立體幾何典型例題

【知識(shí)要點(diǎn)】1.空間直線和平面的位置關(guān)系：空間兩條直線：有公共點(diǎn)：相交，記作：a^b=A,其中特殊位置關(guān)系：兩直線垂直相交.無公共點(diǎn)：平行或異面.平行，記作：a〃b.異面中特殊位置關(guān)系：異面垂直.空間直線與平面：有公共點(diǎn)：直線在平面內(nèi)或直線與平面相交.直線在平面內(nèi)，記作：aua.直線與平面相交，記作：ana=A，其中特殊位置關(guān)系：直線與平面垂直相交.無公共點(diǎn)：直線與平面平行，記作：a〃a.空間兩個(gè)平面：有公共點(diǎn)：相交，記作：anp=1，其中特殊位置關(guān)系：兩平面垂直相交.無公共點(diǎn)：平行，記作：a〃p.空間作為推理依據(jù)的公理和定理：(1)四個(gè)公理與等角定理：公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi).公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).(2)空間中線面平行、垂直的性質(zhì)與判定定理：判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行.如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線相互平行.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直.【例題分析】例2在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，求證：MN〃平面PAD.【分析】要證明“線面平行”，可通過“線線平行”或“面面平行”進(jìn)行轉(zhuǎn)化；題目中出現(xiàn)了中點(diǎn)的條件，因此可考慮構(gòu)造(添加)中位線輔助證明.

證明：方法一，取PD中點(diǎn)&連接AE,NE..??底面ABCD是平行四邊形，M,N分別是AB,PC的中點(diǎn)，:.MAIICD,MA=-CD.2,：E是PD的中點(diǎn)，:.NEICD,NE=1CD.2:.MAINE，且MA=NE，:.AENM是平行四邊形，:.MN//AE.又AEu平面PAD，MN屯平面PAD，.MN〃平面PAD.方法二取CD中點(diǎn)尸，連接MF，NF.VMFIAD，NFIPD，???平面MNF〃平面PAD，.MN〃平面PAD.【評(píng)述】關(guān)于直線和平面平行的問題，可歸納如下方法：(1)證明線線平行：a〃c，blc，ala，auga〃gaXa，bXaaC[=byAa=a，yAg=bnalbnalbnalbnalb(2)證明線面平行:aAa=0albalgbua，a⑦aaugnalanalanala(3)證明面面平行:aAg=0alg,blgaXa，aXga〃y，g〃ya，bua，aAb=Analgnalgnalgnalg例3在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC，AB±AC，求證：A1CXBC1.可.【分析】要證明“線線垂直”，可通過“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明AC垂直于經(jīng)過BC1的平面即可.證明：連接AC].?「ABC—A1B1C1是直三棱柱，...AA]L平面ABC，:.AB±AA1.又AB±AC,:.AB±平面A1ACC1,:,A1C±AB.?又AA1=AC,?.?側(cè)面A1ACC1是正方形，:.A1C±AC1.②由①，②得A1C±平面ABC1,:.A1C±BC1.【評(píng)述】空間中直線和平面垂直關(guān)系的論證往往是以“線面垂直”為核心展開的.如本題已知條件中出現(xiàn)的“直三棱柱”及“ABXAC”都要將其向“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例4在三棱錐P-ABC中，平面PABL平面ABC,AB±BC,AP±PB，求證：平面PACL平面PBC.【分析】要證明“面面垂直”，可通過“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而“線面垂直”又 可以通過“線線垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.證明：.??平面PABL平面人8。，平面P4BH平面ABC=AB，且AB±BC，ABC±平面PAB，AAPXBC.又APXPB，AAP±平面PBC，又APu平面PAC，?.?平面P4C±平面PBC.【評(píng)述】關(guān)于直線和平面垂直的問題，可歸納如下方法：(1)證明線線垂直：aXc，b〃c，aXabuanaXbnaXb(1)證明線面垂直:aXm，a^na〃b，bXaa〃g，aXga里g，a^g=lm，nua，mAn=Aaug，aXlnaXanaXanaXanaXa(1)證明面面垂直:a里g，auanaXg例5如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面A^ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，ZA^AB=60°，E，F(xiàn)分別是AB1，BC的中點(diǎn).

(I)求證：直線時(shí)〃平面A1ACC1；(II)在線段AB上確定一點(diǎn)G,使平面EFGL平面ABC,并給出證明.證明：(I)連接A1C,A1E.?.?側(cè)面A1ABB1是菱形， E是AB1的中點(diǎn)，:.E也是A1B的中點(diǎn)，又F是BC的中點(diǎn)，.??EF〃A]C.?「A1Cu平面A1ACC],EF二平面A1ACC1,..?直線EF〃平面A1ACC1.(2)解：當(dāng)BG=1時(shí)，平面EFG±平面ABC,證明如下：GA3連接EG,FG...?側(cè)面A{ABB1是菱形，且ZA^AB=60°,.AA1AB是等邊三角形.VE是A1B的中點(diǎn)，竺=1,:.EGLAB.G.A3.??平面A1ABB1L平面ABC,且平面A{ABB1C平面ABC=AB,:.EG±平面ABC.又EGu平面EFG,.平面EFGL平面ABC.練習(xí)7-1一、選擇題：下列命題中正確的是(1.已知m,n是兩條不同直線，a,p,y下列命題中正確的是((A)若(A)若m〃a,n〃a，則m〃n(C)若a±y,p±y，則a〃p(B)若mLa,nLa，則m〃n(D)若m〃a,m〃P，則a〃P2.已知直線m,n和平面a,p，且mLn,mLa,aLp，則((A)nLp

(C)nLa(B)(A)nLp

(C)nLa(D)n〃a，或nua設(shè)a,b是兩條直線，a、p是兩個(gè)平面，則aLb的一個(gè)充分條件是()(A)aLa,b〃p,aLp (B)aLa,bLp,a〃p(C)aua,bLp,a〃p (D)aua,b〃p,aLp設(shè)直線m與平面a相交但不垂直，則下列說法中正確的是()在平面a內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直過直線m有且只有一個(gè)平面與平面a垂直與直線m垂直的直線不可能與平面a平行與直線m平行的平面不可能與平面a垂直二、填空題:,^^PC=5.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=.偵'6，平面PABL平面ABC,PALPB,ABLBC,ZBAC,^^PC=在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌鍭BCD滿足條件時(shí)，有A1CLB1D1.(只要求寫出一種條件即可)設(shè)a,p是兩個(gè)不同的平面，m,n是平面a,p之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：①m^n②aJ_p③n^P@mXa以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出正確的一個(gè)命.已知平面aJ平面p，anp=1，點(diǎn)AEa，Aw1，直線AB〃/，直線ACJl，直線m〃a，m〃p，給出下列四種位置：①AB〃m；②ACJm；③AB〃p；?AC±p，上述四種位置關(guān)系中，不一定成立的結(jié)論的序號(hào)是 .三、解答題：如圖，三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長是1的等邊三角形，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn).(I)求MN的長；(II)求證：PAJBC.10.如圖，在四面體ABCD中，CB=CD，ADJBD，且E、F分別是AB、BD的中點(diǎn).求證:(I)直線EF〃平面ACD；(II)平面EFCJ平面BCD.11.如圖，平面ABEFJ平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，/BAD=/FAB=90°，BC〃AD，BC=1AD,BE//AF,BE=1AF，g，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn).2 2(I)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；C,D,F,E四點(diǎn)是否共面?為什么？設(shè)AB=BE，證明：平面ADEL平面CDE.例2如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC的中點(diǎn).(I)求證：平面BEC1L平面ACC]A]；(II)求證：AB]〃平面BEC1.【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對(duì)空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線幫助思考.證明：(I)：ABC-A1B1C1是正三棱柱，?.?AA1L平面ABC，:.BELAA1.?「△ABC是正三角形，E是AC的中點(diǎn)，.??BELAC，.??BEL平面ACC1A1，又BEU平面BEC1，?.?平面BEC1L平面ACC1A1.(II)證明：連接B1C，設(shè)BC1HB1C=D.「BCC1B1是矩形，D是B1C的中點(diǎn)， .??DE〃AB1.又DEU平面BEC]，AB1二平面BEC『.?.AB]〃平面BEC1.例3在四棱錐P-ABCD中，平面PADL平面ABCD，AB〃DC，△PAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8,AB=2DC=4志.(I)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBDL平面PAD；(II)求四棱錐P-ABCD的體積.【分析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從M是PC上的動(dòng)點(diǎn)分析知，MB，MD隨點(diǎn)M的變動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此可考慮平面MBD內(nèi)“不動(dòng)”的直線BD是否垂直平面PAD.證明：(I)在^ABD中，由于AD=4，BD=8，AB=4氣舌，所以AD2+BD2=AB2.故ADLBD.又平面PADL平面ABCD，平面P4DH平面ABCD=AD，BDU平面ABCD，所以BDL平面PAD，又BDU平面MBD，故平面MBDL平面PAD.(II)解：過P作POLAD交AD于O,由于平面PAD1.平面ABCD,所以PO±平面ABCD.因此P0為四棱錐P-ABCD的高，又是邊長為4的等邊三角形.因此尸。=￥乂4=2占.在底面四邊形A8CD中，AB//DC,AB=2DC,4x88<5所以四邊形A8CD是梯形，在RtAADB中，斜邊A8邊上的高為一=^一，即為梯形A8CD的高,4J5 。2/5+48a''5 1 LL所以四邊形曲8的面積為s=一工=24.故七g=^24x2履=16以專題七立體幾何參考答案練習(xí)7-1一、 選擇題：1.B2.D3.C4.B二、 填空題：5.v'To-6.AC±BD(或能得出此結(jié)論的其他條件)7.②、③、④=>①；或①、③、④n②8.④三、 解答題：9.(I)解：連接郴，MC...?三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長是1的等邊三角形，MB-MC=丁,且底面△A8C也是邊長為1的等邊二角形.?：N為BC的中點(diǎn)，:.MNLBC, 很在RtAMNB中，MN=<MB2一BNz=普.(II)證明：是B4的中點(diǎn)，:.PA±MB,同理PALMC.'：MBDMC=M,:.PAL平面MBC,又8CU平面MBC,:.PALBC,10.證明：(1)：廳、/分別是A8、BD的中點(diǎn)，尸是的中位線，:.EF//AD.又E/9平面ACD,AQU平面ACD,二直線時(shí)〃平面ACQ.(Hy.'EF//AD,AD±BD,:.EF±BD.,:CB=CD,尸是 的中點(diǎn)，:.CF±BD.?：CFOEF=F,:.BD±平面CEN.

1ON?..BDu平面BCD,：.平面EFC上平面BCD.1ONA11.(I)由題意知，F(xiàn)G=GA,FH=HD,：GH〃AD,GH=2AD,又BC〃AD,BC=2AD，:.GH//BC,GH=BC,：.四邊形BCHG是平行四邊形.（II）C,D,F,E四點(diǎn)共面.理由如下：由BE〃AF,BF=2AF,G是FA的中點(diǎn)，得BE#FG,且BE=