2023年中考數(shù)學(xué)真題分項匯編（全國通用）：圓的有關(guān)性質(zhì)（共46題）（解析版）

專題23圓的有關(guān)性質(zhì)（46題）一、單選題1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，連接，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由是的直徑，得出，進(jìn)而根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理的推論，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，則（

）

A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】連接，由圓周角定理得，由得，，，在中，由，計算即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示，

，，，，，，在中，，，故選：B．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理，垂徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線．3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”．如圖，是以點O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值計算公式：．當(dāng)，時，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)，后代入公式計算即可．【詳解】連接，根據(jù)題意，是以點O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點，，

得，∴點M，N，O三點共線，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴∴．故選：B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．4．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點在上，為的中點．若，則等于（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，如圖所示，根據(jù)圓周角定理，找到各個角之間的關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示：

點在上，為的中點，，，，根據(jù)圓周角定理可知，，故選：A．【點睛】本題考查圓中求角度問題，涉及圓周角定理，找準(zhǔn)各個角之間的和差倍分關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．5．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先計算正五邊形的內(nèi)角，再計算正五邊形的中心角，作差即可．【詳解】∵，∴，故選：D．【點睛】本題考查了正五邊形的外角，內(nèi)角，中心角的計算，熟練掌握計算公式是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正確的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形【答案】B【分析】根據(jù)扇形的定義，即可求解．扇形，是圓的一部分，由兩個半徑和和一段弧圍成．【詳解】解：甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，只有乙是扇形，故選：B．【點睛】本題考查了扇形的定義，熟練掌握扇形的定義是解題的關(guān)鍵．7．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，若，，則扇形(陰影部分)的面積是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理求得，然后根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴．故選：B.【點睛】本題考查了圓周角定理，扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，，．若，，則的度數(shù)與的長分別為（

）

A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，【答案】C【分析】過點O作于點E，由題意易得，然后可得，，，進(jìn)而可得，最后問題可求解．【詳解】解：過點O作于點E，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，，，∴，，，∴，∴，∴；故選：C．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、圓周角定理及三角函數(shù)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、圓周角定理及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的圓心O與正方形的中心重合，已知的半徑和正方形的邊長都為4，則圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為（

）．

A． B．2 C． D．【答案】D【分析】設(shè)正方形四個頂點分別為，連接并延長，交于點，由題意可得，的長度為圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值，求解即可．【詳解】解：設(shè)正方形四個頂點分別為，連接并延長，交于點，過點作，如下圖：

則的長度為圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值，由題意可得：，由勾股定理可得：，∴，故選：D.【點睛】此題考查了圓與正多邊形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓與正多邊形的性質(zhì)，確定出圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值的位置．11．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦相交于點P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理，可以得到的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可以求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，故選：A．【點睛】本題考查圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出的度數(shù)．12．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點在上，是的中點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先計算正六邊形的中心角，再利用同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，圓周角定理計算即可．【詳解】如圖，連接，∵正六邊形，是的中點，∴，，∴，∴，故選：Ｃ．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，熟練掌握正多邊形中心角計算，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．13．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，弦交于點E，，，過點O作于點F，延長交于點G，若，，則的長為(

)

A． B．7 C．8 D．【答案】B【分析】作于點M，由題意可得出，從而可得出為等邊三角形，從而得到，再由已知得出，的長，進(jìn)而得出，的長，再求出的長，再由勾股定理求出的長．【詳解】解：作于點M，

在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴∠，∴，，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外接圓與外心、勾股定理等知識點，綜合性較強，掌握基本圖形的性質(zhì)，熟練運用勾股定理是解題關(guān)鍵．14．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于為對角線，經(jīng)過圓心．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由同弧所對圓周角相等及直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵為圓的直徑，∴，∴；故選：B．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，同圓中同弧所對的圓周角相等，直角三角形兩銳角互余，掌握它們是關(guān)鍵．15．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，都是的半徑，交于點D．若，則的長為（

）．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)一步可求出的長．【詳解】解：∵∴點為的中點，∵∴，由勾股定理得，∴∴故選：B．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及圓的有關(guān)性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵16．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是的八等分點．若，四邊形的周長分別為a，b，則下列正確的是(

)

A． B． C． D．a(chǎn)，b大小無法比較【答案】A【分析】連接，依題意得，，的周長為，四邊形的周長為，故，根據(jù)的三邊關(guān)系即可得解．【詳解】連接，

∵點是的八等分點，即∴，∴又∵的周長為，四邊形的周長為，∴在中有∴故選：A．【點睛】本題考查等弧所對的弦相等，三角形的三邊關(guān)系等知識，利用作差比較法比較周長大小是解題的關(guān)鍵．17．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，半徑互相垂直，點在劣弧上．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)互相垂直可得所對的圓心角為，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，

半徑互相垂直，，所對的圓心角為，所對的圓周角，又，，故選：D．【點睛】本題考查圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握：同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．18．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，直徑與弦相交于點P，連接，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)圓周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即，然后利用進(jìn)而可求出．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，又∵為直徑，即，∴，故選：D．【點睛】此題主要考查了圓周角定理，三角形外角和定理等知識，解題關(guān)鍵是熟知圓周角定理的相關(guān)知識．19．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，，，主橋拱半徑R，根據(jù)垂徑定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，主橋拱半徑R，，是半徑，且，，在中，，，解得：，故選：B.

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解題關(guān)鍵．20．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點C，D在上，連接，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：C．【點睛】此題考查圓周角定理，熟知同弧所對的圓周角是圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．21．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點O是外接圓的圓心，點I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可得的度數(shù)，然后由圓周角定理求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：連接，∵點I是的內(nèi)心，，∴，∴，∵，∴，故選：C．

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)心的定義和圓周角定理，熟知三角形的內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角平分線的交點是解題的關(guān)鍵．22．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計的面積，可得的估計值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得的估計值為（）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)30度的作對的直角邊是斜邊的一半可得，根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解．【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為，設(shè)圓的半徑為1，如圖為其中一個等腰三角形，過點作交于點于點，∵，∴，則，故正十二邊形的面積為，圓的面積為，用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計的面積可得，故選：C．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，30度的作對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵．23．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴；故選：B．【點睛】本題主要考查圓周角的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握直徑所對圓周角為直角是解題的關(guān)鍵．24．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，B，C在上，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得．【詳解】解：∵，∴由圓周角定理得：，故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題關(guān)鍵．25．（2023·全國·統(tǒng)考中考真題）如圖，，是的弦，，是的半徑，點為上任意一點（點不與點重合），連接．若，則的度數(shù)可能是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴的度數(shù)可能是故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．26．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，連接，，，，．則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得出，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)已知條件得出，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵圓內(nèi)接四邊形中，，∴∴∵∴，∵∴,故選：A．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補，圓周角定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．27．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）我國古代天文學(xué)確定方向的方法中蘊藏了平行線的作圖法．如《淮南子天文訓(xùn)》中記載：“正朝夕：先樹一表東方；操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉．日直入，又樹一表于東方，因西方之表，以參望日方入北康．則定東方兩表之中與西方之表，則東西也．”如圖，用幾何語言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一定點O，過點O作直線與a平行．（1）以O(shè)為圓心，單位長為半徑作圓，交直線a于點M，N；（2）分別在的延長線及上取點A，B，使；（3）連接，取其中點C，過O，C兩點確定直線b，則直線．按以上作圖順序，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】證明，可得，結(jié)合，C為的中點，可得．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，C為的中點，∴，故選A．【點睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形的外角的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．二、填空題28．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點D，M分別是弦，弧的中點，，則的長是________．

【答案】4【分析】根據(jù)圓周角定理得出，再由勾股定理確定，半徑為，利用垂徑定理確定，且，再由勾股定理求解即可．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵點D，M分別是弦，弧的中點，∴，且，∴，∴，故答案為：4．【點睛】題目主要考查圓周角定理、垂徑定理及勾股定理解三角形，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．29．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑作半圓，交于點，交于點，則弧的長為__________．

【答案】【分析】連接，，，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，圓周角定理，中位線定理，弧長公式計算即可．【詳解】解：如圖，連接，，，

∵為直徑，∴，∵，∴，，∴，，∴弧的長為，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一性質(zhì)，中位線定理，弧長公式，熟練掌握三線合一性質(zhì)，弧長公式，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．30．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，圓的半徑為7，，則弦的長度為___________．

【答案】【分析】連接，過點作于點，先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，，然后解直角三角形可得的長，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，過點作于點，

，，，，，∵圓的半徑為7，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三線合一，熟練掌握圓周角定理和解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．31．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點是上一點，，則________．

【答案】35【分析】由同弧所對的圓周角相等，得再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得，然后由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：是所對的圓周角，是的直徑，，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，以及直角三角形的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．32．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，若，則的度數(shù)是________．【答案】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對角互補，即可解答．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解答本題的關(guān)鍵．33．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量角器的外弧分別交于點A，B，C，D，連接，則的度數(shù)為_______．

【答案】【分析】方法一∶如圖：連接，由題意可得：，，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得、，最后根據(jù)角的和差即可解答．方法二∶連接，由題意可得：，然后根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】方法一∶解：如圖：連接，由題意可得：，，，∴，，∴．故答案為．

方法二∶解∶連接，由題意可得：，根據(jù)圓周角定理，知．故答案為：．

【點睛】本題主要考查了角的度量、圓周角定理等知識點，掌握圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半是解答本題的關(guān)鍵．34．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是________個．

【答案】10【分析】先求出正五邊形的外角為，則，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得：∵正五邊形的一個外角，∴，∴，∴共需要正五邊形的個數(shù)（個），故答案為：10．

【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，正多邊形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的外角的求法．35．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是一個盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為_______．

【答案】【分析】過點作于點，交于點，則，依題意，得出，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，交于點，則，

∵水的最深處到水面的距離為，的半徑為．∴，在中，∴故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．36．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，則的度數(shù)為___________．

【答案】【分析】根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理解答即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是垂徑定理和圓周角定理，掌握同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．37．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，點A、B、C是上不同的三點，點O在的內(nèi)部，連接、，并延長線段交線段于點D．若，則_______度．

【答案】【分析】先根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形的外角定理，熟練掌握圓周角定理是本題的關(guān)鍵．38．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某博覽會上有一圓形展示區(qū)，在其圓形邊緣的點處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是，為了監(jiān)控整個展區(qū)，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器___________臺．

【答案】4【分析】圓周角定理求出對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，利用圓心角的度數(shù)即可得解．【詳解】解：∵，∴對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為，∵，∴最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器臺；故答案為：4【點睛】本題考查圓周角定理，熟練掌握同弧所對的圓周角是圓心角的一半，是解題的關(guān)鍵．39．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形的面積為，的面積為，則_________．

【答案】2【分析】連接，首先證明出是的內(nèi)接正三角形，然后證明出，得到，，進(jìn)而求解即可．【詳解】如圖所示，連接，

∵六邊形是的內(nèi)接正六邊形，∴，∴是的內(nèi)接正三角形，∵，，∴，∵，∴，∴，同理可得，，又∵，∴，∴，由圓和正六邊形的性質(zhì)可得，，由圓和正三角形的性質(zhì)可得，，∵，∴．故答案為：2．【點睛】此題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，正六邊形和正三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．40．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為直徑，C為圓上一點，的角平分線與交于點D，若，則______°．

【答案】35【分析】由題意易得，，則有，然后問題可求解．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，，∴，∴，∵平分，∴；故答案為：35．【點睛】本題主要考查圓周角的性質(zhì)，熟練掌握直徑所對圓周角為直角是解題的關(guān)鍵．41．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問：徑幾何？”．用現(xiàn)在的幾何語言表達(dá)即：如圖，為的直徑，弦，垂足為點，寸，寸，則直徑的長度是________寸．【答案】26【分析】連接構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由垂直得到點為的中點，由可求出的長，再設(shè)出圓的半徑為，表示出，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于的方程，求解方程可得的值，即為圓的直徑．【詳解】解：連接，，且寸，寸，設(shè)圓的半徑的長為，則，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：，化簡得：，即，（寸）．故答案為：26．【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．三、解答題42．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，點在第一象限內(nèi)，與軸相切于點，與軸相交于點．連接，過點作于點．

(1)求證：四邊形為矩形．(2)已知的半徑為4，，求弦的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)及有三個角是直角的四邊形是矩形判定即可．（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)、垂徑定理及圓的性質(zhì)計算即可．【詳解】（1）證明：∵與軸相切于點，∴軸．∵，∴，∴四邊形是矩形．（2）如圖，連接．

四邊形是矩形，．在中，，．點為圓心，，．【點睛】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，圓的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．43．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）1672年，丹麥數(shù)學(xué)家莫爾在他的著作《歐幾里得作圖》中指出：只用圓規(guī)可以完成一切尺規(guī)作圖．1797年，意大利數(shù)學(xué)家馬斯凱羅尼又獨立發(fā)現(xiàn)此結(jié)論，并寫在他的著作《圓規(guī)的幾何學(xué)》中．請你利用數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下面的作圖題：如圖，已知，是上一點，只用圓規(guī)將的圓周四等分．（按如下步驟完成，保留作圖痕跡）

①以點為圓心，長為半徑，自點起，在上逆時針方向順次截??；②分別以點，點為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于上方點；③以點為圓心，長為半徑作弧交于，兩點．即點，，，將的圓周四等分．【答案】見解析【分析】根據(jù)作圖提示逐步完成作圖即可．再根據(jù)圖形基本性質(zhì)進(jìn)行證明即可．【詳解】解：如圖，

即點，，，把的圓周四等分．理由如下：如圖，連接，

由作圖可得：，且，∴為等邊三角形，，同理可得：，∴，∴A，O，D三點共線，為直徑，∴，設(shè)，而，∴，，由作圖可得：，而，∴，，∴由作圖可得，而，∴，∴，同理，∴點，，，把的圓周四等分．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，圓弧與圓