小升初專練-數(shù)論問題-帶余除法通用版（含答案）

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【知識點歸納】

如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此時，被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù)，我們稱之為帶余數(shù)的除法．

一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0），那么一定有另外兩個整數(shù)q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r．

當r=0時，我們稱a能被b整除

當r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）．

【常考題型】

例1：所有被4除余1的兩位數(shù)的和為（）

A、1200B、1208C、1210D、1224E、1229

分析：本題中，由整除的意義可知，除以4后余1的最小兩位數(shù)是：12+1=13．除以4后余1的最大兩位數(shù)是：96+1=97．由此我們想除以4后余1的兩位數(shù)一共有多少個？即所有除以4后余1的數(shù)組成的數(shù)列：13+17+21+…+97的項數(shù)有多少？由題意知數(shù)列的公差是4，那么計算項數(shù)得：（97-13）÷4+1=22．然后利用公式求它們的和就行了．

解：除以4后余1的最小兩位數(shù)是：12+1=13，

除以4后余1的最大兩位數(shù)是：96+1=97，

那么除以4后余1的兩位數(shù)一共有：（97-13）÷4+1=22（個），

所有除以4后余1的兩位數(shù)的和為：

13+17+21+…+97

=（13+97）×22÷2

=110×11

=1210．

答：一切除以4后余1的兩位數(shù)的和是1210．

故選：C．

點評：本題考查余數(shù)的性質(zhì)與等差數(shù)列求和．本題的解題關(guān)鍵是由除以4余1這一特點，想到滿足條件的最小的兩位數(shù)是13，最大的兩位數(shù)是97，是一個公差為4的等差數(shù)列．

例2：一本書如果每天讀80頁，那么4天讀不完，5天又有余；如果每天讀90頁，那么3天讀不完，4天又有余；如果每天讀N頁，恰好N（N是自然數(shù)）天讀完，這本書是（）頁．

分析：設(shè)頁數(shù)為x，①由“一本書如果每天讀80頁，那么4天讀不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天讀90頁，那么3天讀不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x＜360．滿足上述條件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．

解：設(shè)頁數(shù)為x，①320＜x＜400；

②270＜x＜360；

③由①②得：320＜x＜360，

滿足上述條件的只有n=18．

320＜18×18=324＜360．

故答案為：324．

點評：此題考查了帶余除法的知識，以及分析問題的能力．

【解題思路】

對任意整數(shù)a，b且b≠0，存在唯一的數(shù)對q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．這個事實稱為帶余除法定理，是整除理論的基礎(chǔ)．若c|a，c|b，則稱c是a，b的公因數(shù)．若d是a，b的公因數(shù)，d≥0，且d可被a，b的任意公因數(shù)整除，則稱d是a，b的最大公因數(shù)．若a，b的最大公因數(shù)等于1，則稱a，b互素．累次利用帶余除法可以求出a，b的最大公因數(shù)，這種方法常稱為輾轉(zhuǎn)相除法．又稱歐幾里得算法．

一．選擇題

1．有四個自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個自然數(shù)的和是（）

A．216B．108C．314D．348

2．一個數(shù)被7除，余數(shù)是3，該數(shù)的3倍被7除，余數(shù)是（）

A．3B．6C．2D．1

3．所有被4除余1的兩位數(shù)的和為（）

A．1200B．1208C．1210D．1224

E．1229

4．兩個自然數(shù)同時除以13，所得的余數(shù)分別是6和9，它們之積除以13的余數(shù)為（）

A．9B．7C．6D．2

二．填空題

5．1+2+3+……+3006的和除以7的余數(shù)是。

6．大于100的整數(shù)中，被13除后商與余數(shù)相同的數(shù)有個．

7．一堆棋子，3個3個數(shù)，余下1個；5個5個數(shù)，余下2個；7個7個數(shù)，余下3個，這堆棋子最少有個。

8．有一個自然數(shù)，用它去除226余a，去除411余a+1，去除527余a+2，則a＝．

9．整數(shù)除法，余數(shù)要比除數(shù)小．從1到1994各數(shù)都分別除以9，所有余數(shù)的和是．

10．一個三位數(shù)，被43除余27，被42除余5．那么，這個三位數(shù)是．若這是一個四位數(shù)，則最小的四位數(shù)是．

11．有一個整數(shù)，用它去除63、91、129得到三個余數(shù)之和是25，這個整數(shù)是．

12．若一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，則適合條件的200以內(nèi)的最大的數(shù)是．

三．計算題

13．4048×4048+4049×4049+4050×4050除以8的余數(shù)是多少？

14．已知4321除以7的余數(shù)是2，3153除以7的余數(shù)是3，1894除以7的余數(shù)是4，求4321+3153+1894除以7的余數(shù)．

四．解答題

15．已知1477除以一個兩位數(shù)，余數(shù)是49，求滿足這樣條件的所有兩位數(shù)。

16．某數(shù)被11除余6，被7除余1；若該數(shù)被77除，求余數(shù)．

17．如圖1中的短除式所示，一個自然數(shù)被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的商是a．圖2中的短除式表明：這個自然數(shù)被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a的2倍．求這個自然數(shù)．

18．某校9個課外興趣小組，各組人數(shù)如下表．一天下午有8個小組同學(xué)聽數(shù)學(xué)課或作文講座．其中聽數(shù)學(xué)講座的人數(shù)是聽作文講座人數(shù)的，剩下的一個組外出活動．問這個外出活動的小組是第幾組？

組別一二三四五六七八九

人數(shù)579101113141723

19．兩個數(shù)相除商9余4，如果被除數(shù)、除數(shù)都擴大到原來的3倍．那么被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)之和等于2583．原來的被除數(shù)和除數(shù)各是多少？

20．大科學(xué)家愛因斯坦曾經(jīng)做過一道數(shù)學(xué)題：在你前面有一條長長的階梯，如果你每步跨2級，最后剩下1級；如果你每步跨3級，最后剩下2級；如果你每步跨5級，最后剩下4級；如果每步跨6級，最后剩下5級；只有當你每步跨7級時，最后正好走完，1級不剩．這條階梯最少有級．

小升初專練-數(shù)論問題-帶余除法

參考答案

一．選擇題

1．解：根據(jù)題意：

A＝5B+5A＝6C+6A＝7D+7

5（B+1）＝6（C+1）＝7（D+1）＝A

所以A為5、6、7的公倍數(shù)，因為5、6、7的最小公倍數(shù)為210，

因為它們的和不超過400，所以A＝210

所以：210÷5﹣1＝41

210÷6﹣1＝34

210÷7﹣1＝29

B＝41

C＝34

D＝29

這四個自然數(shù)的和是210+41+34+29＝314。

答案：C。

2．解：假設(shè)一個數(shù)被7除，余數(shù)是3，商是a，則這個數(shù)是：7a+3，

這個數(shù)的3倍被7除時余數(shù)是：

3（7a+3）÷7＝3a+9÷7＝（3a+1）…2，

所以余數(shù)是2，

答案：C．

3．解：除以4后余1的最小兩位數(shù)是：12+1＝13，

除以4后余1的最大兩位數(shù)是：96+1＝97，

那么除以4后余1的兩位數(shù)一共有：（97﹣13）÷4+1＝22（個），

所有除以4后余1的兩位數(shù)的和為：

13+17+21+…+97

＝（13+97）×22÷2

＝110×11

＝1210．

答：一切除以4后余1的兩位數(shù)的和是1210．

答案：C．

4．解：設(shè)兩數(shù)分別為13k+6，13m+9，k，m都是整數(shù)，則兩數(shù)之積為：

（13k+6）×（13m+9）＝169km+117k+78m+54，

因為k，m都是整數(shù)，169、117、78都是13的倍數(shù)，所以前三個都是13的整數(shù)倍，

最后剩下54，

因為：54÷13＝4…2，

所以它們之積除以13的余數(shù)為2．

答案：D．

二．填空題

5．解：1+2+3+……+3006

＝（1+3006）×3006÷2

＝3007×1503

3007÷7的余數(shù)為4，1503÷7的余數(shù)為5，

5×4÷7＝2……6

故1+2+3+……+3006的和除以7的余數(shù)是6。

答案：6。

6．解：設(shè)大于100的整數(shù)中，被13除后的余數(shù)為x，則被13除后商與余數(shù)相同的數(shù)為：13x+x＝（13+1）x＝14x．

因為x＜13，

所以100＜14x＜182，

解得7＜x＜13，

又因為x為整數(shù)，

所以x可以為：8、9、10、11、12，

所以被13除后商與余數(shù)相同的數(shù)有5個，分別是112，126，140，154，168．

答：被13除后商與余數(shù)相同的數(shù)有5個．

答案：5．

7．解：3和5的最小公倍數(shù)是3×5＝15

7+15×3

＝7+45

＝52（個）

所以這堆棋子最少有52個。

8．解：由題意得知，用此數(shù)去除410余a，去除525余a，即除226、410、525的余數(shù)相同．

410﹣226＝184＝23×8，525﹣226＝299＝23×13，525﹣410＝115＝23×5，所以此自然數(shù)是：23，

226÷23＝9…19，

即：a＝19；

答案：19．

9．解：1994÷9＝221…5

余數(shù)和是：221×（1+2+…+0）+（1+2+3+4+5），

＝221×36+15，

＝7956+15，

＝7971．

答：所有余數(shù)的和是7971．

答案：7971．

10．解：被43除盡，且被42除余5的數(shù)是43×5＝215；被42除盡，且被43除余27的數(shù)是42×（43﹣27）＝672；則三位數(shù)為215+672＝887；

因為43×42＝1806，所以最小的四位數(shù)是：1806+887＝2693．

答案：887，2693．

11．解：63+91+129﹣25＝258，

258＝2×3×43，

那么這個數(shù)可能是：2、3、43、6、86、129；

又這個數(shù)應(yīng)小于63，大于25，這個數(shù)只能是43．

答案：43．

12．解：200以內(nèi)除以3余2的數(shù)有：197、194、191、188、185、182、179、176、173、170、167、164、161、158、155、152、149、146、143、140、137、134、131、128、125……

200以內(nèi)除以5余3的數(shù)有：198、193、188、183、178、173、168、163、158、153、148、143、138、133、128、123……

200以內(nèi)除以7余2的數(shù)有：198、191、184、177、170、163、156、149、142、135、128、121……

重合的數(shù)是128，

128÷5＝25……3，

128÷3＝42……2，

128÷7＝18……2．符合題意．

答案：128．

三．計算題

13．解：4048×4048+4049×4049+4050×4050

＝4048×4048+（4048+1）×4049+（4048+2）×4050

＝4048×4048+4048×4049+4049+4048×4050+2×4050

因為4048÷8＝506，

所以4048×4048+4049×4049+4050×4050除以8的余數(shù)與4019+2×4050除以8的余數(shù)相同，

（4019+2×4050）÷8

＝（4019+8100）÷8

＝12119÷8

＝1514…7

答：4048×4048+4049×4049+4050×4050除以8的余數(shù)是7．

14．解：2+3+4＝9

9÷7＝1…2

答：4321+3153+1894除以7的余數(shù)是2．

四．解答題

15．解：1477﹣49＝1428

1428＝2×2×3×7×17

2×2×3×7＝84

3×17＝51

2×2×17＝68

故滿足這樣條件的所有兩位數(shù)：51，68，84。

答：滿足這樣條件的所有兩位數(shù)：51，68，84。

16．解：某數(shù)被11除余6，也就是被11整除，最少差5，若果某數(shù)是11的倍數(shù)，可以加上5或16或27或38等等．

被7除余1，也就是被7整除最少差6，如果某數(shù)是7的倍數(shù)，可以加上6或13或20或27或34等等．要同時被11和7除盡，由上面可以看出，最少加上27．所以某數(shù)加上27一定是11和7的公倍數(shù)．

設(shè)某數(shù)是X，則X+27＝11×7×n（n為不是0的自然數(shù)）

n＝1時，X最小，解得：X＝50

X＝50時，是滿足條件的最小的數(shù)．

則：50÷77＝0…50

對：若該數(shù)被77除，余數(shù)是50．

17．解：根據(jù)被除數(shù)＝除數(shù)×商+余數(shù)，

由圖1得所求的自然數(shù)為：8×+1，

由圖2得所求的自然數(shù)為：17×（2a×17+15）+4，

由以上可得方程：

8×+1＝17×（2a×17+15）+4，

8×（64a+57）+1＝17×（34a+15）+4，

512a+457＝578a+259，

66a＝198，

a＝3；

把a＝3代入8×+1得：

8×+1＝512a+457＝512×3+457＝1993．

答：這個自然數(shù)為1993．

18．解：1+6＝7，

（5+7+9+10+11+13+14+17+23）÷7＝15…4，

9個小組人數(shù)中只有11除以7余4，

所以這個外出活動的小組是第五組．

答：這個外出活動的小組是第五組．

19．解：當被除數(shù)和除數(shù)擴大到原來的3倍時，余數(shù)也會擴大3倍，商不