不可壓縮流體二維邊界層概述

不可壓縮流體二維邊界層概述第1頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)邊界層的基本概念

一、邊界層的概念

1904年，在德國舉行的第三屆國際數(shù)學家學會上，德國著名的力學家普朗特第一次提出了邊界層的概念。他認為對于水和空氣等黏度很小的流體，在大雷諾數(shù)下繞物體流動時，黏性對流動的影響僅限于緊貼物體壁面的薄層中，而在這一薄層外黏性影響很小，完全可以忽略不計，這一薄層稱為邊界層。普朗特的這一理論，在流體力學的發(fā)展史上有劃時代的意義。

圖5-1所示為大雷諾數(shù)下黏性流體繞流翼型的二維流動，根據(jù)普朗特邊界層理論，把大雷諾數(shù)下均勻繞流物體表面的流場劃分為三個區(qū)域，即邊界層、外部勢流和尾渦區(qū)。

第2頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-1翼型上的邊界層III外部勢流II尾部流區(qū)域I邊界層邊界層外邊界邊界層外邊界第3頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

在邊界層和尾渦區(qū)內，黏性力作用顯著，黏性力和慣性力有相同的數(shù)量級，屬于黏性流體的有旋流動區(qū)；在邊界層和尾渦區(qū)外，流體的運動速度幾乎相同，速度梯度很小，邊界層外部的流動不受固體壁面的影響，即使黏度較大的流體，黏性力也很小，主要是慣性力。所以可將這個區(qū)域看作是理想流體勢流區(qū)，可以利用前面介紹的勢流理論和理想流體伯努里方程來研究流場的速度分布。普朗特邊界層理論開辟了用理想流體理論和黏性流體理論聯(lián)合研究的一條新途徑。實際上邊界層內、外區(qū)域并沒有明顯的分界面，一般將壁面流速為零與流速達到來流速度的99％處之間的距離定義為邊界層厚度。邊界層厚度沿著流體流動方向逐漸增厚，這是由于邊界層中流體質點受到摩擦阻力的作用，沿著流體流動方向速度逐漸減小，因此，只有離壁面逐漸遠些，也就是邊界層厚度逐漸大些才能達到來流速度。

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根據(jù)實驗結果可知，同管流一樣，邊界層內也存在著層流和紊流兩種流動狀態(tài)，若全部邊界層內部都是層流，稱為層流邊界層，若在邊界層起始部分內是層流，而在其余部分內是紊流，稱為混合邊界層，如圖5-2所示，在層流變?yōu)槲闪髦g有一過渡區(qū)。在紊流邊界層內緊靠壁面處也有一層極薄的層流底層。判別邊界層的層流和紊流的準則數(shù)仍為雷諾數(shù)，但雷諾數(shù)中的特征尺寸用離前緣點的距離x表示之，特征速度取邊界層外邊界上的速度，即

(5-1)

第5頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-2平板上的混合邊界層層流邊界層過渡區(qū)域紊流邊界層層流底層第6頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

對平板的邊界層，層流轉變?yōu)槲闪鞯呐R界雷諾數(shù)為。臨界雷諾數(shù)的大小與物體壁面的粗糙度、層外流體的紊流度等因素有關。增加壁面粗糙度或層外流體的紊流度都會降低臨界雷諾數(shù)的數(shù)值，使層流邊界層提前轉變?yōu)槲闪鬟吔鐚印６?、邊界層的基本特?1)與物體的特征長度相比，邊界層的厚度很小,.(2)邊界層內沿厚度方向，存在很大的速度梯度。

(3)邊界層厚度沿流體流動方向是增加的，由于邊界層內流體質點受到黏性力的作用，流動速度降低，所以要達到外部勢流速度，邊界層厚度必然逐漸增加。第7頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)由于邊界層很薄，可以近似認為邊界層中各截面上的壓強等于同一截面上邊界層外邊界上的壓強值。

(5)在邊界層內，黏性力與慣性力同一數(shù)量級。

(6)邊界層內的流態(tài)，也有層流和紊流兩種流態(tài)。

第8頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)邊界層的動量積分方程

邊界層內的流體是黏性流體的運動，理論上可以用N-S方程來研究其運動規(guī)律。但由此得到的邊界層微分方程中，非線性項仍存在，因此即使對于外形很簡單的繞流物體求解也是很復雜的，目前只能對平板、楔形體繞流層流邊界層進行理論計算求得其解析解。但工程上遇到的很多問題，如任意翼型的繞流問題和紊流邊界層，一般來說求解比較困難，為此人們常采用近似解法，其中應用的較為廣泛的是邊界層動量積分方程解法。第9頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

下面來推導邊界層動量積分方程。假定平面邊界內流動是定常的并忽略質量力，在邊界層的任一處，取單位寬度、沿邊界層長度為d的微元段作為控制體，如圖5-3所示?？刂企w的控制面由邊界層的橫斷面AB與CD以及內邊界AD和外邊界BC組成。對控制體應用物理概念十分清楚的動量方程則有：通過控制面AB、BC、CD的動量變化率等于作用在控制面AB、BC、CD、AD上所有外力的合力。

首先計算通過邊界層控制面在軸方向上的動量變化率。

單位時間流入x處控制面AB的動量為

從處控制面CD流出的動量為

第10頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月從控制面BC流入的動量采用下列求法，首先計算從處控制面AB流入的質量流量

而從處控制面CD流出的質量流量為

由不可壓縮流體的連續(xù)性方程可知，通過CD與AB控制面質量流量的差值應等于由BC控制面流入的質量流量，于是流入BC控制面的質量流量與動量分別為

第11頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-3推導邊界層的動量積分關系式用圖

第12頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月整理上述單位時間內通過控制面的流體動量的通量在x方向的分量，得下面計算作用在控制面上所有外力在x軸方向的合力。忽略質量力，故只有表面力。作用在控制面AD上的表面力為

作用在控制面AB、CD上的表面力分別為作用在邊界層外邊界控制面BC上的表面力，因摩擦應力為零，而壓強可取B、C兩點壓強的平均值，于是有第13頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月整理上述作用在控制面上的所有表面力在x方向的代數(shù)和，并注意到略去二階小量，得式(5-2)又稱為邊界層動量積分關系式。該式是匈牙利科學家馮·卡門(Von．Karman)于1921年根據(jù)邊界層的動量定理首先推導出來的。由于在推導過程中未加任何近似條件，從這個意義上講，它是嚴格的，而且對邊界層的流動性質也未加限制，因此它既可求解層流邊界層，又可適用于紊流邊界層。

根據(jù)動量定理，令，可得邊界層動量積分方程為

(5-2)

由于積分上限只是的函數(shù)，因此式(5-2)中的可寫成

第14頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月又根據(jù)勢流的伯努里方程

注意到式（5-3），則式（5-2）可寫成

常數(shù)

則有

（5-3）

（5-4）第15頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月考察邊界層的動量積分方程式（5-2）和式（5-4）可以看到，方程中含有五個未知量：、、、、，其中和可由主流區(qū)的勢流方程求得，剩下的三個未知量是、、，因此要求解邊界層動量積分方程，原則上還需要補充兩個方程，即

(1)滿足繞流物體壁面條件和邊界層外邊界條件的速度分布；

(2)與速度分布有關的與的關系式。事實上，與的關系可根據(jù)邊界層內的速度分布求出

第16頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

通常在求解邊界層動量積分方程時，總是先選取邊界層內速度分布，選取的速度分布越接近實際，則所得結果越正確。但由于邊界層運動的復雜性，而預先選定的速度分布只能滿足主要的邊界條件，不可能正好滿足動量積分方程，這樣求得的結果（、等）就都是近似的，故積分方程的解法只能是近似的解法。但這種解法有一個很大的優(yōu)點，就是只要能大致選定速度分布形式，則可以得到誤差并不很大的結果，而且解法較簡單，因此在工程上用得較廣泛。

下面列出了用動量積分方程求得的平板層流和紊流邊界層的部分近似解。對于層流邊界層平板上離前緣點處的邊界層厚度

(5-5)第17頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

在平板一個壁面上由粘滯力引起的總摩擦阻力

(5-6)

摩擦阻力系數(shù)(5-7)

對于紊流邊界層平板上離前緣點處的邊界層厚度

(5-8)

在平板一個壁面上由粘滯力引起的總摩擦阻力(5-9)

摩擦阻力系數(shù)(5-10)第18頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月以上幾式中—均勻來流速度，m/s；

—平板的寬度，m；

—平板的長度，m；

—來流的密度，kg/m3。第19頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)曲面邊界層分離現(xiàn)象

卡門渦街

如前所述，當不可壓縮黏性流體縱向流過平板時，在邊界層外邊界上沿平板方向的速度是相同的，而且整個流場和邊界層內的壓強都保持不變。當黏性流體流經曲面物體時，邊界層外邊界上沿曲面方向的速度是改變的，所以曲面邊界層內的壓強也將同樣發(fā)生變化，對邊界層內的流動將產生影響。曲面邊界層的計算是很復雜的，這里不準備討論它。這一節(jié)將著重說明曲面邊界層的分離現(xiàn)象。

第20頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

一、曲面邊界層的分離現(xiàn)象

在實際工程中，物體的邊界往往是曲面（流線型或非流線型物體）。當流體繞流非流線型物體時，一般會出現(xiàn)下列現(xiàn)象：物面上的邊界層在某個位置開始脫離物面，并在物面附近出現(xiàn)與主流方向相反的回流，流體力學中稱這種現(xiàn)象為邊界層分離現(xiàn)象，如圖5-4所示。流線型物體在非正常情況下也能發(fā)生邊界層分離，如圖5-4(a)所示。第21頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月（a）流線形物體；（b）非流線形物體圖5-4曲面邊界層分離現(xiàn)象示意圖邊界層外部流動外部流動尾跡外部流動外部流動尾跡邊界層第22頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)以不可壓縮流體繞流圓柱體為例，著重從邊界層內流動的物理過程說明曲面邊界層的分離現(xiàn)象。當黏性流體繞圓柱體流動時，在圓柱體前駐點A處，流速為零，該處尚未形成邊界層，即邊界層厚度為零。隨著流體沿圓柱體表面上下兩側繞流，邊界層厚度逐漸增大。層外的流體可近似地作為理想流體，理想流體繞流圓柱體時，在圓柱體前半部速度逐漸增加，壓強逐漸減小，是加速流。當流到圓柱體最高點B時速度最大，壓強最小。到圓柱體的后半部速度逐漸減小，壓強逐漸增加，形成減速流。由于邊界層內各截面上的壓強近似地等于同一截面上邊界層外邊界上的流體壓強，所以，在圓柱體前半部邊界層內的流動是降壓加速，而在圓柱體后半部邊界層內的流動是升壓減速。因此，在邊界層內的流體質點除了受到摩擦阻力的作用外，還受到流動方向上壓強差的作用。在圓柱體前半部邊界層內的流體質點受到摩擦阻滯逐漸減速，不斷消耗動能。但由于壓強沿流動方向逐漸降低，使流體質點得到部分增速，也就是說流體的部分壓強能轉變?yōu)閯幽?，從而抵消一部分因摩擦阻滯作用而消耗的動能，以維持流體在邊界層內繼續(xù)向前流動。第23頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月但當流體繞過圓柱體最高點B流到后半部時，壓強增加，速度減小，更促使邊界層內流體質點的減速，從而使動能消耗更大。當達到S點時，近壁處流體質點的動能已被消耗完盡，流體質點不能再繼續(xù)向前運動，于是一部分流體質點在S點停滯下來，過S點以后，壓強繼續(xù)增加，在壓強差的作用下，除了壁上的流體質點速度仍等于零外，近壁處的流體質點開始倒退。接踵而來的流體質點在近壁處都同樣被迫停滯和倒退，以致越來越多被阻滯的流體在短時間內在圓柱體表面和主流之間堆積起來，使邊界層劇烈增厚，邊界層內流體質點的倒流迅速擴展，而邊界層外的主流繼續(xù)向前流動，這樣在這個區(qū)域內以ST線為界，如圖5-5所示，在ST線內是倒流，在ST線外是向前的主流，兩者流動方向相反，從而形成旋渦。圖5-5曲面邊界層分離現(xiàn)象

第24頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

使流體不再貼著圓柱體表面流動，而從表面分圖5-5曲面邊界層分離現(xiàn)象離出來，造成邊界層分離，S點稱為分離點。形成的旋渦，不斷地被主流帶走，在圓柱體后面產生一個尾渦區(qū)。尾渦區(qū)內的旋渦不斷地消耗有用的機械能，使該區(qū)中的壓強降低，即小于圓柱體前和尾渦區(qū)外面的壓強，從而在圓柱體前后產生了壓強差，形成了壓差阻力。壓差阻力的大小與物體的形狀有很大關系，所以又稱為形狀阻力。

第25頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

二、卡門渦街

1911年，匈牙利科學家卡門在德國專門研究了這種圓柱背后旋渦的運動規(guī)律。實驗研究表明，當時黏性流體繞過圓柱體，發(fā)生邊界層分離，在圓柱體后面產生一對不穩(wěn)定的旋轉方向相反的對稱旋渦，超過40后，對稱旋渦不斷增長，至時，這對不穩(wěn)定的對稱旋渦，最后形成幾乎穩(wěn)定的非對稱性的、多少有些規(guī)則的、旋轉方向相反、上下交替脫落的旋渦，這種旋渦具有一定的脫落頻率，稱為卡門渦街，如圖5-6所示。

圖5-6卡門渦街形成示意圖

第26頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

圓柱體的卡門渦街的脫落頻率與流體流動的速度和圓柱體直徑有關，由泰勒(F·Taylor)和瑞利(L·Rayleigh)提出下列經驗公式

（5-11）

式（5-11）適用于范圍內的流動，式中無量綱數(shù)稱為斯特勞哈(V．Strouhal)數(shù)，即

（5-12）

根據(jù)羅斯柯（A．Roshko）1954年的實驗結果，當大于1000時，斯特勞哈數(shù)近似地等于常數(shù)，即=0.21。

根據(jù)卡門渦街的上述性質，可以制成卡門渦街流量計，即在管道內從與流體流動相垂直的方向插入一根圓柱體驗測桿。管內流體流經圓柱體驗測桿時，在驗測桿下游產生卡門渦街，測得了旋渦的脫落頻率，便可由式（5-12）求得管內流體的流速，進而確定管內流體的流量。測定卡門渦街脫落頻率的方法有熱敏電阻絲法、超音波束法等等。

第27頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月在日常生活中，常聽到風吹電線噓噓發(fā)響的鳴叫聲，這種鳴響也是由于卡門渦街的交替脫落引起空氣中壓強脈動所造成的聲波。在工程設備中（如管式空氣預熱器），空氣橫向繞流管束，卡門渦街的交替脫落會引起管箱中氣柱的振動。特別是當旋渦脫落頻率與管箱中的聲學駐波振動頻率相等時，便會發(fā)生聲學共振現(xiàn)象，產生嚴重的噪聲，并使器壁在脈動壓力作用下彎曲變形，甚至振裂。最嚴重的情況是氣室的聲學駐波振動頻率、管束的固有頻率、卡門渦街的脫落頻率三者相合時，將造成設備的嚴重破壞。通常消除聲學共振的措施是提高設備氣室的聲學駐波頻率，也就是順著流體流動方向加裝若干塊隔板，將設備氣室的橫向尺寸分成若干段，提高其聲學駐波振動頻率，使之與卡門渦街的聲振頻率錯開。這種簡單的辦法實踐證明是行之有效的，但具體做時要通過試驗及必要的計算來解決。

第28頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)繞流阻力和阻力系數(shù)

黏性流體繞物體流動時，物體一定受到流體的壓強和切向應力的作用，這些力的合力一般可分解為與來流方向一致的作用力和垂直于來流方向的升力。由于與物體運動方向相反，起著阻礙物體運動的作用，所以稱為阻力。繞流物體的阻力由兩部分組成：一部分是由于流體的黏性在物體表面上作用著切向應力，由此切向應力所形成的摩擦阻力；另一部分是由于邊界層分離，物體前后形成壓強差而產生的壓差阻力。摩擦阻力和壓差阻力之和統(tǒng)稱為物體阻力。對于圓柱體和球體等鈍頭體，壓差阻力比摩擦阻力要大得多；而流體縱向流過平板時一般只有摩擦阻力。雖然物體阻力的形成過程，從物理觀點看完全清楚，但是要從理論上來確定一個任意形狀物體的阻力，至今還是十分困難的，目前還只能在風洞中用實驗方法測得，這種實驗稱為風洞實驗。第29頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

通過實驗分析可以得出，物體阻力與來流的動壓頭和物體在垂直于來流方向的截面積A的乘積成正比，即

(5-13)

為了便于比較各種形狀物體的阻力，工程上引用無因次阻力系數(shù)來表達物體阻力的大小，其公式為