2023九年級數(shù)學(xué)上冊重要點考題（人教版）實際問題與二次函數(shù)專題訓(xùn)練（4大題型35題）（原卷版）

22.3實際問題與二次函數(shù)專題訓(xùn)練（4大題型35題）題型1：幾何問題-面積問題1．某中學(xué)課外興趣活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形苗圃園（如圖所示），其中一邊靠墻（墻長為18m），另外三邊用32m的籬笆圍成．（1）令苗圃園長（平行于墻的邊長）為xm，寬為ym，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）若苗圃園的面積為96m2，求垂直于墻的一邊長為多少米？（3）苗圃園的面積能否達(dá)到150m2？請說明理由；并寫出苗圃園的面積最大值．2．目前世界上有10億多人以馬鈴薯為主糧，為國家糧食安全，豐富農(nóng)民收入來源，某區(qū)試點馬鈴薯種植，給予每畝地每年發(fā)放150元補貼．年初，種植戶金大伯根據(jù)以往經(jīng)驗，考慮各種因素，預(yù)計本年每畝的馬鈴薯銷售收入為2000元，以及每畝種植成本y（元）與種植面積x（畝）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）根據(jù)圖象，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）根據(jù)預(yù)計情況，求金大伯今年種植總收入w（元）與種植面積x（畝）之間的函數(shù)關(guān)系式．（總收入＝銷售收入﹣種植成本+種植補貼）．3．如圖，學(xué)校要用一段長為36米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形花圃，墻長為16米．（1）若矩形ABCD的面積為144平方米，求矩形的邊AB的長．（2）要想使花圃的面積最大、AB邊的長應(yīng)為多少米？最大面積為多少平方米？4．?dāng)?shù)學(xué)課外活動小組進(jìn)行如下操作實驗，把一根長20m的鐵絲剪成兩段．（1）把每段首尾相連各圍成一個正方形．要使這兩個正方形的面積之和等于13m2，應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？（2）若把剪成兩段的鐵絲圍成兩個圓，兩圓面積之和的最小值是多少？5．如圖，用一根60厘米的鐵絲制作一個“日”字型框架ABCD，鐵絲恰好全部用完．（1）若所圍成的矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長為多少厘米？（2）矩形框架ABCD面積的最大值為平方厘米．6．園林部門計劃在某公園建一個長方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為14米）．另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開，分成兩個區(qū)域，并在如圖所示的兩處各留2米寬的門（門不用木欄），建成后所用木欄總長32米，設(shè)苗圃ABCD的一邊CD長為x米．（1）BC長為米（包含門寬，用含x的代數(shù)式表示）；（2）若苗圃ABCD的面積為96m2，求x的值；（3）當(dāng)x為何值時，苗圃ABCD的面積最大，最大面積為多少？7．為了提高巴中市民的生活質(zhì)量，巴中市對老舊小區(qū)進(jìn)行了美化改造．如圖，在老舊小區(qū)改造中，某小區(qū)決定用總長27m的柵欄，再借助外墻圍成一個矩形綠化帶ABCD，中間用柵欄隔成兩個小矩形，已知房屋外墻長9m．（1）當(dāng)AB長為多少時，綠化帶ABCD的面積為42m2？（2）當(dāng)AB長為多少時，綠化帶ABCD的面積最大，最大面積是多少？8．如圖，若要建一個矩形場地，場地的一面靠墻，墻長10m，另三邊用籬笆圍成，籬笆總長20m，設(shè)垂直于墻的一邊為xm，矩形場地的面積為Sm2．（Ⅰ）S與x的函數(shù)關(guān)系式為S＝，其中x的取值范圍是；（Ⅱ）若矩形場地的面積為42m2，求矩形場地的長與寬；（Ⅲ）當(dāng)矩形場地的面積最大時，求矩形場地的長與寬，并求出矩形場地面積的最大值．9．在校園嘉年華中，九年級同學(xué)將對一塊長20m，寬10m的場地進(jìn)行布置，設(shè)計方案如圖所示．陰影區(qū)域為綠化區(qū)（四塊全等的矩形），空白區(qū)域為活動區(qū)，且4個出口寬度相同，其寬度不小于4m，不大于8m．設(shè)出口長均為x（m），活動區(qū)面積為y（m2）．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)x取多少時，活動區(qū)面積最大？最大面積是多少？（3）若活動區(qū)布置成本為10元/m2，綠化區(qū)布置成本為8元/m2，布置場地的預(yù)算不超過1850元，當(dāng)x為整數(shù)時，請求出符合預(yù)算且使活動區(qū)面積最大的x值及此時的布置成本．題型2：幾何問題-動點問題10．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC運動．當(dāng)點Q到達(dá)點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為t（s），四邊形APQC的面積為S（cm）．（1）試寫出四邊形APQC的面積為S（cm）與動點運動時間t之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）運動時間t為何值時，四邊形APQC的面積最??？最小值為多少？11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝16cm，點P從點A開始沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，點Q以點B開始沿邊BC向點C以3cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，當(dāng)一點到達(dá)終點時，另一個點隨即停止移動．（1）經(jīng)過幾秒，△PBQ的面積等于18cm2？（2）在運動過程中，經(jīng)過幾秒時，△PBQ的面積最大？最大面積是多少？12．在長方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動點P從點A開始按A→B→C→D的方向運動到點D．如圖，設(shè)動點P所經(jīng)過的路程為x，△APD的面積為y．（當(dāng)點P與點A或D重合時，y＝0）（1）寫出y與x之間的函數(shù)解析式；（2）直接寫出△APD的面積的最大值．13．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，動點P從點A開始沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t，（1）AP＝2tcm，BP＝（12﹣2t）cm，BQ＝4tcm；（2）t為何值△時△PBQ的面積為32cm2？（3）t為何值時△PBQ的面積最大？最大面積是多少？14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，點P從點C開始沿CB向點B以1cm/s的速度移動，點Q從A開始沿AC向點C以2cm/s的速度移動，如果點P，Q同時從點C，A出發(fā)，試問：（1）出發(fā)多少時間時，點P，Q之間的距離等于？（2）出發(fā)多少時間時，△PQC的面積為6cm2？（3）△PQC面積的是否有最大值？若有是多少？此時時間是多少？15．如圖，在矩形ABCD中，BC＝6cm，AB＝4cm，S是AD中點，點E以每秒2cm的速度從點B出發(fā)沿折線BS﹣SD﹣DC勻速運動，同時點F以每秒1cm的速度從點C出發(fā)沿CB運動．設(shè)點E、F出發(fā)t秒（0＜t＜6）時，△EBF的面積為ycm2．（1）求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)t為何值時，y取得最大值，并求出此最大值．16．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，且AO＝8，BO＝6，P是線段AB上一個動點，PE⊥AO于E，PF⊥BO于F．設(shè)PE＝x，矩形PFOE的面積為S（1）求出S與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x為何值時，矩形PFOE的面積S最大？最大面積是多少？17．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點P、Q分別是AB邊和CD邊上的動點，點P從點A向點B運動，點Q從點C向點D運動，且保持AP＝CQ．設(shè)AP＝x．（1）當(dāng)PQ∥AD時，求x的值；（2）當(dāng)線段PQ的垂直平分線與BC邊相交時，求x的取值范圍；（3）當(dāng)線段PQ的垂直平分線與BC相交時，設(shè)交點為E，連接EP、EQ，設(shè)△EPQ的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出S的取值范圍．題型3：利潤問題18．某種產(chǎn)品按質(zhì)量不同分等級，生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品每件獲利潤8元，每提高一個檔次，每件利潤增加2元．用同樣工時每天可生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品800件，每提高一個檔次將減產(chǎn)40件，求生產(chǎn)何種檔次產(chǎn)品的利潤最高？19．小明在“生活中的數(shù)學(xué)”探究活動中，經(jīng)過市場調(diào)查，研究了某種商品的售價、銷量、利潤之間的變化關(guān)系．小明整理出該商品的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示．時間x（天）1≤x＜3030≤x≤50售價（元/件）x+4070每天銷量（件）100﹣2x已知該商品的進(jìn)價為每件10元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）銷售該商品第幾天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是多少？20．“全民防控新冠病毒”期間某公司推出一款消毒產(chǎn)品，成本價8元/千克，經(jīng)過市場調(diào)查，該產(chǎn)品的日銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，該產(chǎn)品的日銷售量與銷售單價幾組對應(yīng)值如表：銷售單價x（元/千克）121620日銷售量y（千克）220180140（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（2）設(shè)日銷售利潤為W，求出W與x的函數(shù)關(guān)系式；（注：日銷售利潤＝日銷售量×（銷售單價?成本單價）（3）該公司決定從每天的銷售利潤中捐贈100元給“精準(zhǔn)扶貧”對象，為了保證捐贈后每天的剩余利潤不低于1500元，試確定該產(chǎn)品銷售單價的范圍．21．某科技公司生產(chǎn)一款精密零件，每個零件的成本為80元，當(dāng)每個零件售價為200元時，每月可以售出1000個該款零件，若每個零件售價每降低5元，每月可以多售出100個零件，設(shè)每個零件售價降低x元，每月的銷售利潤為w元．（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）為了更好地回饋社會，公司決定每銷售1個零件就捐款n（0＜n≤6）元作為抗疫基金，當(dāng)40≤x≤60時，捐款后每月最大的銷售利潤為135000元，求n的值．22．我市某賣場的一專營柜臺，專營一種電器，每臺進(jìn)價60元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售價80元時，平均每月能售出1000臺；當(dāng)銷售價每漲1元時，平均每月能少售出10臺；該柜臺每月還需要支出20000元的其它費用．為了防止不正當(dāng)競爭，穩(wěn)定市場，市物價局規(guī)定：“出售時不得低于80元/臺，又不得高于180元/臺”，設(shè)售價為x元/臺時，月平均銷售量為y臺，月平均利潤為w元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，w與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的取值范圍）；（2）每臺售價多少元時，月銷售利潤最高，最高為多少元．23．某文具店購進(jìn)一批單價為12元的學(xué)習(xí)用品，按照相關(guān)部門規(guī)定其銷售單價不低于進(jìn)價，且不高于進(jìn)價的1.5倍，通過分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)x＝15時，y＝50；當(dāng)x＝17時，y＝30．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）這種學(xué)習(xí)用品的銷售單價定為多少時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？24．為擴(kuò)大銷售，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)農(nóng)貿(mào)公司在某平臺新開了一家網(wǎng)店進(jìn)行線上銷售．在對一種特產(chǎn)（成本為10元/千克）在網(wǎng)店試銷售期間發(fā)現(xiàn)每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元）大致滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系（其中14≤x≤25）．（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求x＝20時，農(nóng)貿(mào)公司每天銷售該特產(chǎn)的利潤；（2）設(shè)農(nóng)貿(mào)公司每天銷售該特產(chǎn)的利潤為W元，當(dāng)銷售單價x為多少元時，W最大？最大是多少元？25．某公司把一種原料加工成產(chǎn)品進(jìn)行銷售，已知某月共加工原料x噸，恰好生產(chǎn)相同噸數(shù)的產(chǎn)品并能完全銷售．每噸原料的加工成本Q（萬元）與x（噸）滿足關(guān)系式：Q＝ax+﹣30（其中a，b均為常數(shù)），且經(jīng)過統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：x（噸）3060Q（萬元）7035（1）求a、b的值；（2）若該月的加工總成本為2052萬元，求x的值；（3）若生產(chǎn)的產(chǎn)品每噸售價為60萬元，則該月可獲得的最大利潤是多少萬元？26．某商店銷售一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的周銷售量y（件）是出價x（元/件）的一次函數(shù)，其售價、周銷售量、周銷售利潤w（元）的三組對應(yīng)值如表：售價x（元/件）506080周銷售量y（件）1008040周銷售利潤w（元）100016001600注：周銷售利潤＝周銷售量×（售價﹣進(jìn)價）（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）當(dāng)售價是多少元/件時，周銷售利潤最大，此時最大利潤是多少元．題型4：拋物線形問題27．如圖，正常水位時，拋物線形拱橋下的水面寬AB為20m，此時拱橋的最高點到水面的距離為4m．（1）把拱橋看作一個二次函數(shù)的圖象，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)水面寬10m時，達(dá)到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持續(xù)上漲，那么達(dá)到警戒水位后，再過多長時間此橋孔將被淹沒？28．2022北京冬奧會自由式滑雪空中技巧比賽中，某運動員比賽過程的空中剪影近似看作一條拋物線，跳臺高度OA為4米，以起跳點正下方跳臺底端O為原點，水平方向為橫軸，豎直方向為縱軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．已知拋物線最高點B的坐標(biāo)為（4，12），著陸坡頂端C與落地點D的距離為2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．求：（1）點A的坐標(biāo)；（2）該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（3）起跳點A與著陸坡頂端C之間的水平距離OC的長．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）29．如圖，隧道的截面由拋物線DEC和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的長AB為4m，寬BC為3m，以DC所在的直線為x軸，線段CD的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．y軸是拋物線的對稱軸，最高點E到地面距離為4米．（1）求出拋物線的解析式．（2）在距離地面米高處，隧道的寬度是多少？（3）如果該隧道內(nèi)設(shè)單行道（只能朝一個方向行駛），現(xiàn)有一輛貨運卡車高3.6米，寬2.4米，這輛貨運卡車能否通過該隧道？通過計算說明你的結(jié)論．30．某公園要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管OA長2.25m．在水管的頂端安裝一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m．（1）建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，求拋物線（第一象限部分）的解析式；（2）不考慮其它因素，水池的直徑至少要多少米才能使噴出的水流不落到池外？（3）實際施工時，經(jīng)測量，水池的最大半徑只有2.5m，在不改變噴出的拋物線形水柱形狀的情況下，且噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，需對水管的長度進(jìn)行調(diào)整，求調(diào)整后水管的最大長度．31．跳繩是大家喜愛的一項體育運動，當(dāng)繩子甩到最高處時，其形狀視為拋物線．如圖是甲，乙兩人將繩子甩到最高處時的示意圖，已知兩人拿繩子的手離地面的高度都為1m，并且相距4m，現(xiàn)以兩人的站立點所在的直線為x軸，過甲拿繩子的手作x軸的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，且繩子所對應(yīng)的拋物線解析式為．（1）求繩子所對應(yīng)的拋物線解析式（不要求寫自變量的取值范圍）；（2）身高1.70m的小明，能否站在繩子的正下方，讓繩子通過他的頭頂？（3）身高1.64m的小軍，站在繩子的下方，設(shè)他距離甲拿繩子的手sm，為確保繩子能通過他的頭頂，請求出s的取值范圍．32．如圖①是氣勢如虹、古典凝重的開封北門，也叫安遠(yuǎn)門，有安定遠(yuǎn)方之寓意．其主門洞的截面如圖②，上部分可看作是拋物線形，下部分可看作是矩形，邊AB為16米，BC為6米，最高處點E到地面AB的距離為8米．（1）請在圖②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出拋物線的解析式．（2）該主門洞內(nèi)設(shè)雙向行駛車道，正中間有0.6米寬的雙黃線．車輛必須在雙黃線兩側(cè)行駛，不能壓雙黃線，并保持車輛最高點與門洞有不少于0.6米的空隙（安全距離），試判斷一輛大型貨運汽車裝載某大型設(shè)備后，寬3.7米，高6.6米，能否安全通過該主門洞？并說明理由．33．小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱