二維隨機變量及其分布課件

第五章二維隨機變量及其分布二維隨機變量及分布函數(shù)二維離散型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量邊緣分布隨機變量的獨立性條件分布第五章二維隨機變量及其分布二維隨機變量及分布函數(shù)§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)

一般地，如果兩個變量所組成的有序數(shù)組即二維變量（X，Y），它的取值是隨著實驗結(jié)果而確定的，那么稱這個二維變量（X，Y）為二維隨機變量，相應(yīng)地，稱（X，Y）的取值規(guī)律為二維分布一、二維隨機變量§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)一般地，如果兩個§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)

設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，則稱

F(x,y)=P{X

x,Y

y}

為(X,Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù),其中x,y是任意實數(shù).二、聯(lián)合分布函數(shù)定義：注：聯(lián)合分布函數(shù)是事件{X≤x}與{Y≤y}同時發(fā)生(交)的概率§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)幾何意義如果將二維隨機變量(X,Y)看成是平面隨機點的坐標(biāo),那么聯(lián)合分布函數(shù)F(X,Y)在(X,Y)的函數(shù)值就是隨機點(X,Y)落在以為(x,y)右上角拐點的無窮矩形內(nèi)的概率.

§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)幾何意義如§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)

對任意的x,y,有0≤F(x,y)≤1;F(x,y)關(guān)于x、關(guān)于y單調(diào)不減；

§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)對任§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)F(x,y)關(guān)于x、關(guān)于y右連續(xù)§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)F(§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)④§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)④§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)⑤隨機點(X,Y)落在矩形區(qū)域的概率0x1x2xy1y2y§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)⑤隨機§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)注：任何一個二維聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)必具有以上五條基本性質(zhì)，還可證明具有以上五條性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)一定是某個二維隨機變量的分布函數(shù).即這五條性質(zhì)是判定一個二元函數(shù)是否為某個隨機變量的分布函數(shù)的充要條件§1.1二維隨機變量及分布函數(shù)二、聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)注：任§1.2二維離散型隨機變量一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分布律

若二維離散型隨機變量(X,Y)取(xi,yj)的概率為pij,則稱P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j}＝pij

，(i,j＝1,2,…)，為二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律，或隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律.

可記為

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij,(i,j＝1,2,…)，二維離散型隨機變量定義若二維隨機變量(X,Y)只取有限個或可列個數(shù)對(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，則稱(X,Y)為二維離散型隨機變量。聯(lián)合分布律§1.2二維離散型隨機變量一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分§1.2二維離散型隨機變量一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分布律

聯(lián)合分布律的性質(zhì)

(1)

(2)二維離散型隨機變量的分布律也可列表表示如下:YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…

x2p21p22…p2j…

………………

xipi1pi2…pij…

………………0≤pij≤1,i,j＝1,2,

…§1.2二維離散型隨機變量一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分§1.2二維離散型隨機變量一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分布律

例2一口袋中有三個球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2.從這袋中任取一球后,不放回袋中,再從袋中任取一球.設(shè)每次取球時,袋中各個球被取到的可能性相同.以X,Y分別記第一次、第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)字.求:(1)X,Y的分布率;(2)P(X≥Y).解:P(X=1,Y=2)=(1/3)×1=1/3P(X=2,Y=1)=(2/3)×(1/2)=1/3P(X=2,Y=2)=(2/3)×(1/2)=1/3YX12101/321/31/3§1.2二維離散型隨機變量一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分§1.2二維離散型隨機變量一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分布律

(2)P(X≥Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=0+(1/3)+(1/3)=2/3YX1211/92/922/94/9由于事件{X≥Y}={X=1,Y=1}∪{X=2,Y=1}∪{X=2,Y=2}且三個事件互不相容,因此有放回抽取方式P(X=1,Y=2)=2/9P(X=2,Y=1)=2/9P(X=2,Y=2)=4/9P(X=1,Y=1)=1/9§1.2二維離散型隨機變量一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分§1.2二維離散型隨機變量一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分布律

若(X,Y)的分布律為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…

則(X,Y)的分布函數(shù)為

其中和式是對一切滿足xi≤x,yj≤y求和。分布律與分布函數(shù)的關(guān)系§1.2二維離散型隨機變量一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分§1.2二維離散型隨機變量一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分布律

例若(X,Y)的分布律如下表，YX0101/20101/2求(X,Y)的分布函數(shù)。解yx11§1.2二維離散型隨機變量一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合分例：設(shè)隨機變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取值，另一個隨機變量Y在變量1~X中等可能地取一整數(shù)，試求（X,Y）分布規(guī)律。解：的取值情況是：i=1,2,3,4

j取個不大于i的正整數(shù)且由乘法公式得

yx123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16如求：Y=2概率例：設(shè)隨機變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取值，另一例：從一個裝有3支藍(lán)色，2支紅色，3支綠色圓珠筆的盒子里，隨機抽取兩支，若X,Y分別表示抽出的藍(lán)筆數(shù)和紅筆數(shù)，求（X,Y)的分布規(guī)律。解(X,Y)所取的可能值是（0,0）（0,1）（1，0）（1,1）（0,2）（2,0）例：從一個裝有3支藍(lán)色，2支紅色，3支綠色圓珠筆的盒子里，隨§1.3二維連續(xù)型隨機變量一、二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合密度函數(shù)

1.定義：設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y),若存在一非負(fù)函數(shù)f(x,y),使得對于任意的實數(shù)x,y有則稱(X,Y)是連續(xù)型二維隨機向量,函數(shù)f(x,y)稱為二維向量(X,Y)的(聯(lián)合)概率密度.

2．概率密度f(x,y)的性質(zhì)§1.3二維連續(xù)型隨機變量一、二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合密§1.3二維連續(xù)型隨機變量一、二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合密度函數(shù)

(3).若f(x,y)在點(x,y)連續(xù)，則有

(4).設(shè)G是xy平面上的一個區(qū)域,點(X,Y)落在G內(nèi)的概率為:

在幾何上z=f(x,y)表示空間的一個曲面.由性質(zhì)2,介于它和xoy平面的空間區(qū)域的體積為1，由性質(zhì)4,P{(X,Y)∈G}的值等于以G為底,以曲面z=f(x,y)為頂面的柱體體積。

§1.3二維連續(xù)型隨機變量一、二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合密§1.3二維連續(xù)型隨機變量一、二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合密度函數(shù)

例3:設(shè)二維隨機變量(X,Y)具有概率密度求：(1)常數(shù)c；(2)P(X≥Y).因此解得(1)由性質(zhì)得到c=8解:§1.3二維連續(xù)型隨機變量一、二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合密§1.3二維連續(xù)型隨機變量一、二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合密度函數(shù)

(2)P(X≥Y)=====§1.3二維連續(xù)型隨機變量一、二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合密§1.3二維連續(xù)型隨機變量二、兩個常見二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)

(一)均勻分布

定義:設(shè)G是平面上的有限區(qū)域,面積為A,若二維

隨機向量(X,Y)具有概率密度.

則稱(X,Y)在G上服從均勻分布?！?.3二維連續(xù)型隨機變量二、兩個常見二維連續(xù)型隨機變量§1.3二維連續(xù)型隨機變量二、兩個常見二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)例：設(shè)二維隨機變量(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布,其中G={0<x<1,|y|<x},求(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù).解：yoy=x(1,1)xy=-x(1,-1)§1.3二維連續(xù)型隨機變量二、兩個常見二維連續(xù)型隨機變量§1.3二維連續(xù)型隨機變量二、兩個常見二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)例：若(X,Y)在D1上服從均勻分布，D1為x軸、y軸及直線y=2x+1所圍。求:(X,Y)的概率密度。y-1/20xD1解：§1.3二維連續(xù)型隨機變量二、兩個常見二維連續(xù)型隨機變量§1.3二維連續(xù)型隨機變量二、兩個常見二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)(二)二維正態(tài)分布定義:若(X,Y)具有概率密度其中

-∞<μ1<+∞,-∞<μ2<+∞,σ1>0,σ2>0,|ρ|<1,則稱(X,Y)服從參數(shù)為μ1,μ2,σ21,σ22,ρ的二維正態(tài)分布，記為:(X,Y)

N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ).§1.3二維連續(xù)型隨機變量二、兩個常見二維連續(xù)型隨機變量求：（1）P{X

0},(2)P{X

1},(3)P{Y

y0} 隨機變量（X，Y）的概率密度為xyD答:P{X

0}=0練習(xí)求：（1）P{X0},(2)P{X1},(3)P{Y§1.4邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)1．邊緣分布

設(shè)F(x,y)為二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，稱

P(X≤x)=P(X≤x,Y<+∞)(-∞<x<+∞)為X的邊緣分布函數(shù),并記為Fx(x).2.公式.

由于Fx(x)=P({X≤x}∩{Y<+∞})=P{X≤x,Y<+∞}

=F(x,+∞)

同理有FY(y)=F(+∞,y).§1.4邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)1．邊緣分布

設(shè)F(x§1.4邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)例:試從聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)求關(guān)于X,關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)FX(x),FY(y).解:由邊緣分布函數(shù)的定義我們有§1.4邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)例:試從聯(lián)合分布函數(shù)F(§1.4邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)例:已知(X,Y)的分布函數(shù)為

求FX(x)與FY(y).§1.4邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)例:已知(X,Y)的分布§1.4邊緣分布二、離散型二維隨機向量的邊緣分布律1.邊緣分布律

設(shè)(X,Y)為離散型二維隨機變量,其聯(lián)合分布律為

P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…,

稱P{X=xi,Y<+∞}(i=1,2,…)為X的邊緣分布律。

2.計算以后將記為pi.§1.4邊緣分布二、離散型二維隨機向量的邊緣分布律1.§1.4邊緣分布二、離散型二維隨機向量的邊緣分布律X的邊緣分布為Y的邊緣分布為p2.p1.Px2x1X……pi.xi……p.2p.1Py2y1Y……p.jyj……§1.4邊緣分布二、離散型二維隨機向量的邊緣分布律X的邊§1.4邊緣分布二、離散型二維隨機向量的邊緣分布律1x1xi

pi?p1?pi?p?jp?1p?jyjy1XY

§1.4邊緣分布二、離散型二維隨機向量的邊緣分布律1x1因此得離散型隨機變量關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為：僅對離散而言僅對離散而言因此得離散型隨機變量關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為：僅對離散XY-10410.170.050.21

30.040.280.25求(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律。

解:

X的可能取值為1,3且

P{X=1}=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=4}

=0.17+0.05+0.21=0.43

因此關(guān)于X的邊緣分布律為

x13

p0.430.57同樣的方法求得關(guān)于Y的邊緣分布律為y-104

p0.210.330.46例．聯(lián)合分布律的為：XY-10例：已知下列分布規(guī)律，求其邊緣分布律01016/4912/49112/499/49Yx01016/4912/494/7112/499/493/74/73/71YX解: x=0的概率例：已知下列分布規(guī)律，求其邊緣分布律01016/4912/4§1.4邊緣分布三、連續(xù)型隨機變量(X,Y)的邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)

設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)有聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y),分別稱為(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)；為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù).說明§1.4邊緣分布三、連續(xù)型隨機變量(X例:(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為求邊緣概率密度fx(x),fY(y)。解X的邊緣密度函數(shù)為Y的邊緣密度函數(shù)為例:(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為解X的邊緣密度函數(shù)為例:設(shè)(X,Y)在單位圓D{(x,y)|x2+y2<1}上服從均勻分布,求邊緣概率密度fx(x),fY(y)。解:(X,Y)的p,d為：-10x1xy

先求fx(x):當(dāng)-1<x<1時例:設(shè)(X,Y)在單位圓D{(x,y)|x2+y2<1}上二維隨機變量及其分布ppt課件例設(shè)(X,Y)

N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，即(X,Y)具有概率密度

求邊緣概率密度fx(x),fY(y).

例設(shè)(X,Y)N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，即(二維隨機變量及其分布ppt課件即X

N(μ1,σ12)，Y

N(μ2,σ22).且不依賴參數(shù)ρ.即XN(μ1,σ12)，YN(μ2,σ22).且不依賴參例：設(shè)隨機變量x和y具有聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度解：當(dāng)0≤x≤1時，當(dāng)x<0,或x>1時，因而得(1,1)例：設(shè)隨機變量x和y具有聯(lián)合概率密度(1,1)1）當(dāng)0≤y≤1,2）當(dāng)y<0或y>1時，因而得：1）當(dāng)0≤y≤1,例：設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為試求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度。解：例：設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為試求二維正態(tài)隨機變量于是：二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布到好似一維正態(tài)分布，并且都不依賴于參數(shù)。于是：二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布到好似一維正態(tài)分布，并且都不邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機變量，其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布。令（X.Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為顯然，（X,Y）不服從正態(tài)分布，但是因此邊緣分布均是正態(tài)分布的隨機變量，其聯(lián)合分布不一定是二維的狀態(tài)分布。邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機變量，其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分例：設(shè)解：當(dāng)x>0時，當(dāng)x≤0時,例：設(shè)解：當(dāng)x>0時，二維隨機變量及其分布ppt課件例:一整數(shù)N等可能地在1,2,3····10十個值中取一個，設(shè)D=(N)是能整除N的正整數(shù)的個數(shù)，F(xiàn)=F(N)是能整除N的素數(shù)的個數(shù)。試寫出D和F的聯(lián)合分布律，并求邊緣分布律。解：樣本點12345678910D1223242434F0111121112由此可得D與F的聯(lián)合分布律與邊緣分布律：能整除1,2能整除1,3能整除1,2,4（1,0不為素數(shù)）例:一整數(shù)N等可能地在1,2,3····10十個值中取一個，F(xiàn)1234P(F=j)01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/10P(D=i)1/104/102/103/101D或?qū)⑦吘壈俜致时硎緸镈12341/104/102/103/10F0121/107/102/10F1234P(F=j)01/100001/10104/102例：設(shè)隨機變量x與y相互獨立，并且x服從N(a,),在上服從均勻分布，求（x,y)的聯(lián)合概率密度。例：設(shè)隨機變量x與y相互獨立，并且x服從N(a,)二維隨機變量及其分布ppt課件例：設(shè)兩個獨立的隨機變量x與y的分布規(guī)律為x130.30.7y240.60.4于是：例：設(shè)兩個獨立的隨機變量x與y的分布規(guī)律為x130.30.7因此（x,y）的聯(lián)合分布規(guī)律為y2410.180.1230.420.28x因此（x,y）的聯(lián)合分布規(guī)律為y2410.18§1.5隨機變量的獨立性

隨機變量相互獨立是概率論中非常重要的概念,它是隨機事件相互獨立的推廣.

兩個隨機變量的相互獨立性

設(shè)X，Y為隨機變量.如果對于任意實數(shù)x,y，事件{X≤x}、{Y≤y}相互獨立的，即

P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}

那么稱X，Y相互獨立§1.5隨機變量的獨立性隨機變量相互獨立是§1.5隨機變量的獨立性一、二維隨機變量獨立性的定義

定義：設(shè)F(x,y)及Fx(x),FY(y)分別是二維隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)。若對于所有x,y有

F(x，y)=Fx(x)FY(y)

則稱隨機變量X和Y是相互獨立的。

注釋:

由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但反之，由邊緣分布不能確定聯(lián)合分布。如果X與Y相互獨立，則X，Y的邊緣分布就能確定聯(lián)合分布。

§1.5隨機變量的獨立性一、二維隨機變量獨立性的定義定例:試證明例1中的兩個隨機變量X與Y的獨立性.解:(X，Y)的分布函數(shù)為

邊緣分布函數(shù)分別為

容易看出，對于任意實數(shù)x，y都有

F(x，y)=Fx(x)FY(y),

所以X與Y是相互獨立的

例:試證明例1中的兩個隨機變量X與Y的獨立性.邊緣分布函數(shù)§1.5隨機變量的獨立性二、離散型隨機變量獨立的等價條件定理設(shè)(X，Y)為離散型隨機變量，其分布律為

P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1，2，…)

其邊緣分布分布律為

P{X=xi}=pi·(i=1，2，…)P{Y=yj}=p·j(j=1，2，…)

則X與Y相互獨立的充要條件是對于任意i，j

有:pij=pi··p·j

§1.5隨機變量的獨立性二、離散型隨機變量獨立的等價條件§1.5隨機變量的獨立性二、離散型隨機變量獨立的等價條件證明：(1)充分性。若對于任意i，j有:

pij=pi··p·j

則對于任意實數(shù)x,y有

所以X與Y相互獨立。

(2)必要性。若X與Y相互獨立，對于任意實數(shù)

x1<x2，y1<y2，有

P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2}=P{x1<X≤x2}P{y1<Y≤y2}于是，對于任意i，j，由概率的連續(xù)性§1.5隨機變量的獨立性二、離散型隨機變量獨立的等價條件§1.5隨機變量的獨立性二、離散型隨機變量獨立的等價條件§1.5隨機變量的獨立性二、離散型隨機變量獨立的等價條件例設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為XY-10202/201/202/20

12/201/202/2024/202/204/20證明:X,Y相互獨立.證X,Y的邊緣分布律為X012P1/41/42/4Y-102P2/51/52/5由于p11=(2/20),而p1.=(1/4),p.1=(2/5),易見p11=p1.p.1i,j=1,2,3.因此,由定義知X與Y獨立.例設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為XY-1§1.5隨機變量的獨立性三、連續(xù)型隨機變量獨立的等價條件定理.設(shè)(X，Y)是連續(xù)型隨機變量，f(x，y)，fx(x)，fY(y)分別為(X，Y)的概率密度和邊緣概率密度，則X和Y相互獨立的充要條件是等式

f(x，y)=fx(x)fY(y)

對f(x，y)，fx(x)，fY(y)的所有連續(xù)點成立.§1.5隨機變量的獨立性三、連續(xù)型隨機變量獨立的等價條件§1.5隨機變量的獨立性三、連續(xù)型隨機變量獨立的等價條件證明：(1)充分性。若f(x，y)=fx(x)fY(y)，則

所以，X與Y相互獨立

(2)必要性。若X與Y相互獨立，則在f(x，y),fx(x)，

fY(y)的所有連續(xù)點有§1.5隨機變量的獨立性三、連續(xù)型隨機變量獨立的等價條件設(shè)二維隨機變量X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)為

問(X,Y)是否相互獨立？分析：為判斷X與Y是否相互獨立，只需看邊緣密度函數(shù)之積是否等于聯(lián)合密度函數(shù).設(shè)二維隨機變量X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)為所以X的邊緣密度函數(shù)為所以X的邊緣密度函數(shù)為所以Y的邊際密度函數(shù)為故X與Y不相互獨立所以Y的邊際密度函數(shù)為故X與Y不相互獨立例：已知的分布規(guī)律為(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2）（2,3）1/61/91/181/31）求與應(yīng)滿足的條件；2）若x與y互相獨立，求與的值。12311/61/91/181/321/31/3++1/21/9+1/18+2/3++例：已知的分布規(guī)律為(1,1)(1,2)(11）由分布規(guī)律的性質(zhì)知故與應(yīng)滿足的條件是：≥0,≥0,2/3++=1，≥0,≥0,且+=1/3，2）因為與相互獨立，所以有1）由分布規(guī)律的性質(zhì)知≥0,≥0,2/3++=1例:設(shè)隨機向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為試證X和Y相互獨立.解于是有

p(x,y)=pX(x)pY(y)所以X和Y相互獨立.例:設(shè)隨機向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為試證X和Y相互獨立.§1.5隨機變量的獨立性四、獨立性推廣的一些定義分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機變量的情形。事實上，對n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)，

F(x1,x2,…,xn)＝P(X1

x1,X2

x2,…,Xn

xn)稱為的n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)，或隨機變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)?！?.5隨機變量的獨立性四、獨立性推廣的一些定義分布函數(shù)§1.5隨機變量的獨立性四、獨立性推廣的一些定義定義.若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值為Rn上的有限或可列無窮多個點，稱(X1,X2,...Xn)為n維離散型的，稱

P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn},(x1,x2,...xn)∈Rn為n維隨機變量(X1,X2,...Xn)的聯(lián)合分布律。§1.5隨機變量的獨立性四、獨立性推廣的一些定義定義.§1.5隨機變量的獨立性四、獨立性推廣的一些定義定義.n維隨機變量(X1,X2,...Xn)，如果存在非負(fù)的n元函數(shù)f(x1,x2,...xn)使對任意的n元立方體則稱(X1,X2,...Xn)為n維連續(xù)型隨機變量，稱f(x1,x2,...xn)為(X1,X2,...Xn)的概率密度?！?.5隨機變量的獨立性四、獨立性推廣的一些定義定義.§1.5隨機變量的獨立性四、獨立性推廣的一些定義獨立性的概念推廣至高維隨機向量的情形1.定義:設(shè)(X1，X2，…，Xn)為n維隨機向量，其分布函數(shù)為F(x1，x2，…，xn)，關(guān)于xi的邊緣分布函數(shù)Fxi(xi)，若對于任意實數(shù)x1，x2，…，xn有則稱X1，X2，…，Xn是相互獨立的。

§1.5隨機變量的獨立性四、獨立性推廣的一些定義獨立性的

設(shè)(X,Y)的概率密度為(1)求常數(shù)c.(2)求關(guān)于X的和關(guān)于Y的邊緣概率密度.

練習(xí)設(shè)(X,Y)的概率密度為練習(xí)§1.6條件分布一、離散型隨機變量的條件分布律

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量,其分布律為

P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,….

(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律分別為

P{X=xi}=pi·i=1,2,….

P{Y=yj}=p·jj=1,2,….

設(shè)pi·>0,p·j>0，考慮在事件{Y=yj}已發(fā)生的條件下事件{X=xi}發(fā)生的概率,即

{X=xi|Y=yj},i=1,2,….

的概率,由條件概率公式,§1.6條件分布一、離散型隨機變量的條件分布律設(shè)(X§1.6條件分布一、離散型隨機變量的條件分布律條件概率具有分布律的特性(1).P{X=xi|Y=yj}≥0；1．定義

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量,對于固定

的j，若P{Y=yj}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律。

§1.6條件分布一、離散型隨機變量的條件分布律條件概率具§1.6條件分布一、離散型隨機變量的條件分布律

同理，對于固定的i，若P{X=xi}>0，則稱

為在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律。

2.條件分布函數(shù)

同理，§1.6條件分布一、離散型隨機變量的條件分布律同理，對XY-11201/1203/12

3/22/121/121/12

23/121/120試分別求Y|X=0及X|Y=-1的條件分布律例二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律為

解X|Y=-103/22P1/62/63/6Y|X=0112P1/403/4p.﹣1=p(Y=-1)=1/12+2/12+3/12=3/6P1.=p(Y=0)=1/12+0+3/12=2/6XY-1120§1.6條件分布二、連續(xù)型隨機變量條件分布的定義

設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量,這時由于對任意x,y有P{X=x}=0,P{Y=y}=0,因此不能直接用條件概率公式引入條件分布函數(shù)P{X≤x|Y＝y(tǒng)}.下面我們用極限的方法來處