基于人工魚群算法的約束優(yōu)化問題研究

基于人工魚群算法的約束優(yōu)化問題研究

約束優(yōu)化問題是在滿足約束條件的情況下，最小化目標(biāo)函數(shù)（大）的問題。在這種情況下，約束條件可以是等式或等式限制。整體優(yōu)化在科學(xué)工程和應(yīng)用科學(xué)中的應(yīng)用是無(wú)限的。近年來(lái)，許多科學(xué)家對(duì)整體優(yōu)化理論和應(yīng)用進(jìn)行了大量研究。增廣拉格朗日乘子法最初是由Hestenes約束優(yōu)化已成為非線性優(yōu)化面臨的一個(gè)挑戰(zhàn)性課題,因?yàn)橛糜诩s束優(yōu)化的可行性方法僅針對(duì)具體問題具有良好的優(yōu)化效果.Birgin等增廣拉格朗日乘子法是目前用于解決等式/不等式約束函數(shù)優(yōu)化的常用方法,該方法將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問題進(jìn)行求解,而魚群算法作為一種新型的群體智能優(yōu)化方法和粒子群算法有著類似的全局收斂性,借鑒文獻(xiàn)[13-14]的理論思想,本文嘗試將增廣的拉格朗日乘子法和魚群算法相結(jié)合用于解決約束非線性的全局優(yōu)化問題.1增廣拉氏函數(shù)最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型一般為式中:Ω={x∈R采用增廣拉格朗日乘子法對(duì)問題(1)進(jìn)行優(yōu)化求解,定義增廣拉氏函數(shù)為式中:x∈Ω;λ∈R定義懲罰參數(shù)的初值為式中:x其中i=1,2,…,m.給定運(yùn)算精度ε若滿足‖v增廣拉格朗日乘子法的算法流程如圖1所示.在上述增廣拉格朗乘子法的實(shí)現(xiàn)程序中,內(nèi)部算法采用基于群體智能的魚群算法,并將第k次迭代式(3)的近似最小解x2魚群算法魚群算法是李曉磊等2.1魚群算法實(shí)現(xiàn)流程魚群算法是目前比較流行的一種新型群體智能優(yōu)化方法,該方法的實(shí)現(xiàn)流程主要包括:魚群初始化、覓食行為、聚群行為、追尾行為和隨機(jī)行為本文中的移動(dòng)步長(zhǎng)s=βmax(X2)聚群行為的實(shí)現(xiàn):選取魚群當(dāng)前狀態(tài)為X3)追尾行為的實(shí)現(xiàn):選取魚群當(dāng)前狀態(tài)為X4)隨機(jī)行為:不滿足覓食行為的更新條件時(shí),進(jìn)行隨機(jī)行為操作.圖2說明了魚群算法實(shí)現(xiàn)的大致流程.需要指出的是,魚群行為中的人工魚所處狀態(tài)的適應(yīng)值Y是由式(3)的增廣拉格朗日函數(shù)計(jì)算得到的,另外,d2.2魚群算法的收斂性分析因?yàn)轸~群行為中有隨機(jī)性行為的參與,因此不可避免地會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)性優(yōu)化結(jié)果,對(duì)此借鑒文獻(xiàn)[19-20]對(duì)粒子群算法收斂性分析的思想理論,對(duì)魚群算法進(jìn)行簡(jiǎn)要的均方收斂性分析,為方便分析,并不失一般性,假設(shè)決策變量為一維變量,且對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最小值優(yōu)化.魚群算法的收斂性特性定義為:ue02fi∈{1,2,…,P式中:X式中Y(t)=a其中a=a所以迭代過程的特征方程為定理1給定a定理2給定a證明由于D(XY)=D(X)D(Y)+D(X)E從前面的定義可以得出所以,特征方程為同定理1中E[X(t)]的收斂條件一樣,D(X(t))收斂需滿足特征根所以a3仿真參數(shù)設(shè)置用文中提出的混合魚群算法(AFSn(n=13,20,10,5,2,8)表示決策變量的維數(shù).參考文獻(xiàn)[13]中拉格朗日乘子法的參數(shù)設(shè)置,本文仿真參數(shù)設(shè)置如下:λ通過和文獻(xiàn)[22]的優(yōu)化算法比較可以看出,文中提出的算法能夠較好的解決非線性函數(shù)的優(yōu)化問題,優(yōu)化得到的可行解具有較高的計(jì)算精度,且算法具有較好的穩(wěn)定性,甚至對(duì)于較高維的優(yōu)化函數(shù)也可以得到比較滿意的可行解,如測(cè)試函數(shù)G3.1群體規(guī)模對(duì)算法的影響以測(cè)試函數(shù)G從表2可以看出,種群規(guī)模的增大提高了優(yōu)化解的質(zhì)量,除了G3.2內(nèi)部迭代數(shù)對(duì)算法的影響選取G除G4仿真結(jié)果分析增廣拉格朗日乘子法是求解約束非線性優(yōu)化問題的常用方法,和群體智能算法的融合進(jìn)一步拓寬了該方法的應(yīng)用領(lǐng)域.魚群算法和其他智能算法一樣,屬于一種隨機(jī)搜索算法,文中簡(jiǎn)要分析了該算法的隨機(jī)收斂性,并給出了扼要的證明,所得結(jié)論如下:1)文中選取了6個(gè)測(cè)試函數(shù),通過和自適應(yīng)懲罰遺傳算法的結(jié)果相比,本文的仿真結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)[22]的結(jié)果,尤其對(duì)于較高維函數(shù)的計(jì)算優(yōu)勢(shì)更明顯,證明本文提出的混合魚群算法在求解約束非線性優(yōu)化問題時(shí)是可行、有效的,且通過多次仿真分析了外部迭代次數(shù)、內(nèi)部迭代次數(shù)以及魚群規(guī)模對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響.2)經(jīng)多次仿真發(fā)現(xiàn),對(duì)于決策變量尋優(yōu)范圍比較大的優(yōu)化函數(shù),得到的可行解的精度相對(duì)較低,所以為了得到較高質(zhì)量的可行解,在進(jìn)行種群初始化時(shí),可以采取適當(dāng)?shù)牟呗砸蕴岣叻N群初始化質(zhì)量,如采用基于Tent映射的混沌方法進(jìn)行種群初始化等.3)基本魚群算法的計(jì)算精度相對(duì)