1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案及答案

1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案及答案1.1.4回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（四）在本次練習(xí)習(xí)題課中，我們將探討回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用。其中一個(gè)例子是研究如何根據(jù)施肥量來(lái)預(yù)測(cè)作物的產(chǎn)量。在這個(gè)例子中，施肥量是解釋變量，作物的產(chǎn)量是因變量。如果給定數(shù)據(jù)集(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，則我們可以通過(guò)回歸分析來(lái)確定預(yù)測(cè)模型。下列說(shuō)法正確的有：(C)下列說(shuō)法不正確的是：(C)①回歸方程適用于一切樣本和總體；②回歸方程一般都有時(shí)間性；③樣本取值的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍；④回歸方程得到的預(yù)報(bào)值是預(yù)報(bào)變量的精確值。殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好。我們可以用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸效果，相關(guān)指數(shù)越小，說(shuō)明模型擬合的效果越好。已知回歸直線方程中斜率的估計(jì)值為1.23，樣本點(diǎn)的中心為(4,5)，則回歸直線方程為y=1.23x+0.08。如果這個(gè)模型預(yù)測(cè)這個(gè)孩子在10歲時(shí)的身高，則正確的敘述是身高在145.83cm左右。如果我們對(duì)兩個(gè)變量y與x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)，可以得到回歸方程y=1.23x+4。在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小。如果回歸直線方程中，回歸系數(shù)b=0，則相關(guān)系數(shù)r無(wú)法確定。如果一個(gè)樣本的總偏差平方和為80，殘差平方和為60，則相關(guān)指數(shù)R2為0.25。如果變量y與x之間的相關(guān)系數(shù)為r=-0.9362，則變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。如果施化肥量x（單位：kg）與水稻產(chǎn)量y（單位：kg）的回歸直線方程為y=5x+250，則當(dāng)施化肥量為80kg時(shí)，預(yù)報(bào)水稻產(chǎn)量為650。根據(jù)回歸系數(shù)b和回歸截距a的計(jì)算公式，可以得到b=1331/2484。最后，我們需要注意的是，在進(jìn)行回歸分析時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的范圍和取值會(huì)影響回歸方程的適用范圍。因此，我們需要謹(jǐn)慎選擇樣本數(shù)據(jù)，并對(duì)回歸分析的結(jié)果進(jìn)行合理解釋。2.估計(jì)城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比給定回歸方程$n_{xy}=0.66x+1.562$，其中$n_{xy}$表示人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比，$x$表示居民人均消費(fèi)水平。已知某城市居民人均消費(fèi)水平為7.675千元，求該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為多少。解：將$x=7.675$代入回歸方程，得$n_{xy}=0.66\times7.675+1.562\approx5.055$，即該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為67%（選項(xiàng)C）。8.擬合回歸直線一位母親記錄了兒子3~9歲的身高，建立身高與年齡的回歸模型為$y=7.19x+73.93$，其中$y$表示身高，$x$表示年齡。給定一組數(shù)據(jù)$(x,y)=(2,4)$，問(wèn)擬合這5組數(shù)據(jù)的回歸直線一定經(jīng)過(guò)哪個(gè)點(diǎn)？解：將給定數(shù)據(jù)$(x,y)=(2,4)$代入回歸方程，得$y=7.19\times2+73.93=88.31$。因此，擬合這5組數(shù)據(jù)的回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)$(2,4)$。12.建立回歸模型給出一組數(shù)據(jù)$(x_i,y_i)$，如下表所示：|x|y||-|-||1|3||2|5||3|5||4|6|(1)作出$x$與$y$的散點(diǎn)圖，并猜測(cè)$x$與$y$之間的關(guān)系。(2)建立$x$與$y$的回歸模型，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差。(3)利用所得模型，預(yù)報(bào)$x=10$時(shí)$y$的值。解：(1)作出散點(diǎn)圖如下：76543212468從散點(diǎn)圖中可以看出$x$與$y$大致呈正相關(guān)關(guān)系。(2)回歸方程為$y=b_0+b_1x$，其中$b_1=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$，$b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}$。帶入數(shù)據(jù)計(jì)算得到$b_1=0.6$，$b_0=3.4$，因此回歸方程為$y=3.4+0.6x$。預(yù)測(cè)$x=10$時(shí)，$y=3.4+0.6\times10=9.4$。(3)殘差為$\hat{\varepsilon_i}=y_i-\hat{y_i}$，其中$\hat{y_i}=b_0+b_1x_i$。帶入數(shù)據(jù)計(jì)算得到殘差為$-0.4,-0.2,0.2,0.4$，即預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的誤差。(13)預(yù)測(cè)化學(xué)成績(jī)給定一個(gè)班級(jí)5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和化學(xué)成績(jī)?nèi)缦卤硭?，其中?shù)學(xué)成績(jī)$x$是自變量，化學(xué)成績(jī)$y$是因變量。已知有一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?5分，問(wèn)能否預(yù)測(cè)出他的化學(xué)成績(jī)約為多少？|學(xué)生|A|B|C|D|E||-|-|-|-|-|-||數(shù)學(xué)成績(jī)$x$|88|76|65|64|61||化學(xué)成績(jī)$y$|4|6|4|5|3|解：首先作出$x$與$y$的散點(diǎn)圖，可以看出二者大致呈正相關(guān)關(guān)系。然后計(jì)算$x$和$y$的平均值，得到$\bar{x}=72.8$，$\bar{y}=4.4$。計(jì)算回歸系數(shù)$b_1$和截距$b_0$，得到$b_1=0.056$，$b_0=0.133$。因此，預(yù)測(cè)該學(xué)生的化學(xué)成績(jī)?yōu)?\hat{y}=b_0+b_1\times75=4.2$左右。注意到樣本量較小，因此預(yù)測(cè)結(jié)果可能不夠準(zhǔn)確。a=y-bx=4-1.2*2=1.6。殘差表：ixyyhate=y-yhat1232.20