彈性壓桿的臨界荷載課件

彈性壓桿的臨界荷載重點(diǎn)：穩(wěn)定方程的建立邊界條件的提出等效為單個(gè)壓桿

難點(diǎn)：穩(wěn)定方程的建立邊界條件的提出剛度系數(shù)的確定彈性壓桿的臨界荷載重點(diǎn)：穩(wěn)定方程的建立1一、基本假設(shè)二、材料力學(xué)中的結(jié)果三、簡單剛架等效為單壓桿穩(wěn)定的簡化分析方法四、彈性壓桿的穩(wěn)定方程的建立，臨界荷載的求法

本節(jié)內(nèi)容提要一、基本假設(shè)二、材料力學(xué)中的結(jié)果三、簡單剛架等效為單壓桿2彈性壓桿的臨界荷載

一、基本假設(shè)1.理想的中心受壓直桿

2.材料在彈性范圍內(nèi)，服從虎克定律

3.屈曲變形微小，PKMPKM無限剛性桿的受壓計(jì)算PPljKM彈性桿的受壓計(jì)算彈性壓桿的臨界荷載一、基本假設(shè)1.理想的中心受壓直桿3μ為長度系數(shù)，μL為相當(dāng)長度。

歐拉公式：

μ=2.0μ=1.0μ=0.7μ=0.5二、材料力學(xué)中的結(jié)果

μ為長度系數(shù)，μL為相當(dāng)長度。歐拉公式：μ=2.0μ=4xyM(x)Plj推導(dǎo)歐拉公式已知，下端鉸為什么沒有水平約束力？yxPljL/2L/2δyxxyM(x)Plj推導(dǎo)歐拉公式已知，下端鉸為什么沒有水平5方程的解：A、B

為待定系數(shù)，與邊界條件有關(guān)。

yxPljL/2L/2δyx代入方程，得：（n=1，2，3，...，）n=1時(shí)得：

方程的解：A、B為待定系數(shù)，與邊界條件有關(guān)。yxPl6三、簡單剛架等效為壓桿穩(wěn)定的簡化分析方法

EIEIEIPP例1正對稱失穩(wěn)時(shí)的半結(jié)構(gòu)P等效為單個(gè)壓桿P三、簡單剛架等效為壓桿穩(wěn)定的簡化分析方法EIEIEIPP例7EIEIEIPP

P反對稱失穩(wěn)時(shí)的半結(jié)構(gòu)P等效為單個(gè)壓桿例2

PABABPEIEIEIPPP反對稱失穩(wěn)時(shí)的半結(jié)構(gòu)P等效為單個(gè)壓桿例28例3EI1=∞EIPPKNKNPKN或例3EI1=∞EIPPKNKNPKN或9例4PPP正對稱失穩(wěn)時(shí)的半結(jié)構(gòu)等效壓桿P

PP例4PPP正對稱失穩(wěn)時(shí)的半結(jié)構(gòu)等效壓桿PPP10例4PP反對稱失穩(wěn)時(shí)的半結(jié)構(gòu)PPKMPKM或PP例4PP反對稱失穩(wěn)時(shí)的半結(jié)構(gòu)PPKMPKM或PP11例5

PPKMKM反對稱失穩(wěn)PPPKMKM例5PPKMKM反對稱失穩(wěn)PPPKMKM12正對稱失穩(wěn)PPPKMKMPPKMKM正對稱失穩(wěn)PPPKMKMPPKMKM13四、彈性壓桿的穩(wěn)定方程，臨界荷載

例題1上端無轉(zhuǎn)角但可側(cè)移，彈簧鉸剛度KM

，桿的剛度為EI，桿長L，求臨界荷載。

PM（x）yKMA解：①建立圖示坐標(biāo)系，設(shè)A端轉(zhuǎn)角為θ，x處的撓度y，B端的側(cè)移為δPKMBAyxyPδAθ②取x截面以下為研究對象，∑Mx=0，M（x）+KMθ=Py

四、彈性壓桿的穩(wěn)定方程，臨界荷載例題1上端無轉(zhuǎn)角14M（x）+KMθ=Py以代入方程中③方程通解：yxyPδAθ④邊界條件：ⅰ）當(dāng)x=0時(shí)，y=0，得：

ⅱ）當(dāng)x=0時(shí)，，得：Bk=θⅲ）當(dāng)x=L時(shí)，，得：M（x）+KMθ=Py以代入方程中③方程通解：yx15⑤求解穩(wěn)定方程

邊界條件中的A、B、θ有非零解，其系數(shù)行列式D=0

⑤求解穩(wěn)定方程邊界條件中的A、B、θ有非零解，其系數(shù)行列式16

討論：

①當(dāng)KM=∞時(shí)，原來結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題就是：下端固定，上端可滑動

取n=1得：

此時(shí)壓桿的長度系數(shù)為1

PKMBA討論：①當(dāng)KM=∞時(shí)，原來結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題就是：下端固定，17②當(dāng)KM=0時(shí)，原來結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題就是：下端鉸支，上端可滑動

取n=1得臨界荷載

此時(shí)壓桿的長度系數(shù)為2

②當(dāng)KM=0時(shí)，原來結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題就是：下端鉸支，上端可滑動18例題2求圖示結(jié)構(gòu)體系的穩(wěn)定方程，求出臨界荷載。

HH/2PEIABC∞解：設(shè)C處的水平位移δ，A處的轉(zhuǎn)角θ，畫出失穩(wěn)模態(tài)

θxyyδP取整體為研究對象，求得A處的水平約束力Pδ/H再取x截面以下為研究對象，如圖。

xyM（x）HAP例題2求圖示結(jié)構(gòu)體系的穩(wěn)定方程，求出臨界荷載。HH19xyM（x）HAP取x截面為力矩中心邊界條件：

θxyyδPxyM（x）HAP取x截面為力矩中心邊界條件：θxyyδ20彈性壓桿的臨界荷載課件21kf(k)0.83-2.5634099610.84-2.4222202250.85-2.2436909720.86-2.0141521230.87-1.7124015020.88-1.3036762190.89-0.7267314270.90.1373320550.911.5538282610.924.2601748960.9311.357669870.9476.012762970.95-31.325414230.96-16.184870650.97-12.070931540.98-10.167493070.99-9.0790556181-8.3805150061.01-7.898587089H=5m，kH=0.895*5=4.475tankH=kH，=0.7kf(k)0.83-2.5634099610.84-2.4222例題3

EI1=∞EIHHPABC解：做出失穩(wěn)模態(tài)取BC為研究對象∑MB’=0，Pδ=HCH得

yxyM（x）PδPHCδ例題3EI1=∞EIHHPABC解：做出失穩(wěn)模態(tài)取BC為23yxyM（x）PδM（x）yHCP取x坐標(biāo)以上為研究對象，∑Mx=0，得：

yxyM（x）PδM（x）yHCP取x坐標(biāo)以上為研究對象，24方程的特解：

方程的通解：

方程的特解：方程的通解：25例題4

L/2L/2L/2LPEIAB等效單個(gè)壓桿KNP剛度法求KN1KN解：1）等效壓桿如圖所示

KN可由剛度法求得

KN也可由柔度法求得

P=1L/2LL/2柔度法求KN例題4L/2L/2L/2LPEIAB等效單個(gè)壓桿KNP剛度262）建立穩(wěn)定方程yHxyPABδ設(shè)B處的側(cè)移為δ，彈簧的約束力H=KNδ（向左），A支座的水平約束力KNδ（向右）取x截面以下為研究對象，∑Mx=0，得：

KNδPM（x）y2）建立穩(wěn)定方程yHxyPABδ設(shè)B處的側(cè)移為δ，彈簧的約273）方程的解

穩(wěn)定方程

等效單個(gè)壓桿KNP邊界條件3）方程的解穩(wěn)定方程等效單個(gè)壓桿KNP邊界條件28例題5具有三個(gè)彈簧約束的等直壓桿的穩(wěn)定方程。

K1K2K3PEI,LPθ1

yxθ2M1M2Hδ失穩(wěn)模態(tài)解：失穩(wěn)模態(tài)如圖。上端水平位移δ，轉(zhuǎn)角θ2

；下端轉(zhuǎn)角θ1

M1=K1θ1

，M2=K2θ2

，H=K3δ

例題5具有三個(gè)彈簧約束的等直壓桿的穩(wěn)定方程。K1K2K29取整體為研究對象，∑MA=0

Pθ1

yxθ2M1M2Hδ失穩(wěn)模態(tài)A取x截面上端為研究對象，∑Mx=0

δyHPM2M(x)X截面以上隔離體取整體為研究對象，∑MA=0Pθ1yxθ2M1M2Hδ30令邊界條件：

①當(dāng)x=0，

由y=0，得：

---------(1)由

，得---------(2)令邊界條件：①當(dāng)x=0，由y=0，得：-------31②當(dāng)x=L時(shí)

由，得：----------(3)由（逆時(shí)針轉(zhuǎn)角），得：--------------(4)(1),(2),(3),(4)是關(guān)于A、B、δ、θ2

的齊次方程組

穩(wěn)定方程②當(dāng)x=L時(shí)由，得：-------32討論

①K2=∞，K3=0時(shí)，θ2=0，原結(jié)構(gòu)問題變?yōu)?/p>

PKMBA這便是例題1

討論①K2=∞，K3=0時(shí)，θ2=0，原結(jié)構(gòu)問題變?yōu)镻33②若K1=∞，K3=∞（此時(shí)δ=0），K2=0，則壓桿變?yōu)椋?/p>

PEI,L----(1)----(2)----(3)----(4)以δ=H/K3代入（1）、（2）式中，再聯(lián)合（3）得②若K1=∞，K3=∞（此時(shí)δ=0），K2=0，則壓桿變?yōu)椋?4關(guān)于A,B,H的齊次方程組，其系數(shù)行列式=0關(guān)于A,B,H的齊次方程組，其系數(shù)行列式=035PEI,L或，直接求臨界荷載Pxy設(shè)下端的彎矩為MHM取x截面以上為研究對象MxHPPEI,L或，直接求臨界荷載Pxy設(shè)下端的彎矩為MHM取36PxyHM邊界條件：PxyHM邊界條件：37③若K1=∞，K2=0，則壓桿變?yōu)椋?/p>

PEI,L③若K1=∞，K2=0，則壓桿變?yōu)椋篜EI,L38或，直接求臨界荷載PEI,LPxyPMx邊界條件：或，直接求臨界荷載PEI,LPxyPMx邊界條件：39300300C30混凝土柱受壓，L=8,10,12米PEA=∞PEI,LK3K3=118.6,60.75,35.2kN/m算例：300300C30混凝土柱受壓，L=8,10,12米PEA=40P8=1559kN,=1.41P10=1002kN,=1.41P12=674kN,=1.43300*300抗壓設(shè)計(jì)值1287kNC30混凝土柱，300*300，L=8,10,12米L=8mL=10mL=12m抗壓標(biāo)準(zhǔn)值：1801kNP8=1559kN,=1.41P10=1002kN,41規(guī)范中軸心受壓柱的正截面承載力，一般要求以8、10米長，300*300截面柱為例，假定配置4根22鋼筋規(guī)范計(jì)算L0L0/bNu理論計(jì)算未考慮鋼筋10米柱14.1米470.21329kN1002kN

標(biāo)準(zhǔn)值1801kN

8米柱

11.28米37.60.36564kN1559kN兩端固定1033.30.36564設(shè)計(jì)值1287材料分項(xiàng)系數(shù)1.4826.70.50783規(guī)范中軸心受壓柱的正截面承載力，一般要求以8、10米長，3042④若K1=0，K2=0，壓桿變?yōu)椋?/p>

K3PM(x)K3δPδxy失穩(wěn)模態(tài)K3δδP取下部分為研究對象，

④若K1=0，K2=0，壓桿變?yōu)椋篕3PM(x)K3δP43邊界條件：x=0，y=0得：A=0

-------------(1)x=L，y=δ得：

---------------(2)再由整體平衡：Pδ=K3δL---------------（3）

邊界條件：x=0，y=0得：A=0---------44由sinkL=0，得：

稱為撓曲失穩(wěn)

K3P撓曲失穩(wěn)

由P-K3L=0，得：稱為側(cè)傾失穩(wěn)K3P側(cè)傾失穩(wěn)由sinkL=0，得：稱為撓曲失穩(wěn)K3P撓曲失穩(wěn)45⑤若K2=0，K3=∞（此時(shí)δ=0），壓桿變?yōu)椋?/p>

K1PEI,L⑤若K2=0，K3=∞（此時(shí)δ=0），壓桿變?yōu)椋篕1PEI46K1PEI,L或，直接求臨界荷載K1PxyHPPHyMxPH邊界條件：K1PEI,L或，直接求臨界荷載K1PxyHPPHyMx47⑥若K2=0，K3=0，壓桿變?yōu)?/p>

K1PEI,L⑥若K2=0，K3=0，壓桿變?yōu)镵1PEI,L48或，直接求臨界荷載K1PEI,LK1PyxPMx邊界條件：或，直接求臨界荷載K1PEI,LK1PyxPMx邊界條件49⑦若K2=∞，K3=∞，壓桿變?yōu)?/p>

K1PθyK1PEI,LPHM(x)yK1θ⑦若K2=∞，K3=∞，壓桿變?yōu)镵1PθyK1PEI,50邊界條件：

K1Pθy關(guān)于A，B，，H,的齊次方程邊界條件：K1Pθy關(guān)于A，B，，H,的齊次方程51⑧K3=∞，壓桿變?yōu)?/p>

K1K2K3PEI,LK1K2PHP⑧K3=∞，壓桿變?yōu)镵1K2K3PEI,LK1K2PHP52PHyxyK1K2PPHyxyK1K2P53彈性壓桿的臨界荷載課件54例題5橋墩與剛性基礎(chǔ)失穩(wěn)時(shí)將繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動，設(shè)地基抗轉(zhuǎn)剛度KM

，試建立穩(wěn)定方程。

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