插值與擬合方法建模

插值與擬合方法建模第1頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月課程安排及要求上課時間和地點

2011年夏季學(xué)期《數(shù)學(xué)建模實踐》授課安排_cao.xls課程要求以隊（每隊3人）為單位，每周完成1～2篇論文，無期末考試，最終以全部論文的總成績作為課程成績參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的資格問題 以課程成績?yōu)橹?，結(jié)合往年有競賽經(jīng)驗的部分學(xué)生，自愿組隊為主第2頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月概論日常生活中，尤其是科技活動中，人們越來越頻繁的和數(shù)據(jù)打交道，想方設(shè)法的獲取數(shù)據(jù)，千方百計地、認(rèn)真細(xì)致地分析處理數(shù)據(jù)，已成為研究許多問題的一個重要環(huán)節(jié)，一種基本技術(shù)，甚至已成為一種較為通用的分析問題、解決問題的思想方法.本課件分三個部分:處理數(shù)據(jù)常用的插值方法和擬合方法簡介部分相關(guān)的matlab命令簡介與插值法或擬合法相關(guān)的建模案例第3頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月方法的三個基本問題數(shù)據(jù)的來源及數(shù)據(jù)的特點分析分析處理數(shù)據(jù)的方法分析.數(shù)據(jù)中所含誤差對處理結(jié)果的影響.第4頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月方法使用情況對比插值方法適用于：數(shù)據(jù)量較少，且精度較高.擬合方法適用于：數(shù)據(jù)量較多，且含有較大的不確定性，如，數(shù)據(jù)中，同一點處有多個觀測值（可能不同）；再如，社會、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計中，隨機(jī)因素對數(shù)據(jù)的影響較大，甚至與數(shù)據(jù)處于同一個數(shù)量級，擬合方法特別適用于研究數(shù)據(jù)自身所隱含的規(guī)律、趨勢.第5頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月實際中數(shù)據(jù)處理的例子測量細(xì)棒上若干個點處的溫度（或房間內(nèi)若干個點處的溫度、某區(qū)域若干個點處的海水深度，汽車、飛機(jī)等的外形設(shè)計，諸如此類的空間分布數(shù)據(jù)），試確定細(xì)棒上各處的溫度分布.當(dāng)數(shù)據(jù)量較少，且測量誤差較小時，可用插值法；當(dāng)數(shù)據(jù)量很多，測量誤差較大，或數(shù)據(jù)中含較大的不確定性時，可用擬合法.研究時間序列數(shù)據(jù)的變化趨勢，常用擬合法.第6頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第一章插值方法此類實際問題的基本特征（以兩個變量情況為例）已知一組數(shù)據(jù)點，它對應(yīng)一個確定的函數(shù)關(guān)系.希望求出這個函數(shù)，或者求出它的一個近似函數(shù)，滿足，.例子測量細(xì)棒上若干個點處的溫度，確定出溫度的空間分布（兩個變量間的一元函數(shù)）.數(shù)控銑床加工精密工件問題（三個變量間的多元函數(shù)）.第7頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)一元函數(shù)的多項式插值插值問題提法：已知函數(shù)在個互異的觀測點，上的函數(shù)值.求函數(shù)，滿足，.

則稱為插值函數(shù)，稱為被插值函數(shù)，稱為插值節(jié)點.這種提法存在問題解不唯一，需要附加條件！作為未知的被插值函數(shù)的一個近似，用于后續(xù)的分析計算過程中，應(yīng)具備形式簡單、滿足必要的分析性質(zhì)、便于進(jìn)行各種分析運算.在插值節(jié)點處，插值函數(shù)與被插值函數(shù)取值完全一致！插值法適用于那種觀測數(shù)據(jù)精度較高的問題.第8頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月適定的代數(shù)插值問題已知函數(shù)在個互異的觀測點處的函數(shù)值.求函數(shù)，滿足次數(shù)不超過次的多項式，.

稱為次Lagrange插值多項式.該問題滿足解存在唯一（通過指定插值函數(shù)應(yīng)屬的函數(shù)類實現(xiàn)）插值多項式便于構(gòu)造代數(shù)多項式形式簡單、性質(zhì)良好第9頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月n次Lagrange插值多項式的構(gòu)造記函數(shù)滿足當(dāng)時函數(shù)稱為次Lagrange插值關(guān)于節(jié)點的節(jié)點插值基函數(shù).易得即第10頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月龍格(Runge)現(xiàn)象當(dāng)插值節(jié)點個數(shù)很大時，一方面，插值多項式次數(shù)越來越高；另一方面，插值多項式與被插值函數(shù)取值一樣的點的個數(shù)越來越多.將區(qū)間[-5，5]分成10等分，11個分點（含端點）作為插值節(jié)點（），構(gòu)造函數(shù)的10次插值多項式第11頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)分段多項式插值Runge現(xiàn)象揭示當(dāng)時，應(yīng)盡量避免用高次多項式作為插值函數(shù)低次多項式也有優(yōu)點兼顧各方，分段低次多項式插值，效果更好僅簡單介紹分段線性插值第13頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月分段線性插值問題已知函數(shù)在個觀測點上的函數(shù)值，.求函數(shù)

，滿足在每個小區(qū)間上，是線性函數(shù)（次數(shù)不超過1次的多項式）；，.稱為分段線性插值函數(shù).分段線性插值的構(gòu)造當(dāng)時，第14頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月兩種插值的數(shù)值算例第15頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)密切插值(osculatinginterpolation)實際問題中，有時不僅可以得到未知函數(shù)在觀測點處的函數(shù)值，而且還可以測量出它在這些點處的一階導(dǎo)數(shù)值，甚至高階導(dǎo)數(shù)值，此時，可以構(gòu)造密切插值函數(shù).Hermite插值問題提法已知函數(shù)在個觀測點，處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，.求函數(shù)，滿足是次數(shù)不超過次的多項式.

，，.

稱為函數(shù)的次Hermite插值多項式.第16頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)樣條插值(splineinterpolation)當(dāng)插值節(jié)點個數(shù)較多時，Lagrange插值的不收斂性，分段低次多項式插值的不夠光滑，Hermite插值需要已知導(dǎo)數(shù)值.提出一種收斂的、具有一定光滑性的分段低次多項式插值——樣條插值.第17頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月樣條插值問題提法已知函數(shù)在個的觀測點處的函數(shù)值，.求函數(shù)

，滿足在每個小區(qū)間上，是次數(shù)不超過3次的多項式；，..稱為三次樣條插值函數(shù).注1：要保證問題的解存在唯一，需要適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充條件——樣條插值的邊界條件注2：求樣條插值函數(shù)，需要解線性代數(shù)方程組.第18頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章matlab插值命令簡介關(guān)于多項式多項式表示多項式可用行矢量表示，其元素按冪指數(shù)降序排列，如，可表示為一個向量多項式求值命令polyval(P,X)計算多項式P在X點處的值，若X是數(shù)組，則所得結(jié)果為對應(yīng)點處的函數(shù)值構(gòu)成的數(shù)組.第19頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)一元函數(shù)部分插值命令一元插值函數(shù)interp1()調(diào)用格式為yi=interp1(x,y,xi,method)其中x，y為給定的插值數(shù)據(jù)，可以是數(shù)組；xi為被插值點，yi為被插值點xi處的插值函數(shù)值，它們可以是數(shù)組，且必須維數(shù)一致；‘method’指定所要選用的插值方法第20頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月可選用的四種method‘nearest’(最鄰近插值)：被插值點處函數(shù)值取值為最接近的插值節(jié)點處的值‘linear’

：分段線性插值.這是interp1函數(shù)的缺省設(shè)置‘cubic’

：分段三次插值函數(shù)‘spline’

：樣條插值函數(shù)第21頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月樣條插值算例第22頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月‘nearest’的算例第23頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)interp1評注以上這四種方法都要求x中的數(shù)據(jù)為單調(diào)，且xi在插值節(jié)點的內(nèi)部（此時為內(nèi)插），但并不要求x是等距節(jié)點，對等距節(jié)點，可在method之前加上*，能提高運行速度.從運行速度、占用內(nèi)存大小及插值函數(shù)的光滑度三個方面分別比較四種方法（按nearest、linear、cubic、spline順序），結(jié)果為運行速度由快到慢內(nèi)存要求從小到大光滑度由差到好對于’method‘沒有涉及到的插值方法，相應(yīng)的插值函數(shù)要自行編程實現(xiàn)第24頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)二元函數(shù)的插值及部分matlab命令二元函數(shù)的插值情況較為復(fù)雜，常按如下兩個方面予以區(qū)分自變量所屬的二維區(qū)域是規(guī)則區(qū)域還是不規(guī)則區(qū)域前者較為標(biāo)準(zhǔn)方法較多，后者可化歸為前者給定的數(shù)據(jù)是有規(guī)律分布的還是散亂的、隨機(jī)分布的前者問題較為標(biāo)準(zhǔn)，解決方法較為成熟，可選方法較多.對于后者，通常是轉(zhuǎn)化為前者，但要具體問題具體分析，基本思路是：從給定的數(shù)據(jù)出發(fā)，依據(jù)一定的方法補(bǔ)充修復(fù)出相應(yīng)于規(guī)則插值節(jié)點上的數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)分布有規(guī)律的情形來處理第25頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月二維規(guī)則區(qū)域，插值節(jié)點分布規(guī)律插值數(shù)據(jù)形如：y1y2…ynx1z11z12…z1nx2z21z22…z2n……………xmzm1zm2…zmn第26頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月可用方法及matlab函數(shù)二元插值函數(shù)interp2()調(diào)用格式為zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)其中x，y，z為插值數(shù)據(jù)，均為向量zi為被插值點(xi,yi)處的插值函數(shù)值method為可選用的插值方法第27頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月可選用的四種method‘nearest’：表示最臨近插值‘linear’：表示分片雙線性插值‘cubic’：表示分片雙三次插值'spline'：表示雙三次樣條插值注：interp2插值方法要求x和y分別是單調(diào)的插值節(jié)點，x和y可以是不等距的.第28頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月算例——氣旋變化情況下表是測量的氣象資料，分別表示在南半球地區(qū)按不同緯度、不同月份的平均氣旋數(shù)字.根據(jù)這些數(shù)據(jù)，繪制出氣旋分布曲面圖形.(本資料下載于網(wǎng)絡(luò)《》)第29頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月0—1010—2020—3030—4040—5050—6060—7070—8080—901月2.418.720.822.137.348.225.65.30.32月1.621.418.520.128.836.624.25.303月2.416.218.220.527.835.525.55.404月3.29.216.625.137.24024.64.90.35月1.02.812.929.240.337.621.14.906月0.51.710.132.641.735.422.27.107月0.41.48.333.046.23520.25.30.18月0.22.411.231.039.934.721.27.30.28月0.55.812.528.625.935.722.670.310月0.89.221.132.040.339.528.58.6011月2.410.323.928.138.24025.36.30.112月3.61625.525.643.441.924.36.60.3第30頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月算例程序X=[123456789101112];Y=[01020304050607080];Z=[];[x0,y0]=meshgrid(1:0.11:12,0:0.8:80);zz0=interp2(X,Y,Z,x0,y0,‘spline’);mesh(x0,y0,zz0);第31頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章數(shù)據(jù)擬合方法當(dāng)觀測數(shù)據(jù)量較大，且常常在同一點處有多個觀測值（可能不同），或者數(shù)據(jù)中含有較大不確定性、有較大的誤差時，要求近似函數(shù)過給定的數(shù)據(jù)點的插值方法難以得到滿意的結(jié)果.不刻意追求微觀上對每對數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確滿足（即像插值法那樣，讓近似函數(shù)過給定的點），而是先提出某種整體上近似準(zhǔn)則，在此準(zhǔn)則下，追求一個最優(yōu)的近似函數(shù)！第32頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)最小二乘數(shù)據(jù)擬合最小二乘數(shù)據(jù)擬合問題提法已知函數(shù)的一組觀測數(shù)據(jù)若函數(shù)滿足則稱此函數(shù)

為的擬合函數(shù).其中，，，稱為擬合函數(shù)在

點處的偏差或殘量xx1x2…xny=f(x)y1y2…yn第33頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月插值與擬合對比示意圖

插值擬合第34頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于數(shù)據(jù)擬合一般地，是在指定的函數(shù)類中求擬合函數(shù)數(shù)據(jù)擬合的步驟畫散點圖，由此分析確定出合適的擬合函數(shù)類，通常所選函數(shù)類構(gòu)成線性空間擬合函數(shù)類中函數(shù)的表示，選定基函數(shù)，待求擬合函數(shù)轉(zhuǎn)化為求擬合函數(shù)在這組基函數(shù)上的展開系數(shù)求解最小二乘問題

(*)，求得擬合函數(shù)（即求其在基函數(shù)的展開系數(shù)）第35頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月線性最小二乘數(shù)據(jù)擬合若線性函數(shù)滿足則稱此函數(shù)

為的線性擬合函數(shù).注：求解線性最小二乘擬合，最終歸結(jié)為求解一個線性代數(shù)方程組，此方程組通常稱為最小二乘問題的正規(guī)方程組第36頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月非線性最小二乘數(shù)據(jù)擬合若非線性函數(shù)滿足則稱此函數(shù)

為的非線性擬合函數(shù).注：求解非線性最小二乘擬合，通常應(yīng)首先將其線性化最終歸結(jié)為求解一個線性代數(shù)方程組，此方程組通常稱為最小二乘問題的正規(guī)方程組第37頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)線性最小二乘數(shù)據(jù)擬合的解設(shè)由一組線性無關(guān)函數(shù)系的線性組合組成一函數(shù)類，顯然它構(gòu)成一個線性空間.此時，線性最小二乘擬合問題可表示為：求，使得將所求擬合函數(shù)表示成該線性空間一組基函數(shù)的線性展開第38頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月線性最小二乘問題的正規(guī)方程組此時，求解線性最小二乘擬合問題轉(zhuǎn)化為求系數(shù)，注意到（**）式是這組系數(shù)的二次函數(shù)，所以有整理可得第39頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)matlab單變量數(shù)據(jù)擬合命令簡介擬合函數(shù)的命令為：polyfit()其調(diào)用格式為a=polyfit(xdata,ydata,m)其中m為多項式擬合函數(shù)類的最高次數(shù)xdata，ydata為要擬合的數(shù)據(jù)，都是數(shù)組a輸出結(jié)果，即擬合多項式在選定基函數(shù)的展開系數(shù)第40頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月一般的曲線擬合擬合函數(shù)為curvefit()，或lsqcurvefit()調(diào)用格式分別為p=curvefit(‘Fun’,p0,xdata,ydata)p=lsqcurvefit('Fun',p0,xdata,ydata)其中Fun為函數(shù)Fun(p,xdta)的M文件P0為函數(shù)的初值要計算點x處的函數(shù)值y，可用函數(shù)

f=Fun(p,x)第41頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)據(jù)擬合算例在某化學(xué)反應(yīng)中，已知生成物的濃度與時間有關(guān).現(xiàn)有如下一組測量數(shù)據(jù).試求濃度y與時間t

之間的近似函數(shù)關(guān)系時間t（分）12345678濃度y

10

34.006.408.008.809.229.509.709.86時間t（分）910111213141516濃度y

10

310.0010.2010.3210.3210.5010.5510.5810.60第42頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月分析散點圖可知，擬合函數(shù)類應(yīng)選單調(diào)上升的曲線，嘗試如下三種多項式，

為適當(dāng)選取的正整數(shù)有理函數(shù)指數(shù)函數(shù)第44頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月多項式擬合結(jié)果分別用二、三、六次多項式擬合，計算得輸出參數(shù)分別為p2=[

0.0445，1.0711，4.3252]p3=[0.0060，

0.1963，2.1346，2.5952]p6=[

0.0000，0.0004，

0.0103，0.1449，

1.1395，4.9604，0.0498]即擬合函數(shù)分別為

2(x)=

0.0445

1.0711x

4.3252x2

3(x)=0.0060

0.1963x

2.1346x2

2.5952x3

6(x)=0.0004x

0.0103x2

0.1449x3

1.1395x4

4.9304x5

0.0498x6第45頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月多項式擬合結(jié)果第46頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月有理函數(shù)擬合結(jié)果擬合函數(shù)類取為擬合得參數(shù)為p=[0.0841，0.1392]即得擬合函數(shù)為第47頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月有理函數(shù)擬合結(jié)果第48頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月指數(shù)函數(shù)擬合結(jié)果擬合函數(shù)類取為擬合得參數(shù)為p=[11.3578，

1.0873]即得擬合函數(shù)為第49頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月指數(shù)函數(shù)擬合結(jié)果第50頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月插值與擬合建模案例——對海底地形測量圖的插值（MCM86A）在某海域測得一些點(x,y)處的水深z（單位為英尺），由下表給出，若船的吃水深度為5英尺，在矩形區(qū)域（75，200）（-50，150）里的哪些地方船要應(yīng)禁入?yún)⒖甲?view/b91d3a563c1ec5da50e27012.htmlX129.0140.0103.588.0185.5195.0105.5157.5107.577.081.0162.0162.0117.5Y7.5141.523.0147.022.5137.585.5－6.5－81.03.056.5－66.584.0－33.5Z486868