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．法二、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC，且AD=MC．∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如圖以A為原點(diǎn)，方向分別為x軸正方向，y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．可得，．設(shè)P（x，0，z），（z＞0），依題意有，，解得．則，，．設(shè)面PDC的一個(gè)法向量為，由，取x0=1，得．為面PAC的一個(gè)法向量，且，設(shè)二面角A﹣PC﹣D的大小為θ，則有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20.（12分）如圖，為了計(jì)算河岸邊兩景點(diǎn)B與C的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A和D兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)．現(xiàn)測(cè)得AD⊥CD，AD＝100m，AB＝140m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求兩景點(diǎn)B與C之間的距離(假設(shè)A，B，C，D在同一平面內(nèi))．參考答案：在△ABD中，設(shè)BD＝xm，則BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即1402＝x2＋1002－2×100×x×cos60°，整理得x2－100x－9600＝0，解得x1＝160，x2＝－60(舍去)，故BD＝160m.在△BCD中，由正弦定理得：＝，又AD⊥CD，∴∠CDB＝30°，∴BC＝·sin30°＝80．21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，點(diǎn)E、M分別在線段AB、PC上，且，其中，連接CE，延長(zhǎng)CE與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若時(shí)，求二面角的正弦值；（Ⅲ）若直線PE與平面PBC所成角的正弦值為時(shí)，求值．參考答案：（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）在線段上取一點(diǎn)，使得，，證明四邊形為平行四邊形，得到，然后證明平面．（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角的正弦值．（Ⅲ）令，，，，，求出平面的一個(gè)法向量利用空間向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】（Ⅰ）在線段上取一點(diǎn)，使得，，且，，，且，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，，1，，，0，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，，令，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，，令，，，，，，二面角的正弦值為．（Ⅲ）令，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，，令，，由題意可得：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．22.（本小題滿分12分）已知點(diǎn)，圓是以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。

(Ⅰ)若圓的切線在軸和軸上截距相等,求切線方程；

(Ⅱ)若是圓外一點(diǎn)，從P向圓引切線,為切點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有,求使最小的點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：(Ⅰ)設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，依題意得

∴圓的方程為

（2分）（1）若截距均為0,即圓的切線過原點(diǎn),則可設(shè)該切線為即,

則有,解得,此時(shí)切線方程為或.