第二節(jié)　平面向量基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算

第二節(jié)平面向量基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算第七章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.理解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分1.平面向量基本定理(1)定理:如果平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b

不共線

,則對該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c,存在

唯一

的實(shí)數(shù)對(x,y),使得

c=xa+yb

.

(2)基底:平面內(nèi)

不共線

的兩個(gè)向量a與b組成的集合{a,b},常稱為該平面上向量的一組基底.此時(shí)如果c=xa+yb,則稱

xa+yb

為c在基底{a,b}下的分解式.

微點(diǎn)撥1.組成基底的e1,e2必須是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量,零向量不能作為基底中的向量.2.給定基底,同一向量的分解結(jié)果是唯一的,因此若{e1,e2}是基底,且a=λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2,則必有λ1=λ2,μ1=μ2.2.直線上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算(1)直線上向量的坐標(biāo)給定一條直線l以及這條直線上一個(gè)

單位向量

e,由共線向量基本定理可知,對于直線l上的任意一個(gè)向量a,一定存在唯一的實(shí)數(shù)x,使得

a=xe

,此時(shí),

x

稱為向量a的坐標(biāo).

(2)直線上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系已知直線上兩個(gè)向量a,b的坐標(biāo)分別為x1,x2,則①a+b的坐標(biāo)為

x1+x2

;②ua+vb的坐標(biāo)為

ux1+vx2

;③ua-vb的坐標(biāo)為

ux1-vx2

.

3.平面向量的坐標(biāo)(1)垂直向量:平面上兩個(gè)非零向量a與b,如果它們所在的

直線互相垂直

,我們就稱向量a與b垂直,記作

a⊥b

.規(guī)定零向量與任意向量都垂直.

(2)正交分解:如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就稱這組基底為

正交基底

;在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解.

(3)向量的坐標(biāo)一般地,給定平面內(nèi)兩個(gè)

相互垂直的單位

向量e1,e2,對于平面內(nèi)的向量a,如果a=xe1+ye2,則稱(x,y)為向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y).

4.平面上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系假設(shè)平面上兩個(gè)向量a,b滿足a=(x1,y1),b=(x2,y2),則(1)a+b=

(x1+x2,y1+y2)

;

(2)a-b=

(x1-x2,y1-y2)

;

(3)如果λ為實(shí)數(shù),那么λa=

(λx1,λy1)

;

(4)如果μ,v是兩個(gè)實(shí)數(shù),那么μa+vb=

(μx1+vx2,μy1+vy2)

,μa-vb=

(μx1-vx2,μy1-vy2)

;

(5)向量相等的充要條件為

x1=x2

且

y1=y2

;

(7)向量平行的坐標(biāo)表示:a∥b?

x2y1=x1y2

.

5.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則微點(diǎn)撥1.向量坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示,其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵.2.要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo),盡管在形式上它們類似,但意義完全不同,向量坐標(biāo)中既有方向的信息,也有大小的信息.常用結(jié)論1.若a與b不共線,λa+μb=0,則λ=μ=0.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.若a,b不共線,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,則λ1=λ2,μ1=μ2.(

)2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是

.(

)3.平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.(

)4.當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).(

)√×√√題組二

雙基自測6.

已知|a|=3,b=(1,2),且a∥b,則a的坐標(biāo)為

.

研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用(多考向探究預(yù)測)考向1用基底表示平面向量

答案

A規(guī)律方法

求解“與兩直線交點(diǎn)相關(guān)向量的分解”問題的方法(1)待定系數(shù)法:先將相關(guān)向量用給定的基底線性表示,然后將兩個(gè)基向量進(jìn)行兩次不同的轉(zhuǎn)化,使得轉(zhuǎn)化后的基向量與相關(guān)向量的終點(diǎn)在同一條直線上,再根據(jù)“三點(diǎn)共線系數(shù)和等于1”的性質(zhì)得到兩個(gè)關(guān)于待定系數(shù)的方程,解方程組即得待定系數(shù)的值,從而得到相關(guān)向量的分解表達(dá)式.(2)共線向量基本定理法:首先由兩直線相交產(chǎn)生的兩個(gè)“三點(diǎn)共線”關(guān)系,根據(jù)共線向量基本定理用λ,μ設(shè)出與基向量有關(guān)的向量,然后將相關(guān)向量通過兩種不同的形式用基底表示(含有λ,μ),再根據(jù)平面向量基本定理(同一向量表示方法唯一)得到系數(shù)相等,解方程組即得λ,μ的值,從而得到相關(guān)向量的分解表達(dá)式.答案

B考向2利用平面向量基本定理求參數(shù)

規(guī)律方法

利用平面向量基本定理求參數(shù)的基本方法(1)分解法:直接利用平面向量線性運(yùn)算的法則,用給定的基底對相關(guān)向量進(jìn)行分解表示,根據(jù)平面向量基本定理求得參數(shù)值.(2)坐標(biāo)法:若問題中給出的平面圖形適合建系,則可建立平面直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),得到相應(yīng)向量的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得參數(shù)值.考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案

(1)C

(2)B

(3)(-1,3)或(3,5)規(guī)律方法

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題時(shí),首先利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算,然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相等”這一原則,轉(zhuǎn)化為方程(組)進(jìn)行求解.考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)已知點(diǎn)A(-1,1),B(1,3),C(2,2),若點(diǎn)M在線段AC上,且BM=2,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

.

引申探究1(變結(jié)論)本題組(2)中,若已知條件不變,則在線段AC上是否存在點(diǎn)M,使得BM=4?引申探究2(變結(jié)論)本題組(2)中,條件不變,若O為坐標(biāo)原點(diǎn),試求直線OB與直線AC的交點(diǎn)P的坐標(biāo).規(guī)律方法1.已知向量共線(平行)求參數(shù)值時(shí),主要利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件為x1y2=x2y1”這一結(jié)論