【解析】2023年湖南省中考數(shù)學真題分類匯編：相交線與平行線

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2023年湖南省中考數(shù)學真題分類匯編：相交線與平行線

一、選擇題

1．（2023·岳陽）已知，點在直線上，點在直線上，于點，則的度數(shù)是（）

A．B．C．D．

2．（2023·懷化）如圖，平移直線至，直線，被直線所截，，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

3．（2023·長沙）如圖，直線直線n，點A在直線n上，點B在直線m上，連接，過點A作，交直線m于點C．若，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

4．（2023·張家界）如圖，已知直線，平分，，則的度數(shù)是（）

A．B．C．D．

5．（2023·常德）如圖1，在正方形中，對角線相交于點O，E，F(xiàn)分別為，上的一點，且，連接．若，則的度數(shù)為()

A．B．C．D．

6．（2023·邵陽）如圖，在四邊形中，，若添加一個條件，使四邊形為平形四邊形，則下列正確的是（）

A．B．C．D．

7．（2023·邵陽）如圖，直線被直線所截，已知，則的大小為（）

A．B．C．D．

二、填空題

8．（2023·常德）如圖1，在中，，，，D是上一點，且，過點D作交于E，將繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為．

9．（2023·株洲）如圖，在平行四邊形中，，，的平分線交于點E，則的長為．

10．（2023·懷化）如圖，點是正方形的對角線上的一點，于點，．則點到直線的距離為．

三、解答題

11．（2023·常德）今年“五一”長假期間，小陳、小余同學和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上休息時，小陳感覺很舒服，激發(fā)了她對這把椅子的好奇心，就想出個問題考考同學小余，小陳同學先測量，根據(jù)測量結(jié)果畫出了圖1的示意圖（圖2）．在圖2中，已知四邊形是平行四邊形，座板與地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．這時她問小余同學，你能算出靠背頂端點距地面（）的高度是多少嗎？請你幫小余同學算出結(jié)果（最后結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）

四、綜合題

12．（2023·長沙）如圖，在中，平分，交于點E，交的延長線于點F．

（1）求證：；

（2）若，求的長和的面積．

13．（2023·張家界）如圖，已知點A，D，C，B在同一條直線上，且，，．

（1）求證：；

（2）若時，求證：四邊形是菱形．

14．（2023·常德）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點，過點作交的延長線于點．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求的長．

15．（2023·邵陽）如圖，，點是線段上的一點，且．已知．

（1）證明：．

（2）求線段的長．

16．（2023·株洲）如圖所示，在某交叉路口，一貨車在道路①上點A處等候“綠燈”一輛車從被山峰遮擋的道路②上的點B處由南向北行駛．已知，，線段的延長線交直線于點D．

（1）求的大?。?/p>

（2）若在點B處測得點O在北偏西方向上，其中米．問該轎車至少行駛多少米才能發(fā)現(xiàn)點A處的貨車？（當該轎車行駛至點D處時，正好發(fā)現(xiàn)點A處的貨車）

17．（2023·常德）如圖，在中，，D是的中點，延長至E，連接．

（1）求證：；

（2）在如圖1中，若，其它條件不變得到圖2，在圖2中過點D作于F，設(shè)H是的中點，過點H作交于G，交于M．

求證：①；

②．

18．（2023·邵陽）如圖，在等邊三角形中，為上的一點，過點做的平行線交于點，點是線段上的動點（點不與重合）．將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接交于．

（1）證明：在點的運動過程中，總有．

（2）當為何值時，是直角三角形？

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點】平行線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵AB//CD，

∴∠AEF=∠EFG=40°，

∵EG⊥EF，

∴∠EGF=90°-∠EFG=50°，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AEF=∠EFG=40°，再計算求解即可。

2．【答案】B

【知識點】平行線的性質(zhì)；對頂角及其性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：

由題意可得：AB//CD，

∵∠1=60°，

∴∠EGC=∠1=60°，

∴∠2=∠EGC=60°，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠EGC=∠1=60°，再根據(jù)對頂角相等求解即可。

3．【答案】C

【知識點】平行線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：

由題意得∠DAC=∠1+∠BAC=130°，

∵m∥n，

∴∠2+∠DAC=180°，

∴∠2=50°，

故答案為：C

【分析】先根據(jù)垂直結(jié)合題意得到∠DAC，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解。

4．【答案】A

【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，平分，

∴∠FEB=140°，

∴∠FEG=70°，

∵，

∴∠1=∠EFG=40°，

∴，

故答案為：A

【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到∠FEG=70°，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠EFG=40°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解。

5．【答案】C

【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定；正方形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，

∵，

∴∠EFO=45°，∠FE0=45°，

∴∠FE0=∠EFO，

∴FO=EO，

∴△EOD≌△FOA（SAS），

∴∠EDO=∠FAC=15°，

∴∠EDA=30°，

∴∠AED=180°-45°-30°=105°，

故答案為：C

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得到AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到∠FE0=∠EFO，再運用等腰三角形的判定結(jié)合三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到∠EDO=∠FAC=15°，進而得到∠EDA=30°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解。

6．【答案】D

【知識點】平行線的判定；平行四邊形的判定

【解析】【解答】解：

A、添加無法使四邊形為平形四邊形，A不符合題意；

B、添加無法使四邊形為平形四邊形，B不符合題意；

C、添加無法使四邊形為平形四邊形，C不符合題意；

D、∵，

∴∠C＋∠ABC=180°，

∵，

∴∠A+∠ABC=180°，

∴AD∥BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，D符合題意；

故答案為：D

【分析】根據(jù)平行線的判定結(jié)合平行四邊形的判定即可求解。

7．【答案】B

【知識點】平行線的性質(zhì)；對頂角及其性質(zhì)

【解析】【解答】解：

由題意得∠3=∠2，

∵，

∴∠1=∠3=∠2=50°，

故答案為：B

【分析】先根據(jù)對頂角即可得到∠3=∠2，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解。

8．【答案】

【知識點】平行線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：由勾股定理得，

∵，

∴∠BCA=∠DEA，∠CBA=∠EDA=90°，

∴△CBA∽△EDA，

∴，

∴，

∵∠EAD=∠CAB，

∴∠EAD+∠DAC=∠CAB+∠DAC，

即∠EAC=∠DAB，

∴△ECA∽△DBA，

∴，

故答案為：

【分析】先根據(jù)勾股定理即可得到AC的長，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)證明△CBA∽△EDA，進而得到，再結(jié)合題意得到∠EAC=∠DAB，然后運用相似三角形的判定與性質(zhì)證明△ECA∽△DBA，然后得到即可求解。

9．【答案】2

【知識點】平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵EB為∠ABC的角平分線，

∴∠ABE=∠CBE，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC=5，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE=3，

∴DE=2，

故答案為：2

【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到∠ABE=∠CBE，再運用平行四邊形的性質(zhì)即可得到AD∥BC，AD=BC=5，進而運用平行線的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到∠ABE=∠AEB，再運用等腰三角形的性質(zhì)即可求解。

10．【答案】3

【知識點】點到直線的距離；正方形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：過點P作PF⊥AB于點F，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠D=90°，

∴∠PAE=45°，

∴△AEP為等腰直角三角形，AE=PE=3，

∵PE⊥AD，PF⊥AB，

∴∠FAE=∠AEP=∠AFP=90°，

又∵AE=PE，

∴四邊形AFPE為正方形，

∴AE=PF=3，

∴點P到直線AB的距離為3，

故答案為：3.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠D=90°，再求出四邊形AFPE為正方形，最后求解即可。

11．【答案】解：方法一：

過點作交的延長線于點，

四邊形是平行四邊形，，

，

，

過點作于點，

由題意知，，

，

又，

，

過作于點，

，，

，

，

靠背頂端點距地面高度為

；

方法二：

如圖，過點作交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，

，，

，

又，

，

，

，

過作于，

由題意知，，

，

又，

，

靠背頂端點距地面高度為．

【知識點】平行線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【分析】方法一：過點作交的延長線于點，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到，過點作于點，進而得到，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，進而得到，過作于點，再結(jié)合題意運用解直角三角形即可求解；

方法二：過點作交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，根據(jù)題意運用解直角三角形的知識即可得到，過作于，進而得到，再運用平行線的性質(zhì)結(jié)合解直角三角形即可求解。

12．【答案】（1）證明：在中，，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴．

（2）解：∵，

∴；

過D作交的延長線于H，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的面積．

【知識點】平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得到，進而根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再結(jié)合題意運用等腰三角形的性質(zhì)即可求解；

（2）先根據(jù)題意得到；過D作交的延長線于H，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到AH的長，進而根據(jù)勾股定理即可求出DH，再根據(jù)三角形的面積即可求解。

13．【答案】（1）證明：∵，

∴，

即

在和中，

，

∴

∴，

∴

（2）證明：方法一：在和中，

，

∴

∴，又，

∴四邊形是平行四邊形

∵，

∴是菱形；

方法二：∵，

∴

∴，

又，

∴四邊形是平行四邊形

∵，

∴是菱形．

【知識點】平行線的判定；三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定

【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意即可得到，再運用三角形全等的判定與性質(zhì)證明，進而得到，再根據(jù)平行線的判定即可求解；

（2）方法一：先證明即可得到，又，進而根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)即可得到，再根據(jù)菱形的判定即可求解；

方法二：先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可得到，進而得到，再根據(jù)平行四邊形的判定和菱形的判定即可求解。

14．【答案】（1）證明：連接

∵為的中點，

∴=，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，為半徑，

∴為的切線，

（2）解：∵為直徑，

∴，

∵，

∴，

又∵，，

∴，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

在中，由勾股定理得：

．

【知識點】平行線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）連接，先根據(jù)圓周角定理結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可得到，，進而得到，再根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可得到，進而運用切線的判定即可求解；

（2）先根據(jù)圓周角定理即可得到，進而運用勾股定理即可求出AB的長，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明，進而得到，再結(jié)合題意根據(jù)勾股定理即可求解。

15．【答案】（1）證明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∵，

∴，

解得：．

【知識點】垂線；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)垂線的定義即可得到，，進而得到，再根據(jù)相似三角形的判定即可求解；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到，進而代入數(shù)值即可求解。

16．【答案】（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

即的大小為；

（2）解：∵，

∴，

在中，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

即轎車至少行駛24米才能發(fā)現(xiàn)點A處的貨車．

【知識點】平行線的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的性質(zhì)即可得到，進而得到∠DOQ的度數(shù)，再根據(jù)垂直的定義結(jié)合題意即可求解；

（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，進而根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得到，再根據(jù)勾股定理即可求出OC的長，再運用解直角三角形的知識即可求解。

17．【答案】（1）證明：∵是的中點，

∴是的垂直平分線，

又∵E在上，

∴，

在和中，

∴

（2）證明：①連接，

∵分別是和的中點，

∴為的中位線，

∴，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴；

②在和中，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵A、H分別為和中點，

∴為的中位線，

∴，

∴，即為中點，

又∵，

∴為中點，

∴.

【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形全等及其性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位線定理

【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合垂直平分線的判定與性質(zhì)即可得到，進而根據(jù)三角形全等的判定（SSS）即可求解；

（2）①連接，先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可得到，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，從而結(jié)合題意即可得到，再運用相似三角形的判定與性質(zhì)證明，然后進行等量代換即可得到；

（3）先根據(jù)題意證明，進而根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明，進而結(jié)合題意即可得到，即為中點，再已知條件即可求解。

18．【答案】（1）證明：∵等邊三角形，

∴，，

∵，

∴，

∵繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，

∴，

∴時等邊三角形，

∴，

∴，

∴四點共圓，

∴，

∴．

（2）解：如圖，根據(jù)題意，只有當時，成立，

∵繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，

∴，

∴時等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∵等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【知識點】平行線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，進而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，進而結(jié)合題意得到四點共圓，進而即可求解；

（2）只有當時，成立，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到，進而根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得到，進而結(jié)合題意得到，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義即可求解。

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2023年湖南省中考數(shù)學真題分類匯編：相交線與平行線

一、選擇題

1．（2023·岳陽）已知，點在直線上，點在直線上，于點，則的度數(shù)是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】平行線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵AB//CD，

∴∠AEF=∠EFG=40°，

∵EG⊥EF，

∴∠EGF=90°-∠EFG=50°，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AEF=∠EFG=40°，再計算求解即可。

2．（2023·懷化）如圖，平移直線至，直線，被直線所截，，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】平行線的性質(zhì)；對頂角及其性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：

由題意可得：AB//CD，

∵∠1=60°，

∴∠EGC=∠1=60°，

∴∠2=∠EGC=60°，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠EGC=∠1=60°，再根據(jù)對頂角相等求解即可。

3．（2023·長沙）如圖，直線直線n，點A在直線n上，點B在直線m上，連接，過點A作，交直線m于點C．若，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】平行線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：

由題意得∠DAC=∠1+∠BAC=130°，

∵m∥n，

∴∠2+∠DAC=180°，

∴∠2=50°，

故答案為：C

【分析】先根據(jù)垂直結(jié)合題意得到∠DAC，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解。

4．（2023·張家界）如圖，已知直線，平分，，則的度數(shù)是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，平分，

∴∠FEB=140°，

∴∠FEG=70°，

∵，

∴∠1=∠EFG=40°，

∴，

故答案為：A

【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到∠FEG=70°，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠EFG=40°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解。

5．（2023·常德）如圖1，在正方形中，對角線相交于點O，E，F(xiàn)分別為，上的一點，且，連接．若，則的度數(shù)為()

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定；正方形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，

∵，

∴∠EFO=45°，∠FE0=45°，

∴∠FE0=∠EFO，

∴FO=EO，

∴△EOD≌△FOA（SAS），

∴∠EDO=∠FAC=15°，

∴∠EDA=30°，

∴∠AED=180°-45°-30°=105°，

故答案為：C

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得到AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到∠FE0=∠EFO，再運用等腰三角形的判定結(jié)合三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到∠EDO=∠FAC=15°，進而得到∠EDA=30°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解。

6．（2023·邵陽）如圖，在四邊形中，，若添加一個條件，使四邊形為平形四邊形，則下列正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】平行線的判定；平行四邊形的判定

【解析】【解答】解：

A、添加無法使四邊形為平形四邊形，A不符合題意；

B、添加無法使四邊形為平形四邊形，B不符合題意；

C、添加無法使四邊形為平形四邊形，C不符合題意；

D、∵，

∴∠C＋∠ABC=180°，

∵，

∴∠A+∠ABC=180°，

∴AD∥BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，D符合題意；

故答案為：D

【分析】根據(jù)平行線的判定結(jié)合平行四邊形的判定即可求解。

7．（2023·邵陽）如圖，直線被直線所截，已知，則的大小為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】平行線的性質(zhì)；對頂角及其性質(zhì)

【解析】【解答】解：

由題意得∠3=∠2，

∵，

∴∠1=∠3=∠2=50°，

故答案為：B

【分析】先根據(jù)對頂角即可得到∠3=∠2，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解。

二、填空題

8．（2023·常德）如圖1，在中，，，，D是上一點，且，過點D作交于E，將繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為．

【答案】

【知識點】平行線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：由勾股定理得，

∵，

∴∠BCA=∠DEA，∠CBA=∠EDA=90°，

∴△CBA∽△EDA，

∴，

∴，

∵∠EAD=∠CAB，

∴∠EAD+∠DAC=∠CAB+∠DAC，

即∠EAC=∠DAB，

∴△ECA∽△DBA，

∴，

故答案為：

【分析】先根據(jù)勾股定理即可得到AC的長，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)證明△CBA∽△EDA，進而得到，再結(jié)合題意得到∠EAC=∠DAB，然后運用相似三角形的判定與性質(zhì)證明△ECA∽△DBA，然后得到即可求解。

9．（2023·株洲）如圖，在平行四邊形中，，，的平分線交于點E，則的長為．

【答案】2

【知識點】平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵EB為∠ABC的角平分線，

∴∠ABE=∠CBE，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC=5，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE=3，

∴DE=2，

故答案為：2

【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到∠ABE=∠CBE，再運用平行四邊形的性質(zhì)即可得到AD∥BC，AD=BC=5，進而運用平行線的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到∠ABE=∠AEB，再運用等腰三角形的性質(zhì)即可求解。

10．（2023·懷化）如圖，點是正方形的對角線上的一點，于點，．則點到直線的距離為．

【答案】3

【知識點】點到直線的距離；正方形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：過點P作PF⊥AB于點F，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠D=90°，

∴∠PAE=45°，

∴△AEP為等腰直角三角形，AE=PE=3，

∵PE⊥AD，PF⊥AB，

∴∠FAE=∠AEP=∠AFP=90°，

又∵AE=PE，

∴四邊形AFPE為正方形，

∴AE=PF=3，

∴點P到直線AB的距離為3，

故答案為：3.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠D=90°，再求出四邊形AFPE為正方形，最后求解即可。

三、解答題

11．（2023·常德）今年“五一”長假期間，小陳、小余同學和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上休息時，小陳感覺很舒服，激發(fā)了她對這把椅子的好奇心，就想出個問題考考同學小余，小陳同學先測量，根據(jù)測量結(jié)果畫出了圖1的示意圖（圖2）．在圖2中，已知四邊形是平行四邊形，座板與地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．這時她問小余同學，你能算出靠背頂端點距地面（）的高度是多少嗎？請你幫小余同學算出結(jié)果（最后結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】解：方法一：

過點作交的延長線于點，

四邊形是平行四邊形，，

，

，

過點作于點，

由題意知，，

，

又，

，

過作于點，

，，

，

，

靠背頂端點距地面高度為

；

方法二：

如圖，過點作交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，

，，

，

又，

，

，

，

過作于，

由題意知，，

，

又，

，

靠背頂端點距地面高度為．

【知識點】平行線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【分析】方法一：過點作交的延長線于點，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到，過點作于點，進而得到，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，進而得到，過作于點，再結(jié)合題意運用解直角三角形即可求解；

方法二：過點作交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，根據(jù)題意運用解直角三角形的知識即可得到，過作于，進而得到，再運用平行線的性質(zhì)結(jié)合解直角三角形即可求解。

四、綜合題

12．（2023·長沙）如圖，在中，平分，交于點E，交的延長線于點F．

（1）求證：；

（2）若，求的長和的面積．

【答案】（1）證明：在中，，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴．

（2）解：∵，

∴；

過D作交的延長線于H，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的面積．

【知識點】平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得到，進而根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再結(jié)合題意運用等腰三角形的性質(zhì)即可求解；

（2）先根據(jù)題意得到；過D作交的延長線于H，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到AH的長，進而根據(jù)勾股定理即可求出DH，再根據(jù)三角形的面積即可求解。

13．（2023·張家界）如圖，已知點A，D，C，B在同一條直線上，且，，．

（1）求證：；

（2）若時，求證：四邊形是菱形．

【答案】（1）證明：∵，

∴，

即

在和中，

，

∴

∴，

∴

（2）證明：方法一：在和中，

，

∴

∴，又，

∴四邊形是平行四邊形

∵，

∴是菱形；

方法二：∵，

∴

∴，

又，

∴四邊形是平行四邊形

∵，

∴是菱形．

【知識點】平行線的判定；三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定

【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意即可得到，再運用三角形全等的判定與性質(zhì)證明，進而得到，再根據(jù)平行線的判定即可求解；

（2）方法一：先證明即可得到，又，進而根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)即可得到，再根據(jù)菱形的判定即可求解；

方法二：先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可得到，進而得到，再根據(jù)平行四邊形的判定和菱形的判定即可求解。

14．（2023·常德）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點，過點作交的延長線于點．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求的長．

【答案】（1）證明：連接

∵為的中點，

∴=，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，為半徑，

∴為的切線，

（2）解：∵為直徑，

∴，

∵，

∴，

又∵，，

∴，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

在中，由勾股定理得：

．

【知識點】平行線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）連接，先根據(jù)圓周角定理結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可得到，，進而得到，再根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可得到，進而運用切線的判定即可求解；

（2）先根據(jù)圓周角定理即可得到，進而運用勾股定理即可求出AB的長，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明，進而得到，再結(jié)合題意根據(jù)勾股定理即可求解。

15．（2023·邵陽）如圖，，點是線段上的一點，且．已知．

（1）證明：．

（2）求線段的長．

【答案】（1）證明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∵，

∴，

解得：．

【知識點】垂線；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)垂線的定義即可得到，，進而得到，再根據(jù)相似三角形的判定即可求解；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到，進而代入數(shù)值即可求解。

16．（2023·株洲）如圖所示，在某交叉路口，一貨車在道路①上點A處等候“綠燈”一輛車從被山峰遮擋的道路②上的點B處由南向北行駛．已知，，線段的延長線交直線于點D．

（1）求的大??；

（2）若在點B處測得點O在北偏西方向上，其中米．問該轎車至少行駛多少米才能發(fā)現(xiàn)點A處的貨車？（當該轎車行駛至點D處時，正好發(fā)現(xiàn)點A處的貨車）

【答案】（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

即的大小為；

（2）解：∵，

∴，

在中，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

即轎車至少行駛24米才能發(fā)現(xiàn)點A處的貨車．

【知識點】平行線的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾