圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題

一、圓的概念2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系rOBC三、直線與圓的位置關(guān)系3、直線與圓相交d<r有兩個(gè)交點(diǎn)；rdrd四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1）常無(wú)交點(diǎn)常d>R+r；外切（圖2）常有一個(gè)交點(diǎn)常ddrRrrR圖1圖2d圖3五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論11）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推EEFODACB推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。ADODCODEODCBABB只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，CDCBOABOA推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧；即：在⊙O中，∵C、D都是所對(duì)的圓周角CABAO推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。CABAO在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。DCA九、切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可∴MN是⊙O的切線O（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。PP推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。即：①過(guò)圓心；②過(guò)切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線BBOABCOPDABDA（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。AEDOPCBDOPCB（4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積.PE十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。ABA∴OO垂直平分ABCCBBCOADCBCOEEOA十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式21OSAB2ABDD母線長(zhǎng)底面圓周長(zhǎng)C2h212h3OARrBAEOBFD（1）由以上條件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）若交點(diǎn)P在⊙O的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）若⊙B過(guò)M2，0）且與⊙A相切，求B點(diǎn)坐標(biāo).AFDMCPEONBAAEBMPDCNF例6如圖，點(diǎn)O是ΔABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠BAC=80°,則∠BOC=()（1）CD與⊙O相切嗎？如果相切，請(qǐng)你加以證明，如果不相切，請(qǐng)說(shuō)明理由.yyA_Ox例9．如圖，已知正六邊形ABCDEF，其外接圓的半徑是a，?求正六邊形的周長(zhǎng)和面積.例10．在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護(hù)大樹，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹.心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a.（1）若AP過(guò)圓心O，如圖①,請(qǐng)你判斷△PDC是什么三角形？并說(shuō)明理由.AAAOOBBCBBPPPDDAOED(2)若用陰影扇形OBD圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑.例17.如圖，從一個(gè)直徑是2的圓形鐵皮中剪下一個(gè)圓心角為90的扇形.（2）在剩下的三塊余料中，能否從第③塊余料中剪出一個(gè)圓作為底面與此扇形圍成一個(gè)圓錐？請(qǐng)說(shuō)明理由.A①O③②的交點(diǎn)，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎?為什么CDGE半徑作⊙D，分別過(guò)點(diǎn)A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C.CEOBC∥AD，CD∥BH∥FM,BC∥DG，DH∥BH于