江蘇省淮安市清江中學等四校2023年高二數(shù)學第二學期期末檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量，其正態(tài)分布曲線如圖所示，若向正方形OABC中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點數(shù)估計值為（）（附：則）A．6038 B．6587 C．7028 D．75392．已知函數(shù)的定義域為，且滿足（是的導函數(shù)），則不等式的解集為（）A． B． C． D．3．“”是“函數(shù)在內(nèi)存在零點”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．設集合,則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若方程有兩個相異實根，且，則實數(shù)的值等于（）A．-2或2 B．-2 C．2 D．06．已知命題R，使得是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．命題：“R，”的否定是“R，”，則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，的圖象過點，且在上單調(diào)，的圖象向左平移個單位后得到的圖象與原圖象重合，若存在兩個不相等的實數(shù)，滿足，則（）A． B． C． D．8．設，滿足約束條件則的最大值為（）A． B． C． D．9．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，，，則（）A．2 B． C． D．410．如圖，是正四面體的面上一點，點到平面距離與到點的距離相等，則動點的軌跡是()A．直線 B．拋物線C．離心率為的橢圓 D．離心率為3的雙曲線11．正數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．12．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點分別為.若為線段的中點，則點對應的復數(shù)是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，設，若存在不相等的實數(shù)同時滿足方程和，則實數(shù)的取值范圍為______．14．若為正實數(shù)，則的最大值為_______．15．若函數(shù)有極大值又有極小值，則的取值范圍是__________．16．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設命題p:函數(shù)f(x)=x2-ax命題q:方程x2+ay2命題“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.18．（12分）隨著人們生活水平的日益提高，人們對孩子的培養(yǎng)也愈發(fā)重視，各種興趣班如雨后春筍般出現(xiàn)在我們?nèi)粘Ｉ钪?據(jù)調(diào)查，3～6歲的幼兒大部分參加的是藝術(shù)類，其中舞蹈和繪畫比例最大，就參加興趣班的男女比例而言，女生參加興趣班的比例遠遠超過男生.隨機調(diào)查了某區(qū)100名3～6歲幼兒在一年內(nèi)參加舞蹈或繪畫興趣班的情況，得到如下表格：不參加舞蹈且不參加繪畫興趣班參加舞蹈不參加繪畫興趣班參加繪畫不參加舞蹈興趣班參加舞蹈且參加繪畫興趣班人數(shù)14352625（Ⅰ）估計該區(qū)3～6歲幼兒參加舞蹈興趣班的概率；（Ⅱ）通過所調(diào)查的100名3～6歲幼兒參加興趣班的情況，填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.9%的把握認為參加舞蹈興趣班與性別有關(guān).參加舞蹈興趣班不參加舞蹈興趣班總計男生10女生70總計附：.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）是上不同的三點，若直線與直線的斜率之積為，證明：兩點的橫坐標之和為常數(shù).20．（12分）設實部為正數(shù)的復數(shù)z，滿足|z|=，且復數(shù)（1+3i）z在復平面內(nèi)對應的點在第一、三象限的角平分線上.(I)求復數(shù)z(II)若復數(shù)+m2(1+i)-2i十2m-5為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值.21．（12分）以直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，若直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.（1）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程；（2）設點的直角坐標為，過的直線與直線平行，且與曲線交于、兩點，若，求的值.22．（10分）如圖，已知橢圓與橢圓的離心率相同．（1）求的值；（2）過橢圓的左頂點作直線，交橢圓于另一點，交橢圓于兩點（點在之間）．①求面積的最大值（為坐標原點）；②設的中點為，橢圓的右頂點為，直線與直線的交點為，試探究點是否在某一條定直線上運動，若是，求出該直線方程；若不是，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】∵隨機變量，∴，∴，∴落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為個．選B．2、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，在不等式兩邊同時乘以化為，即，然后利用函數(shù)在上的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，在不等式兩邊同時乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集為，故選：D.【點睛】本題考查利用構(gòu)造新函數(shù)求解函數(shù)不等式問題，其解法步驟如下：（1）根據(jù)導數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)；（2）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，必要時分析該函數(shù)的奇偶性；（3）將不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性求解.3、A【解析】分析：先求函數(shù)在內(nèi)存在零點的解集，，再用集合的關(guān)系判斷充分條件、還是必要條件。詳解：函數(shù)在內(nèi)存在零點，則，所以的解集那么是的子集，故充分非必要條件，選A點睛：在判斷命題的關(guān)系中，轉(zhuǎn)化為判斷集合的關(guān)系是容易理解的一種方法。4、C【解析】

解不等式得集合A，B,再由交集定義求解即可.【詳解】由已知所以，故選C.【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎題.5、C【解析】分析：利用導數(shù)法，可得當x=﹣1時，函數(shù)取極大值m+2，當x=1時，函數(shù)取極小值m﹣2，結(jié)合方程f（x）=0有兩個相異實根x1，x2，且x1+x2＜0，可得答案．詳解：∵函數(shù)f（x）=x3﹣3x+m，∴f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，則x=±1，當x＜﹣1，或x＞1時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；當﹣1＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；故當x=﹣1時，函數(shù)取極大值m+2，當x=1時，函數(shù)取極小值m﹣2，又∵方程f（x）=0有兩個相異實根x1，x2，且x1+x2＜0，∴m﹣2=0，解得m=2，故選：C．點睛：本題考查的知識點是利用導數(shù)法研究函數(shù)的極值，方程根的個數(shù)判斷，難度中檔．對于函數(shù)的零點問題，它和方程的根的問題，和兩個函數(shù)的交點問題是同一個問題，可以互相轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點時，如果是一個常函數(shù)一個含參的函數(shù)，注意讓含參的函數(shù)式子盡量簡單一些。6、C【解析】

利用復合命題的真值表進行判斷即可，注意中的冪函數(shù)的系數(shù)為1，而中的小于的否定是大于或等于．【詳解】命題令，解得，則為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，因此是真命題，命題“，”的否定是“，”，因此是假命題，四個選項中的命題為真命題的是，其余的為假命題，故選C．【點睛】（1）冪函數(shù)的一般形式是，而指數(shù)函數(shù)的一般形式是；（2）我們要熟悉常見詞語的否定，若“大于”的否定是“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”，“至少有一個”的否定是“一個都沒有”等．7、A【解析】

由圖像過點可得，由的圖象向左平移個單位后得到的圖象與原圖象重合，可知，結(jié)合在上單調(diào)，從而得到，由此得到的解析式，結(jié)合圖像，即可得到答案?！驹斀狻恳驗榈膱D象過點，則，又，所以.一方面，的圖象向左平移單位后得到的圖象與原函數(shù)圖象重合，則，即，化簡可知．另一方面，因為在上單調(diào)，所以，即，化簡可知.綜合兩方面可知．則函數(shù)的解析式為，結(jié)合函數(shù)圖形，因為，當時，，結(jié)合圖象可知則，故選A．【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)解析式的求法，以及函數(shù)圖像的應用，考查學生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。8、C【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，求目標函數(shù)的最大值即可．【詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由得到，平移直線，當過A時直線截距最小，最大，由得到，所以的最大值為，故選：C．【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．9、C【解析】

先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b【詳解】所以【點睛】本題考查正余弦定理的簡單應用，屬于基礎題．10、C【解析】分析：由題設條件將點P到平面ABC距離與到點V的距離相等轉(zhuǎn)化成在面VBC中點P到V的距離與到定直線BC的距離比是一個常數(shù)，依據(jù)圓錐曲線的第二定義判斷出其軌跡的形狀．詳解：∵正四面體V﹣ABC∴面VBC不垂直面ABC，過P作PD⊥面ABC于D，過D作DH⊥BC于H，連接PH，可得BC⊥面DPH，所以BC⊥PH，故∠PHD為二面角V﹣BC﹣A的平面角令其為θ則Rt△PGH中，|PD|：|PH|=sinθ（θ為V﹣BC﹣A的二面角的大小）．又點P到平面ABC距離與到點V的距離相等，即|PV|=|PD|∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC中，點P到定點V的距離與定直線BC的距離之比是一個常數(shù)sinθ，又在正四面體V﹣ABC，V﹣BC﹣A的二面角的大小θ有：sinθ=＜1，由橢圓定義知P點軌跡為橢圓在面SBC內(nèi)的一部分．故答案為：C．點睛：（1）本題主要考查二面角、橢圓的定義、軌跡方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．(2)解答本題的關(guān)鍵是聯(lián)想到圓錐曲線的第二定義.11、C【解析】給定特殊值，不妨設，則：.本題選擇C選項.12、C【解析】

求出復數(shù)對應點的坐標后可求的坐標.【詳解】兩個復數(shù)對應的點坐標分別為，則其中點的坐標為，故其對應點復數(shù)為，故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義，注意復數(shù)對應的點是由其實部和虛部確定的，本題為基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)奇偶性定義求得為奇函數(shù)，從而可得且，從而可將整理為：，通過求解函數(shù)的值域可得到的取值范圍.【詳解】為上的奇函數(shù)又且且即：令，則在上單調(diào)遞增又本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應用問題，涉及到奇偶性的判定、單調(diào)性的應用，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為的值域的求解問題；易錯點是在求解的取值范圍時，忽略的條件，錯誤求解為，造成增根.14、【解析】

設恒成立，可知；將不等式整理為，從而可得，解不等式求得的取值范圍，從而得到所求的最大值.【詳解】設恒成立，可知則：恒成立即：恒成立，解得：的最大值為：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笫阶愚D(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題，從而構(gòu)造出不等式求解出的取值范圍，從而求得所求最值，屬于較難題.15、【解析】

由題可知有兩個不相等的實數(shù)根,再根據(jù)二次函數(shù)的判別式法求解即可.【詳解】由題,有兩個不相等的實數(shù)根,故,即,解得或.故的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的極值求解參數(shù)范圍的問題,同時也考查了二次函數(shù)的根的分布問題,屬于基礎題.16、2【解析】

直接利用余弦定理得到答案.【詳解】，，（舍去）故答案為2【點睛】本題考查了余弦定理，意在考查學生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、a<1【解析】分析：化簡命題p可得a≤0，化簡命題q可得0<a<1，由p∨q為真命題，p∧q為假命題，可得p,q一真一假，分兩種情況討論，對于p真q假以及p假q真分別列不等式組，分別解不等式組，然后求并集即可求得實數(shù)a的取值范圍.詳解：由于命題p:函數(shù)f(x)=x2-ax所以a≤0命題q:方程x2+ay2所以2a命題“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題，則p、①p真q假時：a≤0a≤0②p假q真綜上所述：a的取值范圍為：a<1點睛：本題通過判斷或命題、且命題的真假，綜合考查二次函數(shù)的單調(diào)性以及橢圓的標準方程與性質(zhì)，屬于中檔題.解答非命題、且命題與或命題真假有關(guān)的題型時，應注意：（1）原命題與其非命題真假相反；（2）或命題“一真則真”；（3）且命題“一假則假”.18、（I）（II）有的把握認為參加舞蹈興趣班與性別有關(guān)，詳見解析【解析】

（Ⅰ）畫出韋恩圖，計算參加舞蹈班的人數(shù)，再計算概率.（Ⅱ）補全列聯(lián)表，計算，與臨界值表作比較得到答案.【詳解】（I）畫出韋恩圖得：（II）參加舞蹈興趣班不參加舞蹈興趣班總計男生102030女生502070總計6040100所以，有的把握認為參加舞蹈興趣班與性別有關(guān).【點睛】本題考查了概率的計算，列聯(lián)表，意在考查學生的計算能力.19、（1）（2）見解析【解析】

（1）直接用待定系數(shù)法可得方程；（2）設三點坐標分別為，，，設出直線方程，聯(lián)立橢圓，求證為常數(shù)即可.【詳解】（1）由題意橢圓的焦距為2，且過點，所以，，解得，，所以橢圓的標準方程為（2）設三點坐標分別為，，，設直線斜率分別為，則直線方程為由方程組消去，得由根與系數(shù)關(guān)系可得：故同理可得：又故則從而即兩點的橫坐標之和為常數(shù)【點睛】本題主要考查橢圓的相關(guān)計算，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓中的定值問題，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力，計算能力，難度較大.20、(1).(2)【解析】

分析：（1）設，先根據(jù)復數(shù)乘法得，再根據(jù)復數(shù)的模得解方程組可得，（2）先化成復數(shù)代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)概念列方程組，解得實數(shù)m的值.詳解：(1)設，由，得又復數(shù)=在復平面內(nèi)對應的點在第一、三象限的角平分線上.則，即又，所以，則(2)=為純虛數(shù),所以可得點睛：本題重點考查復數(shù)的基本運算和復數(shù)的概念，屬于基本題.首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復數(shù)相關(guān)基本概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為21、（1）直線的直角坐標方程為，曲線的普通方程為；（2）.【解析】

（1）利用兩角和的余弦公式以及可將的極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程，在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出曲線的普通方程；（2）求出直線的傾斜角為，可得出直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），并設點、的參數(shù)分別為、，將直線的參數(shù)方程與曲線普通方程聯(lián)立，列出韋達定理，由，代入韋達定理可求出的值.【詳解】（1）因為，所以，由，，得，即直線的直角坐標方程為；因為消去，得，所以曲線的普通方程為；（2