輔助線在中考中的應(yīng)用專題課件

輔助線在中考中的應(yīng)用專題

——三角形中的輔助線輔助線在中考中的應(yīng)用專題——三角形中的輔助線

《三角形》一章是同學(xué)們學(xué)習(xí)幾何證明的基礎(chǔ).在學(xué)習(xí)過程中,有些同學(xué)常常對幾何證明題輔助線的添加方法顯得束手無策,下面我們就來一起探究三角形中常見輔助線的作法.《三角形》一章是同學(xué)們學(xué)習(xí)幾何證人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線.

輔助線，如何添？把握定理和概念.

還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn).

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線.

也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn).人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線.

輔助線，如何添？把握定理角平分線平行線，等腰三角形來添.

角平分線加垂線，三線合一試試看.

線段垂直平分線，常向兩端把線連.

要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn).

三角形中有中線，延長中線等中線.角平分線平行線，等腰三角形來添.

角平分線加垂線，三線合一

1.三角形中的性質(zhì):

(1)三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;(2)三角形的三內(nèi)角之和為180度;(3)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.2.三角形中的線:中線;高線;角平分線;中垂線.1.三角形中的性質(zhì):(1)等腰三角形;(2)等邊三角形;(3)直角三角形;(4)等腰直角三角形.3.特殊的三角形:(1)等腰三角形;3.特殊的三角形:1.中線倍長法2.截長補(bǔ)短法3.

角平分線構(gòu)造全等法4.垂直平分線5.補(bǔ)形法常用輔助線1.中線倍長法2.截長補(bǔ)短法3.角平分線構(gòu)造全等法4.垂直連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形典例1:如圖,AB=AD,BC=DC,求證:∠B=∠D.ACBD1.連結(jié)AC構(gòu)造全等三角形2.連結(jié)BD構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形典例1:如圖,AB=AD,BC=D典例2:如圖,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥CD,

求證:點(diǎn)M是CD的中點(diǎn).ACBD連結(jié)AC、AD構(gòu)造全等三角形EM連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形典例2:如圖,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥C連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形典例3:如圖,AB=AC,BD=CD,M、N分別是BD、CD的中點(diǎn)，求證：∠AMB＝∠ANCACBD連結(jié)AD構(gòu)造全等三角形NM連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形典例3:如圖,AB=AC,BD=C典例4:如圖,AB與CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的長.ACBD連結(jié)BD構(gòu)造全等三角形O連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形典例4:如圖,AB與CD交于O,且AB=CD，AD=BC，典例1:如圖,△ABC中,∠C=90o,BC=10,BD=6,AD平分∠BAC,求點(diǎn)D到AB的距離.過點(diǎn)D作DE⊥AB構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等ACDBE角平分線上向兩邊作垂線段典例1:如圖,△ABC中,∠C=90o,BC=10,BD典例2:如圖,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠BAC,求證:AB=AC+DC.ACD過點(diǎn)D作DE⊥AB構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等BE角平分線上向兩邊作垂線段典例2:如圖,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AC典例3:如圖,梯形中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分線,求證:BC=AB+CD.過點(diǎn)E作EF⊥BC構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等思考:

你從本題中還能得到哪些結(jié)論?ACDBFE角平分線上向兩邊作垂線段典例3:如圖,梯形中,∠A=∠D=90o,過點(diǎn)E作EF2.如圖,梯形中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分線,

求證:BC=AB+CD.延長BE和CD交于點(diǎn)F構(gòu)造了:全等的直角三角形F思考:

你從本題中還能得到哪些結(jié)論?ACDBE角平分線上向兩邊作垂線段12122.如圖,梯形中,∠A=∠D=90o,延長BE和CD交典例4:如圖,OC平分∠AOB,∠DOE+∠DPE=180o,

求證:PD=PE.ACD過點(diǎn)P作PF⊥OA,PG⊥OB構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等BF思考:

你從本題中還能得到哪些結(jié)論?EPGO角平分線上向兩邊作垂線段典例4:如圖,OC平分∠AOB,∠DOE+∠DPE=1.AD是△ABC的中線，ABCDE延長AD到點(diǎn)E，使DE=AE，連結(jié)CE.中線倍長1.AD是△ABC的中線，ABCDE延長AD到點(diǎn)E，使DE=已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是。已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范已知ΔABC中，AB=8，AC=6，連BC上的中線AD=5，求BC的長已知ΔABC中，AB=8，AC=6，連BC上的中線AD=5，如圖,△ABC中,∠A=90o,D在AB的垂直平分線上,E在AC的垂直平分線上.若BC=6cm,求△ADE的周長.BACDEAD+AE+DE=BD+CE+DE=BC垂直平分線兩邊連如圖,△ABC中,∠A=90o,D在AB的垂直平分線上,B3.如圖,A、A1關(guān)于OM對稱,A、A2關(guān)于ON對稱.若A1A2=6cm,求△ABC的周長.BACOMAB+AC+BC=A1B+A2C+BC=A1A2A1A2N垂直平分線兩邊連3.如圖,A、A1關(guān)于OM對稱,A、A2關(guān)于ON對稱.BA4.如圖,△ABC中，MN是AC的垂直平分線.若AN=3cm,△ABM周長為13cm，求△ABC的周長.BACMAB+BC+AC=AB+BM+MC+6=NAB+BM+AM+6=13+6=19垂直平分線兩邊連4.如圖,△ABC中，MN是AC的垂直平分線.BACMAB5.如圖,△ABC中，BP、CP是△ABC的角平分線，MN//BC.若BC=6cm,△AMN周長為13cm，求△ABC的周長.BACPAB+AC+BC=AM+BM+AN+NC+6=NAM+MP+AN+NP+6=13+6=19MAM+AN+MN+6=等腰三角形性質(zhì)5.如圖,△ABC中，BP、CP是△ABC的角平分線，MN例4.如圖,BC＞AB,BD平分∠ABC,且AD=DC,求證∠A＋∠C=180°.

分析:我們要證∠A＋∠C=180°.設(shè)法將∠A和∠C“搬”到一塊,拼成一個(gè)平角,現(xiàn)有以下幾種方式.例4.如圖,BC＞AB,BD平分∠ABC,且AD=DC,分析又∠BED＋∠DEC=180°,故∠A＋∠C=180°.證法1:如圖在BC上截取BE=AB,連DE,可證△ABD≌△EBD.得到DE=AD=DC,∠A=∠DEB,∴∠C=∠DEC,又∠BED＋∠DEC=180°,故∠A＋∠C=180°.證法證法2:如圖延長BA至F,使BF=BC連接DF.則有△BDF≌△BDC,得CD=DF=AD,∠C=∠F.由∠BAF為平角可證結(jié)論成立.證法2:如圖延長BA至F,使BF=BC連接DF.得CD=DF證法3:如圖,過D分別作∠ABC的兩邊的垂線,E、F為垂足,則DE=DF,易證△ADF≌△CDE,有∠C=∠DAF,故∠BAD＋∠C=180°.證法3:如圖,過D分別作∠ABC的兩邊的垂線,E、F為垂足,證法4:如圖,過A作BD垂線交BC于G,交BD于H,連DC,易證△ABH≌△GBH,則AB=BG,AH=HG,根據(jù)等腰三角形的“三線合一”知DG=AD=DC.∴△ABD≌△GBD，∴∠BAD=∠BGD,故∠BAD＋∠C=180°.證法4:如圖,過A作BD垂線交BC于G,交BD于H,連DC,點(diǎn)評：

1.四種證法都利用了“拼”的方法,所不同的是有截取、延長、作垂線等方法.

2.前三種方法是利用構(gòu)造全等三角形和等腰三角形作轉(zhuǎn)化,第四種方法是反復(fù)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,這些方法具有代表性.

3.幾何證題中要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化思想,它是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法,必須熟練掌握.點(diǎn)評：1.已知:BC平分∠EBD,AF∥BC,F是ED的中點(diǎn).求證:EG=AD分析:有中線且證明兩線段相等,一般延長構(gòu)造全等三角形.延長GF到H使FG=HF,連接DH.1.已知:BC平分∠EBD,AF∥BC,F是ED的中點(diǎn).分析證明:延長GF到H使FG=HF,連接DH.

EBDCFAGH∵F是ED的中點(diǎn)∴EF=FD

∴△EGF

≌△DHF

∴EG=DH∴∵AF∥BC證明:延長GF到H使FG=HF,連接DH.

EBDC2.在等腰三角形ABC的底邊BC上取任意一點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC.過點(diǎn)B作AC邊上的高BG.求證:等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高.分析:如圖所示要證兩線段之和等于第三邊要么截長要么補(bǔ)短兩種方法都行.由題意三條線段都是高線也可用面積相等來做.2.在等腰三角形ABC的底邊BC上取任意一點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE∴DE+DF=BG方法一:(截長法)H過D做DH⊥BG交BG于H.則DF=GH,△BDE≌△DBH得BH=DE∴DE+DF=BG方法一:(截長法)H過D做DH⊥BG交∴DE+DF=BG方法二:(補(bǔ)短法)延長FD,過B做BH⊥FD交FD于H.則HF=GB,△BDE≌△DBH得DH=DEH∴DE+DF=BG方法二:(補(bǔ)短法)延長FD,過B做BH方法三:(等積法)連接AD∵∴方法三:(等積法)連接AD∵∴3.已知如下圖示:D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.分析:本題求證幾邊之和大于另外幾邊之和的問題,通常構(gòu)造三角形,利用兩邊之和大于第三邊,從而求解.有兩種方法.3.已知如下圖示:D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),分析:本題求證幾邊證明:(法一)將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N,在△AMN中,AM＋AN＞MD＋DE＋NE;(1)在△BDM中,MB＋MD＞BD;(2)在△CEN中,CN＋NE＞CE；(3)由(1)＋(2)＋(3)得:AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC證明:(法一)將DE兩邊延長在△AMN中,在△BDM中,MB法二:如右圖,延長BD交AC于F,延長CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有:AB＋AF＞BD＋DG＋GF(三角形兩邊之和大于第三邊)…………（1）GF＋FC＞GE＋CE(同上)……………（2）DG＋GE＞DE(同上)……………（3）由(1)＋(2)＋(3)得:AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC.法二:如右圖,延長BD交AC在△ABF和△GFC和△GD4.如圖:已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn),求證:∠BDC＞∠BAC.AD.CBEF分析:要證明兩角的大小,盡量把這兩角向一個(gè)三角形中轉(zhuǎn)化,利用大角對大邊;如果不行可以利用三角形的外角定理;也可以放縮.4.如圖:已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn),AD.CBEF分析同理∠DEC＞∠BAC,證法一:延長BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)∠BDC是△EDC的外角,∴∠BDC＞∠BACAD.CBE∴∠BDC＞∠DEC,同理∠DEC＞∠BAC,證法一:延長BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)∠即：∠BDC＞∠BAC.AD.CBF證法二:連接AD,并延長交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD1234即：∠BDC＞∠BAC.AD.CBF證法二:連接AD,并5.已知△ABC,AD是BC邊上的中線,分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形,如下圖,求證EF＝2AD.

分析:本題要證倍半需延長短的線段.G延長AD到G使DG=AD,連接BG5.已知△ABC,AD是BC邊上的中線,分別以AB邊、AC邊證明:延長AD到G使DG=AD,連接BG.可證△BGD≌△CAD∴∠2＝∠3，BG=AC,∵△ABE和△ACF是等腰直角三角形.∴∠BAE=∠CAF=90o,AB=AE,AC=AF.∴∠EAF=360o-90-90o-(∠1+∠2)=180o-(∠1+∠2)∴

EF=AG=2ADG123在△ABG中∠ABG=180o-(∠1+∠3)∴∠ABG=∠EAF,∴可證△EAF≌△ABG(SAS)證明:延長AD到G使DG=AD,連接BG.∴∠2＝∠3，6.如圖:已知AC＝BD,AD⊥AC于A,BC⊥BD于B,求證:AD＝BC分析:要證兩線段的長相等,需要構(gòu)造全等三角形,利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可.可分別延長DA,CB,交于E點(diǎn)6.如圖:已知AC＝BD,AD⊥AC于A,BC⊥BD于B,證明:(方法一)分別延長DA,CB,交于E點(diǎn),∵AD⊥ACBC⊥BD(已知)∴∠CAE＝∠DBE＝90°(垂直的定義)∴ED－EA＝EC－EB即:AD＝BC.在△DBE與△CAE中∵∴△DBE≌△CAE(AAS)∴ED＝ECEB＝EA(全等三角形對應(yīng)邊相等)證明:(方法一)分別延長DA,CB,交于E點(diǎn),∴ED－EA證明:(方法二)在△ADC與△BCD中∵AD⊥ACBC⊥BD(已知)∵BD=AC,DC(共用)∴△ADC≌△BCD(HL)∴AD＝BC(全等三角形對應(yīng)邊相等)∴∠CAD＝∠DBC＝90o(垂直的定義)證明:(方法二)在△ADC與△BCD中∵BD=AC,DC(共7.已知:如圖,AC、BD相交于O點(diǎn),且AB＝DC,AC＝BD,求證:∠A＝∠D.分析:由圖知是“又字”形軸對稱圖形,要證兩角相等要么構(gòu)造等腰三角形;要么構(gòu)造全等.7.已知:如圖,AC、BD相交于O點(diǎn),且AB＝DC,分析:∴∠A＝∠D(全等三角形對應(yīng)邊相等)證明:連接BC,在△ABC和△DCB中∵∴△ABC≌△DCB(SSS)∴∠A＝∠D(全等三角形對應(yīng)邊相等)證明:連接BC,在△AB8.在⊿ABC中,AD⊥BC,∠CAD＞∠BAD,求證:AC＞AB分析:要證AC＞AB只需利用大邊對大角.E方法二:在DC上截取DE=BD方法一:可直接證明∠B﹥∠C8.在⊿ABC中,AD⊥BC,∠CAD＞∠BAD,分析:要證證明:(方法二)在DC上截取DE=BD,連接AE,則可證明△ABD≌△ADE,

∴AC﹥AB∴∠B＝∠AED∵∠AED﹥∠C,∠AEC﹥∠B,∴∠AEC﹥∠CABCDE證明:(方法二)在DC上截取DE=BD,連接AE,則可證明△特殊四邊形夯實(shí)基礎(chǔ)步步為營特殊四邊形夯實(shí)基礎(chǔ)步步為營四邊形

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點(diǎn)。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)槿腔蚱剿摹Ｆ揭蒲?，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。四邊形

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點(diǎn)。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)樘厥馑倪呅?．利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1如圖，已知點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCDE是平行四邊形.求證:OE與AD互相平分.一、與平行四邊形有關(guān)的輔助線作法證四邊形AODE為平行四邊形特殊四邊形一、與平行特殊四邊形2．利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形例2如圖，在△ABC中，E、F為AB上兩點(diǎn)，AE=BF，ED//AC，F(xiàn)G//AC交BC分別為D，G.求證:ED+FG=AC.特殊四邊形2．利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形特殊四邊形3．利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3如圖，已知AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證：BF=AC.特殊四邊形3．利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形特殊四邊形和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線和作高，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.例4如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC，EF//BC交AD于點(diǎn)F，求證：四邊形CDEF是菱形.二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法對角線互相垂直且平分特殊四邊形和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線和作特殊四邊形例5如圖，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證：EF+BF的最小值等于DE長.二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法特殊四邊形例5如圖，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一特殊四邊形和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題.三、與矩形有輔助線作法例6如圖，已知矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的長.特殊四邊形和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計(jì)算型題，一般通特殊四邊形作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線.例7如圖，過正方形ABCD的頂點(diǎn)B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求證：∠BCF=∠AEB四、與正方形有關(guān)輔助線的作法AHBO為正方形∠AEB=30O∠BCF=15O特殊四邊形作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線.四、與旋轉(zhuǎn)例正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù)旋轉(zhuǎn)例正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，特殊四邊形和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；（3）作一對角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；（4）延長兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線等.五、與梯形有關(guān)的輔助線的作法特殊四邊形和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種特殊四邊形例8已知，如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于點(diǎn)0.求證：CO=CD.作雙高∠BDC=∠COD=75O作高特殊四邊形例8已知，如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，特殊四邊形例9如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，

DE⊥BC于E.求DE的長.平移一條對角線5特殊四邊形例9如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//利用三角形中位線特殊四邊形例10如圖，在四邊形ABCD中，AC于BD交于點(diǎn)0，AC=BD，E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于點(diǎn)H、G.求證：OG=OH.利用三角形中位線特殊四邊形例10如圖，在四邊形ABCD中，平移一腰例如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的長。平移一腰平移兩腰

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分