北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)練習(xí)：章末復(fù)習(xí)(一)　直角三角形的邊角關(guān)系

第頁(yè)章末復(fù)習(xí)(一)直角三角形的邊角關(guān)系分點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)1銳角三角函數(shù)1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，以下等式中，正確的選項(xiàng)是(C)A.sinA＝eq\f(b,c)B.cosB＝eq\f(c,a)C.tanA＝eq\f(a,b)D.tanB＝eq\f(a,b)2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C對(duì)邊分別為a，b，c，a＝5，b＝12，c＝13，以下結(jié)論成立的是(C)A.sinA＝eq\f(12,5)B.cosA＝eq\f(5,13)C.tanA＝eq\f(5,12)D.cosB＝eq\f(12,13)知識(shí)點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)值3.eq\r(〔tan30°－1〕2)的值是(A)A.1－eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)－1C.eq\f(\r(3),3)－1D.1－eq\r(3)4.∠A，∠B，∠C分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，假設(shè)(2sinA－1)2＋eq\r(cosB－\f(1,2))＝0，那么△ABC的形狀為直角三角形.5.計(jì)算：(1)(－1)2－2cos30°＋eq\r(3)＋(－2019)0；解：原式＝1－2×eq\f(\r(3),2)＋eq\r(3)＋1＝1－eq\r(3)＋eq\r(3)＋1＝2.(2)eq\f(3tan30°－2tan60°,cos60°)＋4sin60°.解：原式＝eq\f(3×\f(\r(3),3)－2×\r(3),\f(1,2))＋4×eq\f(\r(3),2)＝－2eq\r(3)＋2eq\r(3)＝0.知識(shí)點(diǎn)3解直角三角形6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，b＝1，那么a＝eq\r(3)，∠B＝30°.7.(2023·自貢)如圖，在△ABC中，BC＝12，tanA＝eq\f(3,4)，∠B＝30°，求AC和AB的長(zhǎng).解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D.∵∠B＝30°，BC＝12，∴CD＝6.在Rt△BDC中，BD＝eq\r(BC2－CD2)＝6eq\r(3).∵tanA＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(3,4)，∴AD＝8.∴AB＝AD＋BD＝8＋6eq\r(3).在Rt△ADC中，AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝10.知識(shí)點(diǎn)4三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用8.(2023·宜昌)如圖，要測(cè)量小河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)P，A的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點(diǎn)C，測(cè)得PC＝100米，∠PCA＝35°，那么小河寬PA等于(C)A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米9.(2023·宜賓)某游樂(lè)場(chǎng)一轉(zhuǎn)角滑梯如下圖，滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，點(diǎn)E在線段BD上，在C點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)A的仰角為30°，點(diǎn)E的俯角也為30°，測(cè)得B，E間距離為10米，立柱AB高30米.求立柱CD的高(結(jié)果保存根號(hào)).解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)CD為x米.由題意知，∠ACF＝∠FCE＝30°，BF＝x，AF＝30－x.在Rt△AFC中，tan30°＝eq\f(AF,FC)，∴FC＝eq\f(30－x,\f(\r(3),3))＝30eq\r(3)－eq\r(3)x.在Rt△CED中，∠CED＝∠FCE＝30°，tan∠CED＝eq\f(x,DE)，∴DE＝eq\f(x,\f(\r(3),3))＝eq\r(3)x.∴BD＝BE＋DE＝10＋eq\r(3)x.又∵FC＝BD，∴30eq\r(3)－eq\r(3)x＝10＋eq\r(3)x.解得x＝15－eq\f(5,3)eq\r(3).∴立柱CD的高為(15－eq\f(5,3)eq\r(3))米.易錯(cuò)題集訓(xùn)10.在△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且(tanB－eq\r(3))·(2sinA－eq\r(3))＝0，那么△ABC一定是(D)A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.有一個(gè)角是60°的三角形11.等腰三角形兩條邊的長(zhǎng)分別是3，7，底角為α，那么cosα＝eq\f(3,14).12.AD是△ABC的高，CD＝1，AD＝BD＝eq\r(3)，那么∠BAC＝75°或15°.13.在△ABC中，tanA＝eq\f(3,4)，AB＝5，BC＝4，那么AC的長(zhǎng)等于4＋eq\r(7)或4－eq\r(7).中考題型演練14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，假設(shè)斜邊AB是直角邊BC的3倍，那么tanB的值是(D)A.eq\f(1,3)B.3C.eq\f(\r(2),4)D.2eq\r(2)15.(2023·宜昌)△ABC在網(wǎng)格中的位置如下圖(每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1)，AD⊥BC于D，以下選項(xiàng)中，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是(C)A.sinα＝cosαB.tanC＝2C.sinβ＝cosβD.tanα＝116.如圖，斜面AC的坡度(CD與AD的比)為1∶2，AC＝3eq\r(5)米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶相連.假設(shè)AB＝10米，那么旗桿BC的高度為(A)A.5米BC.8米D.(3＋eq\r(5))米17.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.(1)假設(shè)∠A＝60°，求BC的長(zhǎng)；(2)假設(shè)sinA＝eq\f(4,5)，求AD的長(zhǎng).解：(1)∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝eq\f(BE,AB)，∴∠E＝30°，BE＝tan60°×6＝6eq\r(3).又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝eq\f(CD,CE)，∠E＝30°，∴CE＝eq\f(4,\f(1,2))＝8.∴BC＝BE－CE＝6eq\r(3)－8.(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝eq\f(BE,AE)＝eq\f(4,5)，∴設(shè)BE＝4x，那么AE＝5x.∴AB＝3x.∴3x＝6，解得x＝2.∴BE＝8，AE＝10.∴tanE＝eq\f(AB,BE)＝eq\f(6,8)＝eq\f(CD,DE)＝eq\f(4,DE)，解得DE＝eq\f(16,3).∴AD＝AE－DE＝10－eq\f(16,3)＝eq\f(14,3).18.(2023·河南)“上下杠〞是女子體操特有的一個(gè)競(jìng)技工程，其比賽器材由高、低兩根平行杠及假設(shè)干支架組成，運(yùn)發(fā)動(dòng)可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離，某興趣小組根據(jù)上下杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)你解答.如下圖，底座上A，B兩點(diǎn)間的距離為90cm，低杠上點(diǎn)C到直線AB的距離CE的長(zhǎng)為155cm，高杠上點(diǎn)D到直線AB的距離DF的長(zhǎng)為234cm.低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82.4°，高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80.3°.求高、低杠間的水平距離CH的長(zhǎng).(結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.495，sin80.3°≈0.98