等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)

WordWord資料等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（二）［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；了解等差數(shù)列的一些性質(zhì).2.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題3理解a與S的關(guān)系，能根據(jù)S求a.nnnn知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列前n項(xiàng)和及其最值n（n－1）dd1?刖n項(xiàng)和公式:Sn二nai+—d二尹+莒―刁n.2?等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值a,o確定（1）在等差數(shù)列｛an｝中，當(dāng)ai>0,d<0時(shí)，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式組faa,o確定n＋i

Jawo,當(dāng)ai<0,d>0時(shí)，S有最小值，使S取到最值的n可由不等式組(n門(mén)確定.1nnla三0n＋1TOC\o"1-5"\h\zd(d)⑵因?yàn)?=2門(mén)2+叵-7|n,若dH0,則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d<0時(shí)，S有最大值；且n取最接近對(duì)稱(chēng)軸的自然數(shù)時(shí)，S取到最值.nn知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列中a與S的關(guān)系nn對(duì)任意數(shù)列{a},S與a的關(guān)系可以表示為nn:(n=1),-S_,(n三2).n-1思考若s=n2+門(mén)，則a=.nn答案2n解析n三2時(shí)，a二S—S二n?+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,nnn-1當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=12+1=2=2x1,???a=2n.n知識(shí)點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求和．常見(jiàn)的拆項(xiàng)方法：1_111；n(n+k)_k(nn+k)；?n+^rkcJ市-命)；1_111⑶(2n-1)(2n+1)=2(2n-1_2n+1)，題型一已知S求ann例1已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若S廣2n2+3n,試判斷數(shù)列｛aj是不是等差數(shù)列.解VS=2n2+3n,???當(dāng)n±2時(shí)，nan=Sn－Sn－1=2n2+3n－2（n－1）2－3（n－1）=4n+1.當(dāng)n=1時(shí)，a=S=5=4Xi+i.11?°?n=1時(shí)，適合a=4n+1.n?數(shù)列的通項(xiàng)公式是a=4n+1.n故數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練1本例中，若Sn=2n2+3n+1,試判斷該數(shù)列是不是等差數(shù)列.解VS=2n2+3n+1?n±2時(shí)，nan=Sn－Sn－1=2n2+3n+1－2(n－1)2－3(n－1)－1=4n+1.當(dāng)n=1時(shí)，a二S=6工4X1+1.11.」6,(n=1),??a—|nl4n+1(n三2),故數(shù)列｛an｝不是等差數(shù)列.題型二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題17(17-1),2d例2在等差數(shù)列｛an｝中，若a1—25，且S9—S17，求Sn的最大值.解方法一VS9=S17，a117(17-1),2d?9X25+9(921)d—17X25+解得d--2.n(n-1)?S—25n+X(-2)—-n2+26nn2—-(n-13)2+169.???當(dāng)n—13時(shí)，S有最大值169.n方法二同法一，求出公差d—-2.?an—25+(n-1)X(-2)—-2n+27.Va—25>0,1n1n<13_,2得>1In>122a—-2n+2720,nan+1—-2(n+1)+27W0,又?.?n￡N*,???當(dāng)n=13時(shí)，S有最大值169.n方法三?方法三?S9=S17a+a+???a+a+???+a=0.101117由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13+a14=0.a>0，?d<0.?a>0，a<0.11314???當(dāng)n=13時(shí)，S有最大值169.n方法四設(shè)Sn=An2+Bn.nS=S，9179+17???二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為X=廠=13，且開(kāi)口方向向下,???當(dāng)n=13時(shí)，S取得最大值169.n跟蹤訓(xùn)練2已知等差數(shù)列｛an｝中，a1=9,a4+a7=0.求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；⑵當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和取得最大值？解(1)由a1=9，a4+a7=0，得a1+3d+a1+6d=0,解得d=-2,?a=a+(n—1)?d=11-2n.n1方法一a1=9,d=-2,n(n-1)Sn=9n+2?(-2)=-n2+10n=-(n-5)2+25,??.當(dāng)n=5時(shí)，S取得最大值.n方法二由(1)知a1=9,d=-2<0,.*.｛an｝是遞減數(shù)列.11令a三0,則11-2n±0,解得nWy.n2?n￡N*,???nW5時(shí)，a>0,n±6時(shí)，a<0.nn???當(dāng)n=5時(shí)，S取得最大值.n題型三求數(shù)列｛|an|｝的前n項(xiàng)和205例3已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和2=-刃2+丁n,求數(shù)列｛|a」｝的前n項(xiàng)和5「3205解31=込=-只12+丁乂1=101.當(dāng)n三2時(shí)，a=S-Snnn-1(3205'1_2門(mén)2+丁門(mén)_2(口_1)2+學(xué)(n(3205'1_2門(mén)2+丁門(mén)_2(口_1)2+學(xué)(n_1)=—3n+104.Tn=1也適合上式,???數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=—3n+104(n^N*).由a=—3n+104三0,得nW34.7.n即當(dāng)nW34時(shí)，a>0;當(dāng)n三35時(shí)，a<0.nn⑴當(dāng)nW34時(shí)，匚=冋|+@|+…+|an|=ai+a2+…+d3205—刃2+丁n;⑵當(dāng)n三35時(shí)，Tn=|a」+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+叫=(a+a+-+a)—(a+a+…+a)12343536n=2(a+a+…+a)—(a+a+…+a)123412n=2S—S34n(3205(3205'=2(-十342+丁x34丿-n2+亍n尋2-晉n+3502.3205—腫2+—n(nw34且n￡N*),<22n=32051刃2—丁n+3502,(n三35且n￡N*).跟蹤訓(xùn)練3已知等差數(shù)列｛an｝中，若S2=16,S4=24,求數(shù)列｛?。那皀項(xiàng)和T『解設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為丐，公差為d.由s2=16,<S4=24得2ai+2j1d=16,、4a+4|3d=24.122a+d=16,fa=9,2a+3d=12.解得id=—2.1所以等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=11—2n(n￡N*).

當(dāng)nw5時(shí)，T=|a|+|a|+…+|a|二a+a+-+a二S二—n2+1on.n12n12nn當(dāng)n三6時(shí),T=|a|+|a|+…+|aI二a+a+…+a—a—aa=2S—Sn12n12567n5n二2x(—52+10x5)—(—n2+ion)二n?—ion+50,故Tnn—n2+ion(nw5且n^N*),n2—10n+50(n三6且nw故Tnn題型四裂項(xiàng)相消法求和例4等差數(shù)列｛an｝中，ai=3,公差d=2,Sn為前n項(xiàng)和,求|1+|1+^+^1-12n解???等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)0=3，公差d=2,?:前n項(xiàng)和S=nna+n(n-1)2d=3n+凹二?X2二n2?:前n項(xiàng)和S=nna+n(n-1)2d=3n+凹二?X2二n2+2n(nwN*)，.1.11=111'°Sn=n2+2n=n(n+2)=2(nn+2)'.111

??e+e+…+s12n111111(1—3)+(2—4)+(3—5)+…+(n—1—1n+1)1__一+(n-n+刁」=2(1111+—――

2n+11=32n+3n+2)=4—2(n+1)(n+2).1跟蹤訓(xùn)練4已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=(2n—1)(2n+1),求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn.解-1111解an=(2n—1)(2n+1)=2(2n—1—2n+1)，-11111?S=+++???++n=1x33x55x7(2n-3)(2n-1)(2n-1)(2n+1)1=2[(1—3+(3—5)1111113"35)+(5—7)+…+(2n—3111=11=n2n-1)+(2n-1—2n+1)]=2(1—2n+1)=2n+1nS=—n=2n+1.易錯(cuò)點(diǎn)已知S求a忽略n=1的情況nn例5已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn=n2—1，則數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為an=,錯(cuò)解a=S—S=(n2—1)—[(n—1)2—1]=2n—1.nnn—1答案2n－1錯(cuò)因分析運(yùn)用a二S-S［求通項(xiàng)公式時(shí)，要求n三2,只有驗(yàn)證n=1滿足通項(xiàng)公式后,nnn－1才能用一個(gè)式子來(lái)表示,否則必須分段表示．正解當(dāng)n三2時(shí)，a二S-Snnn－1二（n2-1）-［（n-1）2-1］=2n-1.當(dāng)n=1時(shí)，ai=Si=12-1=0,不符合上式，Jo,n二1，???a=1nl2n-1,n三2.答案1Jo，n=1，答〔2n-1,n三2誤區(qū)警示根據(jù)前n項(xiàng)和S廣an2+bn+c判斷｛aj是不是等差數(shù)列時(shí)，只有當(dāng)c=0時(shí)是等差數(shù)列，否則不是．1?已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=n2,則an等于（）A．nB．n2C．2n+1D．2n-1?已知S是等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，且S6>S7>S5，有下列四個(gè)命題:?d<0:②二〉。：③nn67511S12<0；④數(shù)列｛Sn｝中的最大項(xiàng)為S11,其中正確命題的序號(hào)是（）A.②③B.①②C.①③D.①④?已知等差數(shù)列｛an｝中，|a」=|a9|,公差d>0,則使得前n項(xiàng)和丄取得最小值的正整數(shù)n的值是??數(shù)列引的通項(xiàng)公式豬〒Z1,其前n項(xiàng)和防9，則X?已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=3+2?，求a『一、選擇題1?若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=n2-1，則丐等于（）A?7B?8C?9D?172?數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=（n+1）2+入則久的值是（）A.-2B.-1C?0D?13?設(shè)等差數(shù)列圮｝的前n項(xiàng)和為S,S1=-2,S=0,S1=3，則m等于（）nnm-1mm＋1A?3B?4C?5D?6?已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若OB=a1C）A+a200（5C，且A,B,C三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)點(diǎn)O）,則s20。等于（）A?100B?101C?200D?201?若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和是Sn=n2-4n+2,則|a1|+|a2|+…+|丐0|等于（）A?15B?35C?66D?100

6?設(shè)數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，若ai+a3+a5=105,a2+a4+a6二99,以Sn表示｛an｝的前n項(xiàng)和,則使S達(dá)到最大值的門(mén)是()nA?18B?19C?20D?217丄+丄+丄+丄+...+^等于(1x32x43x54x6n(n+2)等于(1A.n(n1A.n(n2)11B-2(1_n^)131C.2(2—口+1一n+2)D-j(1-1n+1)二、填空題8?若等差數(shù)列｛an｝滿足a7+a8+a9>0,a7+a1o<0,則當(dāng)n二時(shí)，數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和最大.9?已知數(shù)列｛an｝滿足a1+2a2+3a3+???+nan二n2,則數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為11110?已知數(shù)歹g：1,1+21+2+3,…,1+2+…+n,…,則其前n項(xiàng)和等于三、解答題11?數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=100n-n〈neN*)?(1)判斷｛an｝是不是等差數(shù)列，若是，求其首項(xiàng)、公差；⑵設(shè)bn=|an|,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和.12?在數(shù)列｛an｝中，a1=1,an=2S-1n三2),求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.n113?已知數(shù)列｛a｝,aGN*,S是其前n項(xiàng)和，S二麗+2R8(1)求證｛an｝是等差數(shù)列；1⑵設(shè)bpan-30，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和的最小值.

當(dāng)堂檢測(cè)答案1．答案D解析當(dāng)門(mén)二1時(shí)，a!=S!=1,當(dāng)n三2時(shí)，%二S門(mén)_$門(mén)二口2_(n_1)2二2n_丄又因aq=1符合a=2n_1,所以，a=2n_1(n￡N*).TOC\o"1-5"\h\z1nn2．答案B解析???s6>s7,?5<0,677?s>s，?a＋a>0，?a>0，?d<0，①正確．7567611又S二可(a+a)=11a>0,②正確.1121116S12二q(ai+ai2)=6(a6+a7)>0,③不正確.{Sn}中最大項(xiàng)為s6,④不正確.故正確的是①②.答案6或7解析由|a|=|a|且d>0得a<0,a>0,且a+a=0n2a+12d=0na+6d=0,即a595959117=0,故S6=S7且最小.67答案99解析1n解析1nn+\i'n+1???sn_(V2_i)+(V3_逅+…+_Vn)_\'n+1_1_9,???n_99.

5?解(1)當(dāng)門(mén)=1時(shí)，a】二)=3+2=5.(2)當(dāng)n三2時(shí)，Sn_i=3+2n-i,又S=3+2n,.°.a二S-S=2n-2n-i=2n-i(n三2)?nnnn-1又當(dāng)n=1時(shí)，ai=2i-i=1^5,.J5(n=i),??anl2n-i(n三2).課時(shí)精練答案一、選擇題i?答案A解析a廠S4-S3=(42-i)-(32-i)=7.2?答案B解析等差數(shù)列前n項(xiàng)和S的形式為S二an2+bn,二一i.3?答案C解析am=S解析am=Sm-Sm-i=2,am+i=Sm+i-Sm=3mmm-im+im+im由S=m(ai+am)

m2=0,得af-2,所以公差d=am+i-am=im+im-2+(m-i)?i=2，解得m二故選C.44?答案A解析A、解析A、B、C三點(diǎn)共線ai+a200=i.?Vo。晉?Vo。晉a+a200)=i0°.1—1,n=1,解析易得1—1,n=1,解析易得an=l2n-5,n三2.5．答案C|丐|=1,舊2|=1,舊3|=1,令a>0則2n—5>0,An三3.nA|a1|+|a2|+…+|a10|=1+1+a+…+a310=2+(S—S)102=2+[(102—4x10+2)—(22—4x2+2)]=66.6．答案C解析a1+a3+a5=105=3a3，Aa=35，3a+a+a=99=3a，Aa=33，24644,a—aAd^^—"=—2,Aan=a+(n—3)d=41—2n令an>0，nA41—2n>0,An<節(jié),AnW20.7.答案C1111解析通項(xiàng)％=而+5=蘇—喬刁,1111111111??原式=2[(1—3)+(2—4)+(3—5)…+(n—i—n+1)+(n—nr刁]1111=2(1+2—n+i—n+)=13=2(2—n+1—n+2)'二、填空題8．答案8解析va7+a8+a9=3a8>0,Aa8>0.va7+a10=a8+a9<0，Aa8>0,a9<0-故前8項(xiàng)的和最大．2n—19?答案a廣〒解析a+2a+3a+???+na=n2,123n當(dāng)n22時(shí)，a1+2a2+3a3+…+(n—1)an—1=(n—1)2,..2n—1..na=2n-1,..a=nnn當(dāng)n=1時(shí)，丐=1，符合上式,2n—1???數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an二幺宀2n10?答案nn解析1+2+-+n=n(n+1)11=2(n—nn)，111?所求的和為2［（1-2）+（2-3）+…+1112n(n-nri)]=2(1-nTi)=nTi-三、解答題11.解(1)當(dāng)n22時(shí)，an=S—S—1=(100n—學(xué))—[100(n—1)—(n—1)2]=101—2n.Va1=S1=100X1—12=99適合上式，?迥=101-2n(n￡N*).Ta〔—a=-2為常數(shù)，n＋1n?數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為99,公差為-2的等差數(shù)列.⑵令a=101—2n20,得n<50.5,nTn￡N*,An<50(n^N*).①當(dāng)1WnW50時(shí)，a>0,此時(shí)b=|a|二a,nnnn/.｛b｝的前n項(xiàng)和S'=100n-n2.nn②當(dāng)n251時(shí)，a<0,此時(shí)b=|a|=—a,nnn-由b+b+???+b=—(a+a+???+a)5152n5152n=—(S—S)=S—S,n5050n得數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和S'=S50+(S50-S)nn5050n二2S50—Sn=2X2500—(100n-n?)二5000—100n+n2.由①②得數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和