福建省泉州市南安華僑中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

福建省泉州市南安華僑中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，則對任意，若，下列不等式成立的是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略2.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，則S11=（）A．66 B．55 C．44 D．33參考答案：D【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出a1+5d=3．即a6=3，由此能求出S11的值．【解答】解：∵Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴2（a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+9d）=36，解得a1+5d=3．∴a6=3，∴S11===11a6=33．故選：D．3.直線關(guān)于直線對稱的直線方程為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.函數(shù)的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)值的變化趨勢．【解答】解：f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排A，B，當(dāng)x=時，f（）==故選：D【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)圖象的識別，關(guān)鍵是判斷函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值得變化趨勢，屬于基礎(chǔ)題5.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.已知平面向量，夾角為，且，，則與的夾角是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A7.的角所對的邊分別是（其中為斜邊），分別以邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積分別是，則（

）A．

B．C．

D．參考答案：D8.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．a(chǎn)>一2

B．一2<a<一1

C．a(chǎn)≤一2 D．a(chǎn)≤一參考答案：C9.已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同的平面，且n?β，則下列敘述正確的是(

) A．若m∥n，m?α，則α∥β B．若α∥β，m?α，則m∥n C．若m∥n，m⊥α，則α⊥β D．若α∥β，m⊥n，則m⊥α參考答案：C考點(diǎn)：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解．解答： 解：由m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同的平面，且n?β，知：若m∥n，m?α，則α與β相交或平行，故A錯誤；若α∥β，m?α，則m與n平行或異面，故B錯誤；若m∥n，m⊥α，則由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確；若α∥β，m⊥n，則m與α相交、平行或m?α，故D錯誤．故選：C．點(diǎn)評：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．10.拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的任意一點(diǎn)，令，當(dāng)取得最大值時，直線的斜率是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：如圖，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)拋物線的對稱性，所以設(shè)點(diǎn)P在第一象限,當(dāng)最小時，最大，所以當(dāng)直線與拋物線相切時，最小，設(shè)直線：與拋物線方程聯(lián)立，，，解得，故選B.考點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)【一題多解】本題主要考察了拋物線的幾何性質(zhì)，屬于中檔題型，拋物線有一條重要的性質(zhì)：拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和其到準(zhǔn)線的距離相等，這樣就將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，可得本題就是求過點(diǎn)的拋物線的切線的斜率，法一，可以設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立方程，令，求斜率，或者設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)，求切點(diǎn)，再求切線的斜率.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=1﹣i，則|z|=．參考答案：1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=（1﹣i），∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，z=﹣i．則復(fù)數(shù)z的模|z|=1．故答案為：1．12.閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的值為

.

參考答案：13.對于函數(shù)，若存在區(qū)間[a，b]，當(dāng)時的值域?yàn)?，則稱為k倍值函數(shù).若是k倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.參考答案：試題分析：由題意得有兩個不同的解，，則，因此當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而要使有兩個不同的解，需考點(diǎn)：函數(shù)與方程【思路點(diǎn)睛】（1）運(yùn)用函數(shù)圖象解決問題時，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容，熟悉圖象所能夠表達(dá)的函數(shù)的性質(zhì).（2）在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時，要注意用好其與圖象的關(guān)系，結(jié)合圖象研究.14.用一根長為12的鋼筋焊接一個正三棱柱形狀的廣告牌支架，則該三棱柱的側(cè)面積的最大值是__________．參考答案：615.已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和

．參考答案：16.（5分）對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f″（x）是f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f′（x）叫f（x）的一階導(dǎo)數(shù)，f″（x）叫f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，若方程f″x）=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”．有個同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．設(shè)函數(shù)g（x）=x3﹣x2+3x﹣，則g（）+g（）+…+g（）=．參考答案：2014【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】：計(jì)算題；閱讀型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：由題意求導(dǎo)g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，從而得到（，1）是函數(shù)g（x）=x3﹣x2+3x﹣的對稱中心，從而解得．解：∵g（x）=x3﹣x2+3x﹣，∴g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，令g″（x）=2x﹣1=0得，x=；g（）=?﹣×+3×﹣=1，則（，1）是函數(shù)g（x）=x3﹣x2+3x﹣的對稱中心，則g（）+g（）=2，g（）+g（）=2，…，g（）+g（）=2，故g（）+g（）+…+g（）=2014；故答案為：2014．【點(diǎn)評】：本題考查了學(xué)生對新知識的接受與應(yīng)用能力及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．17.一幾何體的三視圖如右圖所示，測該幾何體的體積為_________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某城市為了滿足市民出行的需要和節(jié)能環(huán)保的要求，在公共場所提供單車共享服務(wù)，某部門為了對該城市共享單車進(jìn)行監(jiān)管，隨機(jī)選取了20位市民對共享單車的情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并根據(jù)其滿意度評分值（滿分100分）制作的莖葉圖如圖所示：（1）分別計(jì)算男性打分的平均數(shù)和女性打分的中位數(shù)；（2）從打分在70分以下（不含70分）的市民中抽取3人，求有女性被抽中的概率．參考答案：【考點(diǎn)】BA：莖葉圖．【分析】（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)和中位數(shù)的公式進(jìn)行計(jì)算即可．（2）根據(jù)古典概型的概率公式分別進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）男性的平均數(shù)為（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）==69，女性的中位數(shù)為=77（2）打分在70分以下（不含70分）的市民中有6名，女性2名，男性4名，從中抽取3人有=20種方法，有女性被抽中有=12+4=16，則對應(yīng)的概率P==．19.如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分別為PD、AC上的動點(diǎn)，且==λ，（0＜λ＜1）．（Ⅰ）若λ=，求證：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱錐E﹣FCD體積最大值．參考答案：考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（Ⅰ）分別取PA和AB中點(diǎn)M、N，連接MN、ME、NF，四邊形MEFN為平行四邊形．由此能證明EF∥平面PAB．（Ⅱ）在平面PAD內(nèi)作EH⊥AD于H，則EH⊥平面ADC，EH∥PAEH=λPA=λ．，由此能求出三棱錐E﹣FCD體積最大值．解答： （Ⅰ）證明：分別取PA和AB中點(diǎn)M、N，連接MN、ME、NF，則NFAD，MEAD，所以NFME，∴四邊形MEFN為平行四邊形．∴EF∥MN，又EF?平面PAB，MN?平面PAB，∴EF∥平面PAB．

（Ⅱ）解：在平面PAD內(nèi)作EH⊥AD于H，因?yàn)閭?cè)棱PA⊥底面ABCD，所以平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，所以EH⊥平面ADC，所以EH∥PA．因?yàn)椋?＜λ＜1），所以，EH=λPA=λ．==1﹣λ，，VE﹣DFC=×λ==，（0＜λ＜1），∴三棱錐E﹣FCD體積最大值．點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．20.（本小題滿分14分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=8y的焦點(diǎn)．（I）求橢圓C的方程；

’（II）P（2，3），Q（2，－3）是橢圓上兩點(diǎn)，A、B是橢圓位于直線PQ兩側(cè)的兩動點(diǎn)，（i）若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值：（ii）當(dāng)A、B運(yùn)動時，滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由。參考答案：21.已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣﹣x+a（a∈R）在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn)．（1）求a的取值范圍；（2）記兩個極值點(diǎn)分別為x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1x2λ恒成立，求λ的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知可轉(zhuǎn)化為方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；再轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點(diǎn)，或轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=與函數(shù)y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點(diǎn)；或轉(zhuǎn)化為g（x）=lnx﹣ax有兩個不同零點(diǎn)，從而討論求解；（2）e1+λ＜可化為1+λ＜lnx1+λlnx2，結(jié)合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），從而可得a＞．而a=．則原式等價于＞．即ln＜恒成立．令t=，t∈（0，1），構(gòu)造函數(shù)h（t）=lnt﹣，從而利用導(dǎo)數(shù)化恒成立問題為最值問題即可．【解答】解：（1）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點(diǎn)，如圖．可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0＜a＜k．令切點(diǎn)A（x0，lnx0），故k==，又k=，故，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜；（2）∵e1+λ＜等價于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（1）可知x1，x2分別是方程lnx﹣ax=0的兩個根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2∴原式等價于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），∵λ＞0，0＜x1＜x2，∴原式等價于a＞．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=．∴原式等價于＞．∵0＜x1＜x2，原式恒成立，即ln＜恒成立．令t=，t∈（0，1），則不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，又h′（t）═=，當(dāng)λ2≥1時，可見t∈（0，1）時，h′（t）＞0，∴h（t）在t∈（0，1）上單調(diào)增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合題意．當(dāng)λ2＜1時，可見t∈（0，λ2）時，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）時h′（t）＜0，∴h（t）在t∈（0，λ2）時單調(diào)增，在t∈（λ2，1）時單調(diào)減，又h（1）=0，∴h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合題意，舍去．綜上所述，若不等式e1+λ＜恒成立，只須λ2≥1，又λ＞0，∴λ≥1．22.(本題滿分12分)如圖，在平面直坐標(biāo)系中，已知橢圓，經(jīng)過點(diǎn)，其中e為橢圓的離心率．且橢圓與直線

有且只有一個交點(diǎn)。（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓相交與A，B兩點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在橢圓上，直線平分線段，求：當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時直線的方程。參考答案：解：（Ⅰ）∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴又，

∴，∴

∴橢圓的方程為…………2分又∵橢圓與直線

有且只有一個交點(diǎn)∴方程即有相等實(shí)根∴

∴

∴橢圓的方程為………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓的方程為

故設(shè)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線的方程