《計(jì)算電磁學(xué)》第五講課件

第五講吸收邊界條件Dr.PingDu(杜平)E-mail:pdu@HeFeiUniversityofTechnology7/31/2023第五講吸收邊界條件Dr.PingDu(杜平)E-m1為何要用吸收邊界條件？由于計(jì)算機(jī)內(nèi)存空間有限，讓我們的分析區(qū)域不能無限大，必須在某處截?cái)?。另外，即使?nèi)存空間很大，也必須在某處截?cái)?。因?yàn)榇蟮姆治隹臻g就意味著巨大的計(jì)算時(shí)間。從節(jié)省計(jì)算時(shí)間的角度考慮，也必須截?cái)唷?/p>

7/31/2023為何要用吸收邊界條件？由于計(jì)算機(jī)內(nèi)存空間有限，2有哪些吸收邊界條件？

?基于Sommerfeld輻射條件的Bayliss-Turkel吸收邊界條件；

?基于單向波動方程的Engquist-Majda吸收邊界條件(1977年)；?Mur吸收邊界條件(1981)；?Trefethen-Halpern近似展開(1986)

?Higdon算子；7/31/2023有哪些吸收邊界條件？?基于Sommerfeld輻射條件的3?利用差值技術(shù)的廖氏吸收邊界條件

廖氏吸收邊界條件比Mur二階吸收邊界條件在網(wǎng)格外邊界引起的反射要小一個(gè)數(shù)量級(20dB)，對外向波傳播角度或數(shù)值色散均不敏感，并且在矩形計(jì)算區(qū)域的角點(diǎn)處也易于實(shí)現(xiàn)。

M.Moghaddam,R.L.Wagner和W.C.Chew(周永祖)曾指出，如果采用單精度計(jì)算，可能導(dǎo)致使用廖氏吸收邊界條件的FDTD算法不穩(wěn)定，而采用雙精度則可改善穩(wěn)定性。

?Mei-Fang超吸收邊界條件(1992)；?PML完全匹配層7/31/2023?利用差值技術(shù)的廖氏吸收邊界條件廖氏吸收邊4

Engquist-Majda吸收邊界條件

考慮二維情形時(shí)的齊次波動方程，

(5-1)其中U為標(biāo)量場分量，c為波的相速度。定義偏微分算子

(5-2)于是方程(5-1)可寫為

(5-3)7/31/2023Engquist-Majda吸收邊界條件考慮二維情形時(shí)5算子L還可以通過因式分解寫為

(5-4)其中，

(5-5)(5-6)(5-7)7/31/2023算子L還可以通過因式分解寫為(5-4)其中，(5-5)(6在網(wǎng)格邊界，如x=0處，將算子作用于波函數(shù)將完全吸收以任意角度入射到邊界的平面波，即將(5-8)用于圖1中的邊界x=0，可構(gòu)成一個(gè)準(zhǔn)確的解析吸收邊界條件。它將吸收來自區(qū)域Ω內(nèi)的波。

圖1二維吸收邊界條件Fig.1.Two-dimensionalABC.7/31/2023在網(wǎng)格邊界，如x=0處，將算子作用于波函數(shù)將完全吸收以7相似地，算子作用于波函數(shù)，將構(gòu)成x=a處的準(zhǔn)確吸收邊界條件。

對式(5-5)和(5-6)中根式的處理，可以用Taylor級數(shù)展開。將在s=0附近展開為Taylor級數(shù)，

(5-9)當(dāng)s很小時(shí)，只取一項(xiàng)，(5-10)7/31/2023相似地，算子作用于波函數(shù)，將構(gòu)成x=a處的準(zhǔn)確吸收邊界8將(5-10)代入(5-5)中，有

(5-11)將其代入(5-8)，可得這就是所分析區(qū)域左側(cè)邊界x=0的一階近似吸收邊界條件。

(5-12)7/31/2023將(5-10)代入(5-5)中，有(5-11)將其代入(59將(5-9)中的級數(shù)取兩項(xiàng)，有

(5-13)Substitution(5-13)in(5-5)yields(5-14)7/31/2023將(5-9)中的級數(shù)取兩項(xiàng)，有(5-13)Substitu10Substituting(5-14)in(5-8)has

這就是所分析區(qū)域左側(cè)邊界x=0的二階近似吸收邊界條件。

對于圖1中的其他邊界，相應(yīng)的二階近似解析吸收邊界條件為

，x=a邊界（右邊界）

(5-15)(5-16)7/31/2023Substituting(5-14)in(5-8)h11，y=0邊界（下邊界）

，y=b邊界（上邊界）

(5-17)(5-18)考慮三維情形時(shí)的齊次波動方程，

(5-19)7/31/2023，y=0邊界（下邊界），y=b邊界（上邊界）(5-17)12此時(shí)，偏微分算子

將L分解為和,得到與(5)和(6)相同的準(zhǔn)確吸收邊界條件算子。不同的是，s為(5-20)(5-21)7/31/2023此時(shí)，偏微分算子將L分解為和,得到與(5)和(6)相同的準(zhǔn)13算子作用于波函數(shù)U，將在網(wǎng)格左邊界x=0處準(zhǔn)確地吸收以任意角度入射到邊界的平面波。

利用Taylor級數(shù)近似展開式(5-10)，可得到x=0處的一階吸收邊界條件，其形式與(5-12)相同。

利用Taylor級數(shù)近似展開式(5-13)，可得到x=0處的二階吸收邊界條件。其表達(dá)式為

(5-22)7/31/2023算子作用于波函數(shù)U，將在網(wǎng)格左邊界x=0處準(zhǔn)確地吸收以任意角14兩邊同乘以，得

(5-23)當(dāng)s很小時(shí)，(5-23)是準(zhǔn)確吸收邊界條件的很好近似。

對于其他網(wǎng)格邊界相應(yīng)的二階近似解析吸收邊界條件為，x=a邊界

(5-24)7/31/2023兩邊同乘以，得(5-23)當(dāng)s很小時(shí)，(5-23)15，y=0邊界

，y=b邊界

，z=0邊界

(5-25)(5-26)(5-27)，z=h邊界

(5-28)對于矢量Maxwell方程的FDTD仿真，近似吸收邊界條件(5-23)-(5-28)中的U表示位于網(wǎng)格邊界上的E和H的各個(gè)切向分量。7/31/2023，y=0邊界，y=b邊界，z=0邊界(5-25)(5-16Mur差分格式對于上述一階、二階近似解析吸收邊界條件，Mur提出了一種簡單有效的差分?jǐn)?shù)值算法。利用它們來截?cái)郌DTD仿真區(qū)域，總體虛假反射在1%-5%。

以一階情形，x=0邊界為例。在

處、

時(shí)刻

用中點(diǎn)差分來代替式(5-12)中的偏微分，得

(5-29)7/31/2023Mur差分格式對于上述一階、二階近似解析吸17(5-30)其中半網(wǎng)格點(diǎn)和半時(shí)間步長時(shí)刻的值，可用下列二階精度的平均公式計(jì)算

(5-31)(5-32)7/31/2023(5-30)其中半網(wǎng)格點(diǎn)和半時(shí)間步長時(shí)刻的值，可用下列二階精18Substituting(5-31),(5-32)in(5-29),(5-30)and(5-12),afterthemanipulation,gets

(5-33)這就是Mur一階吸收邊界條件(Mur’s1storderABC)。

下面推導(dǎo)Mur二階吸收邊界條件。仍舊以x=0邊界為例，如圖2所示。

7/31/2023Substituting(5-31),(5-32)in19圖2Mur吸收邊界條件Fig.2.Mur’s2ndABC.圖中表示位于x=0網(wǎng)格邊界的E或H的切向分量。

7/31/2023圖2Mur吸收邊界條件圖中表示位于x=0網(wǎng)格邊界的E或H20具體為，在距離網(wǎng)格邊界半步長的輔助網(wǎng)格點(diǎn)

，對分量,將(5-23)中的偏微分用中心差分來代替。

將式中關(guān)于x、t的偏導(dǎo)用中心差分格式寫為(5-34)7/31/2023具體為，在距離網(wǎng)格邊界半步長的輔助網(wǎng)格點(diǎn)，對分量,將(5-21將該式對時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)寫為相鄰兩點(diǎn)(0,j)和(1,j)處對時(shí)間偏導(dǎo)的平均，其表達(dá)式為(5-35)7/31/2023將該式對時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)寫為相鄰兩點(diǎn)(0,22(3)將該式對y的偏導(dǎo)數(shù)寫為相鄰兩點(diǎn)(0,j)和(1,j)處對y偏導(dǎo)的平均，其表達(dá)式為

(5-36)(4)Substituting(5-34)-(5-36)in(5-23),onecanobtain

.Thus,the2ndABCatx=0boundarycanbegot,whichis

7/31/2023(3)將該式對y的偏導(dǎo)數(shù)寫為相鄰兩點(diǎn)(0,j)和(1,23(5-37)7/31/2023(5-37)7/30/202324對于三維情形，考慮x=0邊界。

從式(5-23)出發(fā)，此時(shí)前面的網(wǎng)格圖2位于

網(wǎng)格平面，

在距離邊界半個(gè)步長的輔助網(wǎng)格點(diǎn)處，對分量

用中點(diǎn)差分代替(5-23)中的偏導(dǎo)運(yùn)算。

偏導(dǎo)、和與式(5-34)-(5-36)相同。只是在平面進(jìn)行計(jì)算。

7/31/2023對于三維情形，考慮x=0邊界。從式(5-23)出發(fā)，此時(shí)前25偏導(dǎo)可表達(dá)為在(0,j,k)和(1,

j,

k)處對z的偏導(dǎo)的平均值，其為

(5-38)將這些差分表達(dá)式代入式(5-23)，解出就得到三維情形下W分量在x=0網(wǎng)格邊界出的二階吸收邊界條件

7/31/2023偏導(dǎo)可表達(dá)為在(0,j,k)和(1,j26(5-39)7/31/2023(5-39)7/30/202327問題：邊界反射系數(shù)與入射角的關(guān)系。葛德彪、閆玉波《電磁波時(shí)域有限差分方法》一書給出了Mur近似邊界條件的反射系數(shù)。(5-40)Mur二階近似邊界條件時(shí)的反射系數(shù)：Mur一階近似邊界條件時(shí)的反射系數(shù)：(5-41)其中為入射角7/31/2023問題：邊界反射系數(shù)與入射角的關(guān)系。葛德彪、閆玉28反射系數(shù)的絕對值與入射角的關(guān)系，如圖3所示。.

圖3反射系數(shù)的絕對值與入射角的關(guān)系Fig.3.Relationbetweenthereflectioncoefficientandtheincidentangle.

7/31/2023反射系數(shù)的絕對值與入射角的關(guān)系，如圖3所示。.圖3反29完全匹配層(PerfectMatchedLayer,PML)1994年，Berenger提出了完全匹配層來吸收外向電磁波

1996年,Gedney提出用單軸各向異性材料實(shí)現(xiàn)PML以吸收外向電磁波(UPML)

?非Maxwell方程的，物理機(jī)制模糊(缺點(diǎn))?電磁場分量的分裂增加了數(shù)值實(shí)現(xiàn)的難度、計(jì)算機(jī)內(nèi)存消耗(缺點(diǎn))?FD