結(jié)合Hull-White模型與求面積法課件

AccurateMulti-nomialInterestRateTreeforHull-WhiteTermstructuralModel研究生:顏妤芳指導(dǎo)教授:王克陸博士戴天時(shí)博士AccurateMulti-nomialInterest1利率結(jié)構(gòu)型商品近年來蓬勃發(fā)展，任何商品推出之後的成敗，主要關(guān)鍵在於其價(jià)格的訂定是否合理，而評(píng)價(jià)方式是否夠精確更會(huì)影響評(píng)價(jià)出來的結(jié)果。本論文將於評(píng)價(jià)方法做更精確的改良。將以Hull-White短利模型為基礎(chǔ)，建造一個(gè)更為精確的多元利率樹。前言利率結(jié)構(gòu)型商品近年來蓬勃發(fā)展，任何商品推出之後的成敗，主要關(guān)2大綱簡介Hull-White利率模型造樹方法-樹狀結(jié)構(gòu)法評(píng)價(jià)誤差-

Hull-White造三元樹方法

(存在樹狀圖兩種誤差:分配誤差與非線性誤差)

-Andricopoulos(2002)求面積法解決分配誤差

(存在非線性誤差)

-新的造樹方法解決非線性誤差

(目標(biāo):使得兩種誤差極小化)評(píng)價(jià)bondoption以及Cap實(shí)證分析與敏感度分析大綱簡介Hull-White利率模型3

Hull-White利率模型

即為使得利率過程符合期間結(jié)構(gòu)的時(shí)間函數(shù).Hull-White零息債劵在t的價(jià)格，以短期利率表示為Hull-White利率模型4樹狀結(jié)構(gòu)法評(píng)價(jià)誤差分配性誤差(distributionerror)-樹狀圖以離散型分配去近似連續(xù)型分配

非線性誤差(Non-linearityError)-履約價(jià)格附近的payoff樹狀結(jié)構(gòu)法評(píng)價(jià)誤差分配性誤差(distributioner5ㄧ、Hull-White造三元樹方法利率變動(dòng)離散過程為:

期間結(jié)構(gòu)時(shí)間函數(shù)先設(shè)為零，造出一個(gè)平行對(duì)稱樹:每期調(diào)整α(t)使得樹狀圖符合期間結(jié)構(gòu)，即造出H-W樹R(t)=R*(t)+α(t)α(1)α(2)α(3)α(0)ㄧ、Hull-White造三元樹方法R(t)=R*(t)+6第二階段:校正三元樹結(jié)構(gòu)每一期調(diào)整移動(dòng)的值不相同，但同一期是一樣的，利率結(jié)構(gòu)沒有改變。假設(shè)市場資料零息利率(如右表)，=1。

為i年到期Zerorate求每期的平移項(xiàng)

Maturity(year)ZeroRate123ABCDEFGHI第二階段:校正三元樹結(jié)構(gòu)每一期調(diào)整移動(dòng)的值不相同，但同一期是7校正三元樹結(jié)構(gòu)ABCDEFGHIJohnHull整理的一般式:即可求得校正三元樹結(jié)構(gòu)ABCDEFGHIJohnHull整理的8Hull-WhitetrinomialtreeHull-Whitetrinomialtree9二、結(jié)合Hull-White模型與求面積法減少分配性誤差將三元樹延伸為多元樹為了使得樹狀結(jié)構(gòu)的，能符合商品頻率特性，故固定增加樹枝數(shù)目來減少誤差假設(shè)評(píng)價(jià)商品為cap，其頻率為每季，則希望樹狀結(jié)構(gòu)圖所表達(dá)的節(jié)點(diǎn)利率即為三個(gè)月短利。二、結(jié)合Hull-White模型與求面積法減少分配性誤差10

方法和H-W建造三元樹相同，皆由對(duì)稱樹平移，差別再於三元樹變?yōu)槎嘣獦?，且以求常態(tài)分配的面積來決定每個(gè)樹枝上的機(jī)率方法和H-W建造三元樹相同，皆由對(duì)稱樹平移，11求面積法ㄟ－解決分配誤差應(yīng)用求面積法建構(gòu)多元樹－，b為樹枝個(gè)樹

－求面積法ㄟ12應(yīng)用求面積法建構(gòu)多元樹－利用Simpson‘srule求算應(yīng)用求面積法建構(gòu)多元樹13求算節(jié)點(diǎn)(i,j)的分枝機(jī)率利用辛普森積分法求算節(jié)點(diǎn)(i,j)的,…求算節(jié)點(diǎn)(i,j)的分枝機(jī)率,…14目標(biāo):減少分配誤差外，解決非線性誤差問題。與H-W造樹差異:每期節(jié)點(diǎn)高度不一定相同。方法:以樹狀圖節(jié)點(diǎn)和邊界條件(或是所想要fit的點(diǎn))重合，調(diào)整的參數(shù)為每期樹枝間高度，而每個(gè)樹枝上的機(jī)率由求面積法求得，如此即可解決非線性誤差問題。三、新的造樹方法目標(biāo):三、新的造樹方法15造樹方法三步驟建構(gòu)隨著期間結(jié)構(gòu)路徑的多元利率樹

求面積法建構(gòu)Hull-White多元樹的兩階段造樹方法決定出每期平移項(xiàng)。給定限制條件調(diào)整每期利率間隔高度

使得樹狀結(jié)構(gòu)圖的節(jié)點(diǎn)與限制條件重合求每個(gè)節(jié)點(diǎn)樹枝上的機(jī)率

以求面積法常態(tài)分配面積求機(jī)率。造樹方法三步驟建構(gòu)隨著期間結(jié)構(gòu)路徑的多元利率樹16步驟一：建構(gòu)隨著期間結(jié)構(gòu)路徑的多元樹

由於之前的造樹方法中，先定好再推得每期平移項(xiàng)，而新數(shù)值方法是在得知每期平移項(xiàng)之後，再根據(jù)和給定限制條件的間距來決定如何調(diào)整每期利率間隔高度，如此產(chǎn)生兩難問題。α(1)α(2)α(3)α(0)步驟一：建構(gòu)隨著期間結(jié)構(gòu)路徑的多元樹17因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)了，調(diào)整利率間隔高度並不會(huì)影響，只影響機(jī)率變動(dòng)，如下表為H-W三元樹調(diào)整

對(duì)的影響：

表(3.1)為H-W三元樹第一期調(diào)整對(duì)以及機(jī)率的影響，模型參數(shù)a=0.1，=0.01，=1，第一、二年到期零息利率分別為0.03824，0.04512。因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)了，調(diào)整利率間隔高度並不會(huì)影響，只影響機(jī)率變18以公式來探討利率間隔高度對(duì)於每期平移項(xiàng)的影響

兩邊同取ln

(3.1)以公式來探討利率間隔高度對(duì)於每期平移項(xiàng)的影響19若(3.1)式以泰勒展開式取代，得(3.2)式如下：機(jī)率為對(duì)稱即，且代入(3.2)式得：

(3.3)式子(3.3)以泰勒展開式展開得

(3.4)若變動(dòng)0.001，即變動(dòng)0.000001，再乘以機(jī)率以及，很明顯地值對(duì)於的影響微乎其微。若(3.1)式以泰勒展開式20以同樣方式推得第二期平移項(xiàng)同樣地，多元利率樹的間隔高度變動(dòng)對(duì)於的影響幾乎為零，以下期數(shù)依此類推。若樹枝數(shù)目增加又使得變更小，故調(diào)整每期利率間隔高度確實(shí)是可行的。以同樣方式推得第二期平移項(xiàng)21給定一限制條件K，為了使得樹狀結(jié)構(gòu)圖的節(jié)點(diǎn)與K重合，調(diào)整每期利率間隔高度見下圖說明。

步驟二：調(diào)整每期利率間隔高度給定一限制條件K，為了使得樹狀結(jié)構(gòu)圖的節(jié)點(diǎn)與K重合，22t=0t=1t=2t=3t=4t=5K

以五元樹舉例：t=0t=1t=2t=3t=4t=5K以五元樹舉例：23以求面積法常態(tài)分配面積求機(jī)率。步驟三：求每個(gè)節(jié)點(diǎn)樹枝上的機(jī)率

以求面積法常態(tài)分配面積求機(jī)率。步驟三：求每個(gè)節(jié)點(diǎn)樹枝上的機(jī)率24評(píng)價(jià)Bondoption考慮如圖商品，於兩年後執(zhí)行一年期零息債券的Bondoption，期間間隔為三個(gè)月一期，履約價(jià)格為0.96元。評(píng)價(jià)方法為=0.25，K=0.96，展開n=12的多元利率樹，由到期日n=12時(shí)的利率節(jié)點(diǎn)為1，折現(xiàn)至一年期n=8時(shí)，判斷債券價(jià)格減掉履約價(jià)格是否大於零，即n=8報(bào)酬為

(債券價(jià)格-履約價(jià)格)+往前折現(xiàn)至期初即可算出期初理論價(jià)格。債券到期選擇權(quán)到期時(shí)間

01y2y3y一年評(píng)價(jià)Bondoption債券到期選擇權(quán)到期時(shí)間025評(píng)價(jià)Bondoption找出Ｋ所對(duì)應(yīng)的利率=0.032258建造一個(gè)fit的利率樹n=8n=12KZCBn=12n=8評(píng)價(jià)Bondoption找出Ｋ所對(duì)應(yīng)的利率=26評(píng)價(jià)Cap

考慮一個(gè)利率上限為2.77%的三年期Cap，給付頻率為每季。評(píng)價(jià)方法：=0.25，=固定利率2.77%，展開n=12的多元利率樹，每季報(bào)酬為(市場利率-利率上限)由最後一期報(bào)酬往前一季折現(xiàn)再加上當(dāng)季報(bào)酬，再往前一季折現(xiàn)等方式求出期初理論價(jià)格。評(píng)價(jià)Cap

考慮一個(gè)利率上限為2.77%的三年期Cap，給付27實(shí)證分析與敏感度分析建構(gòu)零息利率曲線→利率調(diào)整項(xiàng)實(shí)證分析與敏感度分析建構(gòu)零息利率曲線→利率調(diào)整項(xiàng)28實(shí)證分析與敏感度分析校正Hull-White模型參數(shù)(a、σ)利用市場cap報(bào)價(jià)cap可視為一組上限買權(quán)caplets的投資組合

L：本金：上限水準(zhǔn)：介於到之間，在時(shí)間觀察到的利率水準(zhǔn)(k=1,2,…,n)

：為在為到的遠(yuǎn)期利率

caplet會(huì)於時(shí)間支付的報(bào)酬，假設(shè)服從指數(shù)常態(tài)分配，則可藉由Black’s模型得到上限買權(quán)於時(shí)間零的價(jià)值為，實(shí)證分析與敏感度分析校正Hull-White模型參數(shù)(a、σ29實(shí)證分析與敏感度分析cap可視為一組以零息債劵為標(biāo)的的歐式賣權(quán)之投資組合實(shí)證分析與敏感度分析cap可視為一組以零息債劵為標(biāo)的的歐式賣30實(shí)證分析與敏感度分析利用Hull-White模型評(píng)價(jià)零息債劵歐式選擇權(quán)賣權(quán)在時(shí)間零的價(jià)值為

實(shí)證分析與敏感度分析利用Hull-White模型評(píng)價(jià)零息債劵31實(shí)證分析與敏感度分析校正Hull-White模型參數(shù)(a、σ)

其中為Black’s模型算出的市場cap價(jià)格，為Hull-White模型算出的cap價(jià)格

最小SSE為4.7894e-007，

得(a,σ)=(0.011072,0.0046369)

實(shí)證分析與敏感度分析校正Hull-White模型參數(shù)(a、σ32

實(shí)證結(jié)果設(shè)面額為1元整，展開七元利率樹。bondoption價(jià)格為0.01488元，(公式解為0.014895元)有付息2%的bondoption價(jià)格為0.033668元。

Cap價(jià)格為0.0084489元。實(shí)證分析與敏感度分析實(shí)證結(jié)果實(shí)證分析與敏感度分析33實(shí)證分析與敏感度分析(一)波動(dòng)度以及利率回歸速度a對(duì)價(jià)格的影響一實(shí)證分析