第二節(jié)　用樣本估計總體

第二節(jié)用樣本估計總體第十章內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)固本增分研考點精準突破課標解讀1.能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)),理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.2.能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標準差、方差、極差),理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.3.能用樣本估計總體的取值規(guī)律.4.能用樣本估計百分位數(shù),理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.5.會計算簡單隨機抽樣的樣本均值和樣本方差.掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差的計算.強基礎(chǔ)固本增分1.數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

微點撥

1.0分位數(shù)為數(shù)據(jù)中的最小數(shù),100%分位數(shù)為數(shù)據(jù)中的最大數(shù).2.一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)既可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù),也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù).3.一組數(shù)據(jù)的某些百分位數(shù)可能是同一個數(shù).2.分層隨機抽樣的均值與方差

常用結(jié)論1.在頻率分布直方圖中:(1)最高的小矩形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù);(2)中位數(shù)左邊和右邊的所有小矩形的面積和是相等的;(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標之和.2.平均數(shù)、方差的推廣(2)若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為s2,則數(shù)據(jù)ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差為a2s2.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(

)2.一組數(shù)據(jù)的方差越大,說明這組數(shù)據(jù)越集中.(

)3.一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個,那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論.(

)4.在頻率分布直方圖中,最高的小長方形底邊中點的橫坐標可作為眾數(shù)的估計值.(

)√××√題組二

雙基自測5.(2023·云南昆明高三檢測)為了解某種作物的生長情況,抽取該作物植株高度(單位:cm)的一個隨機樣本,整理得到樣本頻率分布直方圖如圖所示.由此樣本估計,該作物植株高度的80%分位數(shù)約為

.

答案

78解析

由題圖可知,從左到右三個矩形的面積為0.2,0.4,0.25,因為0.2+0.4+0.25=0.85>0.8,所以80%分位數(shù)位于第3個矩形,則80%分位數(shù)約為研考點精準突破考點一總體百分位數(shù)的估計題組(1)(2023·河北保定模擬)某校從高一新生中隨機抽取了一個容量為20的身高樣本,數(shù)據(jù)從小到大排序如下(單位:cm):152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,171,x,174,175,若樣本數(shù)據(jù)的90%分位數(shù)是173,則x的值為

.

(2)(2023·江蘇南通高三開學考試)“雙減”政策實施后,學生的課外閱讀增多.某班50名學生的借書數(shù)量的75%分位數(shù)是:借書數(shù)量(單位:本)5678910頻數(shù)(單位:人)58131194則這50名學生的借書數(shù)量的上四分位數(shù)是(

)A.8 B.8.5 C.9

D.10答案

(1)172

(2)C解析

(1)因為20×90%=18,所以90%分位數(shù)是第18和第19個數(shù)的平均數(shù),(2)由50×75%=37.5,故75%分位數(shù)為借書數(shù)量從小到大排序后的第38人,又5+8+13+11=37<38<5+8+13+11+9=46,故75%分位數(shù)是9.規(guī)律方法

頻率分布直方圖中p%分位數(shù)的計算步驟

考點二用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(多考向探究預(yù)測)考向1中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)題組(1)(多選)(2022·重慶三模)已知一組樣本數(shù)據(jù):4,4,5,7,7,7,8,9,9,10.關(guān)于這組樣本數(shù)據(jù),結(jié)論正確的是(

)A.平均數(shù)為8B.眾數(shù)為7C.極差為6D.中位數(shù)為8(2)(多選)(2022·廣東茂名二模)小李上班可以選擇公交車、自行車兩種交通工具,他分別記錄了100次坐公交車和100次騎車所用時間(單位:分鐘),得到下列兩個頻率分布直方圖:坐公交車時間

騎車時間

基于以上統(tǒng)計信息,則(

)A.騎車時間的中位數(shù)的估計值是22分鐘B.騎車時間的眾數(shù)的估計值是21分鐘C.坐公交車時間的中位數(shù)的估計值是20分鐘D.坐公交車時間的平均數(shù)的估計值小于騎車時間的平均數(shù)的估計值答案

(1)BC

(2)BCD(2)在騎車時間頻率分布直方圖中,設(shè)騎車時間的中位數(shù)的估計值為a1,所以有0.1×2+0.2×(a1-20)=0.5?a1=21.5,因此選項A不正確;騎車時間的眾數(shù)的估計值為21分鐘,因此選項B正確;在坐公交車時間頻率分布直方圖中,設(shè)坐公交車時間的中位數(shù)的估計值為a2,因為(0.025+0.05+0.075+0.1)×2=0.5,所以a2=20,因此選項C正確;設(shè)騎車時間的平均數(shù)的估計值為b1,b1=(19×0.1+21×0.2+23×0.15+25×0.05)×2=21.6;設(shè)坐公交時間的平均數(shù)的估計值為b2,b2=(13×0.025+15×0.05+17×0.075+19×0.1+21×0.1+23×0.075+25×0.05+27×0.025)×2=20,因為b1>b2,所以選項D正確.故選BCD.規(guī)律方法

計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)時的注意點(1)求平均數(shù)時要注意數(shù)據(jù)的個數(shù),不要重記或漏記.(2)求中位數(shù)時,一定先對數(shù)據(jù)按大小排序,若最中間有兩個數(shù)據(jù),則中位數(shù)是這兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù).(3)若有兩個或兩個以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多,且出現(xiàn)的次數(shù)一樣,則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù).考向2方差與標準差題組(1)(2023·山東菏澤模擬)若一組數(shù)據(jù)a1,a2,a3,…,an的方差為4,則3a1-1,3a2-1,3a3-1,…,3an-1的標準差為

.

(2)(2021·全國乙,理17)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高,用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下:舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5(1)答案

6解析

(方法1)根據(jù)方差的性質(zhì),可知這組新數(shù)據(jù)的方差為32×4=36,所以其標準差為6.規(guī)律方法1.標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標準差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,越不穩(wěn)定;標準差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,越穩(wěn)定.2.用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.考向3分層隨機抽樣中的方差與標準差例題(多選)(2023·廣東珠海模擬)某高中有學生500人,其中男生300人,女生200人,希望獲得全體學生的身高信息,按照分層隨機抽樣的原則抽取了容量為50的樣本.經(jīng)計算得到男生身高樣本均值為170cm,方差為17;女生身高樣本均值為160cm,方差為30.下列說法中正確的是(

)A.男生樣本量為30B.每個女生入樣的概率均為C.所有樣本的均值為166cmD.所有樣本的方差為