幾何最值的探討課件

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)—幾何最值無錫市蠡園中學(xué)王燕中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)無錫市蠡園中學(xué)王燕1古詩欣賞《古從軍行》片段唐李欣野云萬里無城郭，雨雪紛紛連大漠。

白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河。

古詩欣賞《古從軍行》片段唐李欣野云萬里無城郭，雨雪2

如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后，再到B點(diǎn)宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？這個(gè)問題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個(gè)百思不得其解的問題．將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳．

起源起源3幾何最值問題

在平面幾何的動(dòng)態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。幾何最值問題在平面幾何的動(dòng)態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素4一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，M、N分別表示位于公路AB兩側(cè)的村莊，當(dāng)汽車行駛到什么位置時(shí)距村莊M最近？行駛到什么位置時(shí)距村莊N最近？分別過M、N兩點(diǎn)向直線AB做垂線段，垂足分別是P1、P2，P1、P2即為所求.垂線段最短。一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，M、N分別表示位于公路5第一類：應(yīng)用“垂線段最短”第一類：應(yīng)用“垂線段最短”6在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值是

.例1例17如圖：一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，M、N分別表示位于公路AB兩側(cè)的村莊，當(dāng)汽車行駛到什么位置時(shí)，到村莊M、N的距離之和最短？連接MN，線段MN與直線AB的交點(diǎn)P即為所求.兩點(diǎn)之間，線段最短如圖：一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，M、N分別表示位8一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，若村莊M、N在公路AB的同側(cè)，當(dāng)汽車行駛到什么位置時(shí)，到村莊M、N的距離之和最短？過N點(diǎn)，做直線AB的對稱點(diǎn)N’，連接MN’

，線段MN’與直線AB的交點(diǎn)P，P即為所求.三角形兩邊之和>第三邊一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，若村莊M、N在公路AB9第二類：“線段的和最小”第二類：“線段的和最小”10如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯外離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為

cm.例2例211如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為

cm.變式變式12由軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知AP＋PC為螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，且AP=BP。由已知和矩形的性質(zhì)，得DC=9，BD=1在Rt△BCD中，由勾股定理得.∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為15cm.由軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知AP＋PC為螞蟻到達(dá)蜂蜜的最13一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，若村莊M、N在公路AB的同側(cè)，當(dāng)汽車行駛到什么位置時(shí)，到村莊M、N的距離之差最大？連接MN,并延長交直線于點(diǎn)P，P即為所求.一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，若村莊M、N在公路AB14一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，若村莊M、N在公路AB的兩側(cè)，當(dāng)汽車行駛到什么位置時(shí)，到村莊M、N的距離之差最大？過N點(diǎn)，做直線AB的對稱點(diǎn)N’

，連接MN’

，并延長交直線AB的于點(diǎn)P，P即為所求.一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，若村莊M、N在公路AB15第三類：線段的“差最大”第三類：線段的“差最大”16已知拋物線，設(shè)點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)C(1,-3),請?jiān)趻佄锞€的對稱軸上確定一點(diǎn)D,使得的值最大，則D點(diǎn)坐標(biāo)為

.例3已知拋物線，設(shè)點(diǎn)A17

點(diǎn)A、Ｂ均在由面積為1的相同小正方形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．若P是x軸上使得的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點(diǎn)，則OP

·OQ＝

.練習(xí)練習(xí)18連接AB并延長交x軸于點(diǎn)P，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′連接A′B交y軸于點(diǎn)Q，求出點(diǎn)Q與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論：由三角形的三邊關(guān)系可知，點(diǎn)P即為x軸上使得|PA－PB|的值最大的點(diǎn)。OP=3。作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′連接A′B交y軸于點(diǎn)Q，則A′B即為QA+QB的最小值。

設(shè)過A′B的直線為：y=kx+b，代入，解得。∴Q（0，），即OQ=。∴OP?OQ=3×=5。連接AB并延長交x軸于點(diǎn)P，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′連接A19第四類：綜合應(yīng)用

（2個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題）第四類：綜合應(yīng)用

（2個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題）20在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是

.例4例421如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP、GP，則△BPG的周長的最小值是

.練習(xí)3練習(xí)322如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為

.練習(xí)如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=23由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，此時(shí)線段EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°，當(dāng)半徑OE最短時(shí)，EF最短?！咴赗t△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，∴AD=BD=2，即此時(shí)圓的直徑為2。由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×=。由垂徑定理可知EF=2EH=。

由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑A24幾何最值的探討課