第四章平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

第第頁第四章平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入第一節(jié)平面向量的概念及線性運算————————————————————————————————1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義．1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)．(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．()(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.()(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要條件．()(4)△ABC中，D是BC的中點，則eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(2015·全國卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(BC,\s\up8(→))＝3eq\o(CD,\s\up8(→))，則()A.eq\o(AD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up8(→))B.eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up8(→))C.eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))D.eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))答案：A[eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up8(→)).故選A.]3．設(shè)點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝2eq\o(BP,\s\up8(→))，則eq\o(PC,\s\up8(→))＋eq\o(PA,\s\up8(→))＝________.答案：04．(教材改編)已知?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up8(→))＝________，eq\o(BC,\s\up8(→))＝________(用a，b表示)．答案：b－a－a－b5．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.答案：－eq\f(1,3)平面向量的有關(guān)概念給出下列六個命題：①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②若eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，則ABCD為平行四邊形；③若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；④λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線；⑤λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零；⑥a，b為非零向量，a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中假命題的序號為________．答案：①②③④⑤⑥注：1.(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認(rèn)為④是正確的；(2)充分利用反例進行否定是對向量的有關(guān)概念題進行判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性．(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點無關(guān)．3．若a為非零向量，則eq\f(a,|a|)是與a同向的單位向量，－eq\f(a,|a|)是與a反向的單位向量．設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3答案：D平面向量的線性運算(1)(2014·全國卷Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝()A.eq\o(BC,\s\up8(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))C.eq\o(AD,\s\up8(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))(2)在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若eq\o(CD,\s\up8(→))＝meq\o(BA,\s\up8(→))＋neq\o(BC,\s\up8(→))(m，n∈R)，則eq\f(m,n)＝()A．－3 B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D．3答案：(1)C(2)A注：向量的線性運算的求解方法(1)進行向量運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．(1)設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up8(→)) B．2eq\o(OM,\s\up8(→))C．3eq\o(OM,\s\up8(→)) D．4eq\o(OM,\s\up8(→))(2)已知D為三角形ABC邊BC的中點，點P滿足eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(CP,\s\up8(→))＝0，eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(PD,\s\up8(→))，則實數(shù)λ的值為________．答案：(1)D(2)－2共線向量定理的應(yīng)用設(shè)兩個非零向量a與b不共線，(1)若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．解答：(1)證明：∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)，2分∴eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up8(→)).∴eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))共線，又∵它們有公共點B，∴A，B，D三點共線.5分(2)∵ka＋b和a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.9分∵a，b是兩個不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.12分注：共線向量定理的應(yīng)用(1)證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線．(2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→))，則A，B，C三點共線．(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．易錯警示：證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點．(1)已知向量eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝－3a＋3b，則()A．A，B，C三點共線B．A，B，D三點共線C．A，C，D三點共線D．B，C，D三點共線(2)(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________.解答：(1)B(2)eq\f(1,2)注：1．向量加法的三角形法則應(yīng)注意“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則應(yīng)注意“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則應(yīng)注意“起點重合”．2．證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．3．對于三點共線有以下結(jié)論：對于平面上的任一點O，eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))不共線，滿足eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))(x，y∈R)，則P，A，B共線?x＋y＝1.注：1．解決向量的概念問題要注意兩點：一是向量的大小與方向；二是考慮零向量是否也滿足條件．要特別注意零向量的特殊性．2．在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯誤．3．在向量共線的條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個．課時分層訓(xùn)練(二十四)平面向量的概念及線性運算A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．在△ABC中，已知M是BC中點，設(shè)eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)a－b B.eq\f(1,2)a＋bC．a(chǎn)－eq\f(1,2)b D．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b答案：A[eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,2)a，故選A.]2．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則下列一定共線的三點是()A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，D答案：B3．在△ABC中，已知D是AB邊上的一點，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)答案：A4．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|答案：C[eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)?a＝eq\f(|a|b,|b|)?a與b共線且同向?a＝λb且λ>0.B，D選項中a和b可能反向．A選項中λ<0，不符合λ>0.]5．設(shè)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))()A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直答案：A二、填空題6．已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))滿足等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀為________.答案：平行四邊形7．在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝________.(用e1，e2表示)答案：eq\f(5,2)e1＋eq\f(3,2)e28．在△ABC中，點M，N滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝________；y＝________.答案：eq\f(1,2)－eq\f(1,6)三、解答題9．在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).圖4-1-1解答：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.2分eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.12分10．設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，求證：A，C，D三點共線；(2)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且A，C，D三點共線，求k的值．解答：(1)證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4e1＋e2＝－eq\f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線.3分又∵eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))有公共點C，∴A，C，D三點共線.5分(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2.7分∵A，C，D三點共線，∴eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，從而存在實數(shù)λ使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，9分即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得λ＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(4,3).12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1．設(shè)M是△ABC所在平面上的一點，且eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，D是AC的中點，則eq\f(|\o(MD,\s\up6(→))|,|\o(BM,\s\up6(→))|)的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．1 D．2答案：A2．如圖4-1-2，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點H，M為AH的中點．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.圖4-1-2答案：eq\f(2,3)3．已知a，b不共線，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，eq\o(OE,\s\up6(→))＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上？若存在，求出實數(shù)t的值，若不存在，請說明理由．解答：由題設(shè)知，eq\o(CD,\s\up6(→))＝d－c＝2b－3a，eq\o(CE,\s\up6(→))＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k，使得eq\o(CE,\s\up6(→))＝keq\o(CD,\s\up6(→))，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，3分整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.6分因為a，b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－3＋3k＝0，,t－2k＝0，))9分解之得t＝eq\f(6,5).故存在實數(shù)t＝eq\f(6,5)使C，D，E三點在一條直線上.12分第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示————————————————————————————————1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a與數(shù)對(x，y)是一一對應(yīng)的，把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中a在x軸上的坐標(biāo)是x，a在y軸上的坐標(biāo)是y.3．平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up8(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0.1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底．()(2)在△ABC中，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，則向量a與b的夾角為∠ABC.()(3)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于()A．5 B.eq\r(13)C.eq\r(17) D．13答案：B3．(2015·全國卷Ⅰ)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up8(→))＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)答案：A[eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故選A.]4．(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________.答案：－65．(教材改編)已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點D的坐標(biāo)為________．答案：(1,5)平面向量基本定理及其應(yīng)用(1)如果e1，e2是平面α內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A．e1與e1＋e2B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2D．e1＋3e2與6e2＋2e1(2)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若eq\o(AC,\s\up8(→))＝λeq\o(AE,\s\up8(→))＋μeq\o(AF,\s\up8(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.答案：(1)D(2)eq\f(4,3)注：1.利用平面向量基本定理表示向量時，要選擇一組恰當(dāng)?shù)幕讈肀硎酒渌蛄浚从锰厥庀蛄勘硎疽话阆蛄浚?．利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用三角形法則進行向量的加減運算，在解題時，注意方程思想的運用．如解答本題(2)的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理列出關(guān)于λ，μ的方程組．如圖4-2-1，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝eq\f(1,3)BC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點．設(shè)eq\o(BA,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，則eq\o(EF,\s\up8(→))＝________，eq\o(DF,\s\up8(→))＝________，eq\o(CD,\s\up8(→))＝________(用向量a，b表示)．圖4-2-1答案：eq\f(1,3)b－aeq\f(1,6)b－aa－eq\f(2,3)b[eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))＝－eq\f(1,6)b－a＋eq\f(1,2)b＝eq\f(1,3)b－a，eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(DE,\s\up8(→))＋eq\o(EF,\s\up8(→))＝－eq\f(1,6)b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b－a))＝eq\f(1,6)b－a，eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CF,\s\up8(→))＋eq\o(FD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)b－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)b－a))＝a－eq\f(2,3)b.]平面向量的坐標(biāo)運算已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，eq\o(CA,\s\up8(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up8(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up8(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up8(→))的坐標(biāo)．解答：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).2分(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).5分(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))8分(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點．∵eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up8(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20).10分又∵eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\o(ON,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up8(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴eq\o(MN,\s\up8(→))＝(9，－18).12分注：1.向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．常利用向量相等則其坐標(biāo)相同列方程(組)求解．2．平面向量的坐標(biāo)運算的引入為向量提供了新的語言——“坐標(biāo)語言”，實質(zhì)是“形”化為“數(shù)”．向量的坐標(biāo)運算，使得向量的線性運算都可用坐標(biāo)來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來．已知a＝(1，t)，b＝(t，－6)，則|2a＋b|的最小值為________．答案：2eq\r(5)平面向量共線的坐標(biāo)表示(1)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，則m＝()A．－2 B．2C．－3 D．3(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標(biāo)為________．答案：(1)C(2)(2,4)注：1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，則b＝λa.2．向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例求解．(1)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋sinθ))，若a∥b，則銳角θ＝________.(2)已知向量eq\o(OA,\s\up8(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up8(→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k應(yīng)滿足的條件是________.答案：(1)eq\f(π,4)(2)k≠1注：1．平面向量基本定理實質(zhì)上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐標(biāo)表示的理論基礎(chǔ)，用平面向量基本定理可將平面內(nèi)任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式．2．利用平面向量共線的坐標(biāo)表示既可以證明向量平行、點共線，也可以由平行求點的坐標(biāo)或參數(shù)值．3．若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.注：1．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為起點的向量eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)．但表示形式與意義不同，如點A(x，y)，向量a＝eq\o(OA,\s\up8(→))＝(x，y)，向量坐標(biāo)中既有大小信息又有方向信息．2．若a，b為非零向量，當(dāng)a∥b時，a，b的夾角為0°或180°，求解時容易忽視其中一種情形致誤．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因為x2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.課時分層訓(xùn)練(二十五)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．如圖4-2-2，設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，給出下列向量組：圖4-2-2①eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→)).其中可作為該平面內(nèi)其他向量的基底的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④答案：B2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC．－eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b答案：B3．已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向D．k＝－1且c與d反向答案：D4．如圖4-2-3，在△OAB中，P為線段AB上的一點，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，則()圖4-2-3A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)答案：A5．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均為正數(shù)，則eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是()A．24B．8C.eq\f(8,3)D.eq\f(5,3)答案：B二、填空題6．若向量a＝(3,1)，b＝(7，－2)，則a－b的單位向量的坐標(biāo)是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))7．已知平面向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，a＝(1，eq\r(3))，|a－2b|＝2eq\r(3)，則|b|＝________.答案：28．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，－3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)，若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是________.答案：m≠eq\f(5,4)三、解答題9．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b).(1)若A，B，C三點共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，求點C的坐標(biāo)．解答：(1)由已知得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(a－1，b－1).2分∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→)).∵2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.5分(2)∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2).7分∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝4，,b－1＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－3，))∴點C的坐標(biāo)為(5，－3).12分10．平面內(nèi)給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k.解答：(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，2分所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))5分(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，7分由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq\f(16,13).12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1．已知正三角形ABC的邊長為2eq\r(3)，平面ABC內(nèi)的動點P，M滿足|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝1，eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))，則|eq\o(BM,\s\up6(→))|2的最大值是()A.eq\f(43,4) B.eq\f(49,4)C.eq\f(37＋6\r(3),4) D.eq\f(37＋2\r(33),4)答案：B2．向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖4-2-4所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________.圖4-2-4答案：43．已知點O為坐標(biāo)原點，A(0,2)，B(4,6)，eq\o(OM,\s\up6(→))＝t1eq\o(OA,\s\up6(→))＋t2eq\o(AB,\s\up6(→)).(1)求點M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t1＝1時，不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點共線．解答：(1)eq\o(OM,\s\up6(→))＝t1eq\o(OA,\s\up6(→))＋t2eq\o(AB,\s\up6(→))＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2).2分當(dāng)點M在第二或第三象限時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t2<0，,2t1＋4t2≠0，))故所求的充要條件為t2<0且t1＋2t2≠0.5分(2)證明：當(dāng)t1＝1時，由(1)知eq\o(OM,\s\up6(→))＝(4t2,4t2＋2).7分∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4,4)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2eq\o(AB,\s\up6(→))，10分∴eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))共線，又有公共點A，∴A，B，M三點共線.12分第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例————————————————————————————————1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題．1．平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．2．平面向量數(shù)量積的運算律(1)交換律：a·b＝b·a；(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量．()(2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.()(3)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝c.()(4)在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))且eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝0，則四邊形ABCD為矩形.()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．(2016·全國卷Ⅲ)已知向量eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，則∠ABC＝()A．30° B．45°C．60° D．120°答案：A3．(2015·全國卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝()A．－1 B．0C．1 D．2答案：C4．(教材改編)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為________．答案：－25．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，則x＝________.答案：－eq\f(2,3)平面向量數(shù)量積的運算(1)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則eq\o(AF,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))的值為()A．－eq\f(5,8)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4)D.eq\f(11,8)(2)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則eq\o(DE,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))的值為________；eq\o(DE,\s\up8(→))·eq\o(DC,\s\up8(→))的最大值為________．解答：(1)B(2)11（2）由圖知，無論E點在哪個位置，eq\o(DE,\s\up8(→))在eq\o(CB,\s\up8(→))方向上的投影都是CB＝1，所以eq\o(DE,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝|eq\o(CB,\s\up8(→))|·1＝1，當(dāng)E運動到B點時，eq\o(DE,\s\up8(→))在eq\o(DC,\s\up8(→))方向上的投影最大，即為DC＝1，所以(eq\o(DE,\s\up8(→))·eq\o(DC,\s\up8(→)))max＝|eq\o(DC,\s\up8(→))|·1＝1.]注：1.求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運算；利用數(shù)量積的幾何意義．2．(1)要有“基底”意識，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量．(2)注意向量夾角的大小，以及夾角θ＝0°，90°，180°三種特殊情形．(1)已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2,1)，點C(－1,0)，D(4,5)，則向量eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(CD,\s\up8(→))方向上的投影為()A．－eq\f(3\r(2),2) B．－3eq\r(5)C.eq\f(3\r(2),2) D．3eq\r(5)(2)線段AD，BE分別是邊長為2的等邊三角形ABC在邊BC，AC邊上的高，則eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BE,\s\up8(→))＝()A．－eq\f(3,2) B.eq\f(3,2)C．－eq\f(3\r(3),2) D.eq\f(3\r(3),2)答案：(1)C(2)A平面向量數(shù)量積的性質(zhì)eq\a\vs4\al(?)角度1平面向量的模(1)已知不共線的兩個向量a，b滿足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，則|b|＝()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4(2)已知向量a，b滿足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，則|λ|＝________.答案：(1)B(2)eq\r(5)eq\a\vs4\al(?)角度2平面向量的夾角(1)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與a的夾角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)(2)已知平面向量a，b的夾角為120°，且a·b＝－1，則|a－b|的最小值為()A.eq\r(6) B.eq\r(3)C.eq\r(2) D．1答案：(1)B(2)Aeq\a\vs4\al(?)角度3平面向量的垂直已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，則實數(shù)t的值為________．－5注：1.求兩向量的夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，要注意θ∈．2．兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.3．求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(2)|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).(3)若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).平面向量在平面幾何中的應(yīng)用已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中點，E是AB上一點，且AE＝2EB，求證：AD⊥CE.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(a,0)，則B(0，a)，E(x，y).2分解答：∵D是BC的中點，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2))).4分又∵eq\o(AE,\s\up8(→))＝2eq\o(EB,\s\up8(→))，即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－a＝－2x，,y＝2a－2y，))解得x＝eq\f(a,3)，y＝eq\f(2,3)a.8分∵eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))－(a,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a,2)))，eq\o(OE,\s\up8(→))＝eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(2,3)a))，∴eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(CE,\s\up8(→))＝－a×eq\f(a,3)＋eq\f(a,2)×eq\f(2,3)a＝－eq\f(1,3)a2＋eq\f(1,3)a2＝0.10分∴eq\o(AD,\s\up8(→))⊥eq\o(CE,\s\up8(→))，即AD⊥CE.12分注：平面幾何問題中的向量方法(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決(如本例)．(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進行求解．在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點．若eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BE,\s\up8(→))＝1，則AB的長為________.答案：eq\f(1,2)注：1．計算數(shù)量積的三種方法：定義法、坐標(biāo)運算、數(shù)量積的幾何意義，解題要靈活選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，與圖形有關(guān)的不要忽視數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，將模的運算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運算．3．利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧．4．兩個非零向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0.注：1．?dāng)?shù)量積運算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，兩邊不能約去一個向量．2．兩個向量的夾角為銳角，則有a·b>0，反之不成立；兩個向量夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立．3．在求向量夾角時，注意其取值范圍．課時分層訓(xùn)練(二十六)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．在邊長為1的等邊△ABC中，設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，則a·b＋b·c＋c·a＝()A．－eq\f(3,2) B．0C.eq\f(3,2) D．3答案：A2．(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝()A．－8 B．－6C．6 D．8答案：D3．平面四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，則四邊形ABCD是()A．矩形 B．正方形C．菱形 D．梯形答案：C4．已知點A(0,1)，B(－2,3)，C(－1,2)，D(1,5)，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(BD,\s\up6(→))方向上的投影為()A.eq\f(2\r(13),13) B．－eq\f(2\r(13),13)C.eq\f(\r(13),13) D．－eq\f(\r(13),13)答案：D5．已知非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)答案：C二、填空題6．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________.答案：－27．在△ABC中，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，則點O是△ABC的________(填“重心”“垂心”“內(nèi)心”或“外心”)．答案：垂心8．如圖4-3-1，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________．圖4-3-1答案：22三、解答題9．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°.(1)計算：①|(zhì)a＋b|，②|4a－2b|；(2)當(dāng)k為何值時，(a＋2b)⊥(ka－b)．解答：由已知得，a·b＝4×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－16.2分(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4eq\r(3).4分②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16eq\r(3).6分(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，8分∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.即k＝－7時，a＋2b與ka－b垂直.12分10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；(2)設(shè)實數(shù)t滿足(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．解答：(1)由題設(shè)知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,5)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,6)，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,4).3分所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(10)，|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4eq\r(2).故所求的兩條對角線長分別為4eq\r(2)，2eq\r(10).5分(2)由題設(shè)知eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t,5＋t).8分由(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，從而5t＝－11，所以t＝－eq\f(11,5).12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1．已知a，b均為單位向量，且a·b＝0.若|c－4a|＋|c－3b|＝5，則|c＋a|的取值范圍是()A． B．C． D．[eq\r(10)，5]答案：B．2．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝________.答案：23．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(eq\r(2)a－c)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝ceq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→)).(1)求角B的大?。?2)若|eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，求△ABC面積的最大值．解答：(1)由題意得(eq\r(2)a－c)cosB＝bcosC.根據(jù)正弦定理得(eq\r(2)sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，所以eq\r(2)sinAcosB＝sin(C＋B)，2分即eq\r(2)sinAcosB＝sinA，因為A∈(0，π)，所以sinA>0，所以cosB＝eq\f(\r(2),2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,4).5分(2)因為|eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，所以|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，7分即b＝eq\r(6)，根據(jù)余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－eq\r(2)ac≥2ac－eq\r(2)ac＝(2－eq\r(2))ac(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時取等號)，即ac≤3(2＋eq\r(2))，9分故△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB≤eq\f(3\r(2)＋1,2)，即△ABC的面積的最大值為eq\f(3\r(2)＋3,2).12分第四節(jié)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入————————————————————————————————1.理解復(fù)數(shù)的概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.能進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解兩個具體復(fù)數(shù)相加、減的幾何意義．1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復(fù)數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up8(→))的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2．復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)平面向量eq\o(OZ,\s\up8(→))＝(a，b)．3．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算(1)運算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行．如圖4-4-1所示給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up8(→))＝eq\o(OZ1,\s\up8(→))＋eq\o(OZ2,\s\up8(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up8(→))＝eq\o(OZ2,\s\up8(→))－eq\o(OZ1,\s\up8(→)).圖4-4-11．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.()(2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大?。?)(3)實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．()(4)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材改編)如圖4-4-2，在復(fù)平面內(nèi)，點A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點是()圖4-4-2A．A B．BC．C D．D答案：B3．設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1＋i)2＝()A．0 B．2C．2i D．2＋2i答案：C4．(2016·北京高考)復(fù)數(shù)eq\f(1＋2i,2－i)＝()A．i B．1＋iC．－i D．1－i答案：A5．復(fù)數(shù)i(1＋i)的實部為________．答案：－1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)(2016·全國卷Ⅲ)若z＝4＋3i，則eq\f(\x\to(z),|z|)＝()A．1 B．－1C.eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i D.eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i(2)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為________.答案：(1)D(2)－2注：1.復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實部與虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意列出實部、虛部滿足的方程(組)即可．2．求復(fù)數(shù)模的常規(guī)思路是利用復(fù)數(shù)的有關(guān)運算先求出復(fù)數(shù)z，然后利用復(fù)數(shù)模的定義求解．(1)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝eq\f(i,2＋i)的虛部為()A．－eq\f(1,5)B．－eq\f(2,5)C.eq\f(1,5)D.eq\f(2,5)(2)設(shè)z＝eq\f(1,1＋i)＋i，則|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．2答案：(1)D(2)B復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算(1)(2015·全國卷Ⅰ)已知復(fù)數(shù)z滿足(z－1)i＝1＋i，則z＝()A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋i(2)已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若(1＋i)(1－bi)＝a，則eq\f(a,b)的值為________．答案：(1)C(2)2注：1.復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式．2．記住以下結(jié)論，可提高運算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i；(3)eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．(1)已知eq\f(1－i2,z)＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i(2)已知i是虛數(shù)單位，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))8＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2018＝________.答案：(1)D(2)1＋i復(fù)數(shù)的幾何意義(1)(2016·全國卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－3,1) B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)(2)設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i答案：(1)A(2)A注：1.復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up8(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up8(→)).2．由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．定義運算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a，b,c，d))＝ad－bc，則符合條件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z，1＋i,2，1))＝0的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：A注：1．復(fù)數(shù)分類的關(guān)鍵是抓住z＝a＋bi(a，b∈R)的虛部：當(dāng)b＝0時，z為實數(shù)；當(dāng)b≠0時，z為虛數(shù)；當(dāng)a＝0，且b≠0時，z為純虛數(shù)．2．復(fù)數(shù)除法的實質(zhì)是分母實數(shù)化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．3．化“虛”為“實”是解決復(fù)數(shù)問題的基本方法，其中，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是化“虛”為“實”的前提，復(fù)數(shù)相等的充要條件是化“虛”為“實”的橋梁．注：1．判定復(fù)數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義．2．兩個虛數(shù)不能比較大小．3．利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時，應(yīng)注意a，b，c，d∈R的前提條件．4．注意不能把實數(shù)集中的所有運算法則和運算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立．課時分層訓(xùn)練(二十七)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(1＋eq\r(3)i)·i對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：B2．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a