湘教版選修4《漸開線及其參數(shù)方程》教案及教學(xué)反思

湘教版選修4《漸開線及其參數(shù)方程》教案及教學(xué)反思一、教學(xué)目標(biāo)掌握漸開線的定義和性質(zhì)；理解漸開線與圓的關(guān)系；學(xué)會(huì)構(gòu)造漸開線的參數(shù)方程；進(jìn)一步理解參數(shù)方程的概念及其用途；能夠應(yīng)用參數(shù)方程解決實(shí)際問題。二、教學(xué)重點(diǎn)漸開線的定義和性質(zhì)；構(gòu)造漸開線的參數(shù)方程。三、教學(xué)難點(diǎn)漸開線與圓的關(guān)系；參數(shù)方程的用途和求解方法。四、教學(xué)過程1.導(dǎo)入引入問題：本章將要學(xué)習(xí)的是一種曲線，這個(gè)曲線可以在機(jī)械傳動(dòng)、船的螺旋槳和擺錘等領(lǐng)域中得到應(yīng)用?，F(xiàn)在請大家先思考一個(gè)問題：我們要想做出一個(gè)平滑的非圓曲線形狀，我們會(huì)想到什么方法？引入目標(biāo)：在今天的課上，我們將認(rèn)識(shí)一種叫做漸開線的曲線，并且掌握如何用參數(shù)方程來描述漸開線。2.講授2.1漸開線的定義和性質(zhì)漸開線（InvoluteCurve），指一種特殊的曲線，如果在一定方向上滾動(dòng)的圓上有細(xì)繩纏繞，細(xì)繩拉直后脫離圓上，形成的該條繩線的軌跡就是漸開線。漸開線的性質(zhì)漸開線是一條光滑的曲線；漸開線與圓有密切的聯(lián)系。2.2漸開線與圓的關(guān)系根據(jù)定義，如果將一條細(xì)繩纏繞在一個(gè)固定圓上，那么細(xì)繩在固定圓上的滑動(dòng)軌跡就是一個(gè)漸開線。固定圓的半徑為R，細(xì)繩長度為s，當(dāng)細(xì)繩沿著圓周滑動(dòng)時(shí)，固定圓向外滾動(dòng)$\\theta$角度，細(xì)繩的拉力保持不變，此時(shí)，細(xì)繩的長度不變，即s′由此可以得出，圓的周長等于細(xì)繩的長度：$2\\piR=s$。在細(xì)繩沿著圓弧滑行時(shí)，其所在的切線一定與圓的切線相切。2.3構(gòu)造漸開線的參數(shù)方程令圓心角為$\\theta$，當(dāng)細(xì)繩從圓上滾定一周后，弧長s等于圓的周長，即$s=2\\piR$，此時(shí)連接該位置和圓心得到的線段為切線。將得到的切線做垂線，垂足為點(diǎn)P，P點(diǎn)所在的直線被稱為法線，此時(shí)法線的斜率即等于相應(yīng)點(diǎn)的切線斜率的相反數(shù)。將弧長s作為參數(shù)，分別計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo)(x$$\\begin{aligned}x&=R(\\cos{\\theta}+\\theta\\sin{\\theta})\\\\y&=R(\\sin{\\theta}-\\theta\\cos{\\theta})\\end{aligned}$$漸開線的參數(shù)方程中，$\\theta$表示圓心角，R表示初始固定圓的半徑。3.實(shí)踐3.1練習(xí)例1：已知初始固定圓的半徑為2，細(xì)繩長度為3，構(gòu)造出該條漸開線的參數(shù)方程。例2：如圖，一圓上有一動(dòng)點(diǎn)O，一條繩子分別纏繞圓R和圓S，并以同步的速率滾動(dòng)。當(dāng)繩子滾動(dòng)到一定位置時(shí)，繩子所在的位置為點(diǎn)P。試求P點(diǎn)的坐標(biāo)。3.2拓展探究漸開線在機(jī)械制造中的應(yīng)用。4.反思教學(xué)目標(biāo)是否能夠清晰地傳達(dá)給學(xué)生？教學(xué)的難度是否有所超出學(xué)生的接受能力？教學(xué)環(huán)節(jié)是否符合學(xué)生的注意力集中時(shí)間？教學(xué)方法是否靈活，每一個(gè)環(huán)節(jié)的時(shí)間是否與重要程度相符？學(xué)生的反饋是否得到及時(shí)并加以改進(jìn)？五、教學(xué)評價(jià)學(xué)生將根據(jù)課后作業(yè)完成情況以及課堂理解程度進(jìn)行評價(jià)。在學(xué)生的評價(jià)上，將重點(diǎn)關(guān)注以下幾個(gè)方面：學(xué)生對于漸開線的的定義和性質(zhì)是否理解；是否掌握漸開