山西省大同市綜合中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

山西省大同市綜合中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.如圖是某個幾何體的三視圖，則這個幾何體體積是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知：該幾何體由一個半圓柱與三棱柱組成的幾何體．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體由一個半圓柱與三棱柱組成的幾何體．這個幾何體體積V=+×（）2×2=2+．故選：A．2.已知雙曲線C：（）的漸近線方程為，則雙曲線C的離心率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B3.定義在R上的函數(shù)滿足，對任意，都有，非零實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列關(guān)系式中正確的是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】先構(gòu)造函數(shù)，易得為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，然后將不等式等價轉(zhuǎn)化我，得，即，得出選項(xiàng).【詳解】解：記，則因?yàn)楫?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減又因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)因?yàn)樗?，即故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，結(jié)合條件特點(diǎn)巧妙構(gòu)造函數(shù)是解題關(guān)鍵.4.已知集合，則A．

B．

C．

D．

參考答案：A5.已知雙曲線的焦點(diǎn)在圓上，則雙曲線的漸近線方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C由題意可得雙曲線的焦點(diǎn)在x軸，由焦點(diǎn)在圓上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即c=5,所以，所以，則雙曲線的漸近線方程為，選C.

6.“”是“”的（A）充分而不必要條件

（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】充分條件與必要條件【試題解析】因?yàn)橛山獾茫簒>0或x<0.所以“x>0或x<0”是“”的必要而不充分條件。7.如圖1是某高三學(xué)生14次數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖，現(xiàn)將該14個數(shù)據(jù)依次記為A1，A2，…A14，并輸入如圖2所示的一個算法流程圖，那么該算法流程圖運(yùn)行結(jié)束時輸出的n值是（）A．9 B．10 C．11 D．12參考答案：B【考點(diǎn)】EF：程序框圖；BA：莖葉圖．【分析】根據(jù)框圖的流程，Ai≥90時，n值增加1，Ai＜90時，n值不增加，可得程序的功能求數(shù)學(xué)成績大于或等于90分的個數(shù)，由莖葉圖可得答案．【解答】解：根據(jù)流程圖所示的順序，可知該程序的功能求數(shù)學(xué)成績大于或等于90分的個數(shù)，由莖葉圖得14次考試成績大于或等于90分的人數(shù)為10．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是關(guān)鍵．8.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)等于

(

)

A．－

B．1

C．

D．參考答案：B9.已知全集U=R，集合A={}，集合B={}，則如圖所示的陰影部分表示的集合是

A．{}

B．{}

C．{}

D．{}參考答案：A，，圖中陰影部分為集合,所以,所以，選A.10.已知函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù),若對任意，都有,則的值是（

）A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知口袋里裝有同樣大小、同樣質(zhì)量的個小球，其中個白球、個黑球，則從口袋中任意摸出個球恰好是白黑的概率為

.（結(jié)果精確到）參考答案：12.已知數(shù)列{an}滿足，且．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對一切的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)m能取到的最大整數(shù)是____________．參考答案：9【分析】首先由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，，再求，并判斷數(shù)列單調(diào)性，最后轉(zhuǎn)化為，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求最小值.【詳解】由已知可知，，數(shù)列是等差數(shù)列，并且首項(xiàng)，公差，，，，，，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，若對一切的，都有恒成立，，當(dāng)時，的最小值是，即，能取到的最大整數(shù)是9.故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的的遞推公式求通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和，數(shù)列與函數(shù)結(jié)合的綜合應(yīng)用問題，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和分析問題解決問題的能力，本題的關(guān)鍵步驟是需要判斷數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求最小值.13.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為__________.

參考答案：略14.中,,是的中點(diǎn),若,則___．_____.參考答案：略15.函數(shù)關(guān)于直線x=1對稱，則m=

參考答案：略16.已知正三角形ABC的邊長為2，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且=?，=?．若點(diǎn)F為線段BE的中點(diǎn)，點(diǎn)O為△ADE的重心，則?=

參考答案：0

【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．F3解析：連AO并延長交DE于G，如圖，∵O是△ADE的重心，∴DG=GE，∴，∴==，又=λ，=λ，∴=（），顯然，，又==（1﹣）﹣，==﹣（+）=﹣（+﹣）=（）=﹣+，∴=（1﹣）+，∵=﹣，=﹣=（λ﹣1），∴=[+（λ﹣2）]，又正三角形ABC的邊長為2，∴||2=||2=4，∴，∴=[（1﹣）+]?[+（λ﹣2）]={（1﹣）2+[+（1﹣）（λ﹣2）+（λ﹣2）}====0．【思路點(diǎn)撥】如圖，根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則，及重心的性質(zhì)，用、表示、，再根據(jù)正三角形ABC的邊長為2，進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可．17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時圓上一點(diǎn)P的位置在(0，0)，圓在x軸上沿正向滾動.當(dāng)圓滾動到圓心位于(2，1)時，的坐標(biāo)為＿＿＿＿.參考答案：因?yàn)閳A心移動的距離為2，所以劣弧，即圓心角,,則,所以，，所以，，所以.另解：根據(jù)題意可知滾動制圓心為（2,1）時的圓的參數(shù)方程為，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題13分）如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：∥平面；（2）求證：；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）見解析；（2）見解析；（3）.（3）存在滿足條件的.依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，，，，，所，易知為平面的法向量，設(shè)，所以平面的法向量為，所以，即，所以，取，則，又二面角的大小為，所以，解得.故在線段上是存在點(diǎn)，使二面角的大小為，且.19.某大學(xué)志愿者協(xié)會中，數(shù)學(xué)學(xué)院志愿者有8人，其中含5名男生，3名女生；外語學(xué)院志愿者有4人，其中含1名男生，3名女生．現(xiàn)采用分層抽樣的方法（層內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣）從兩個學(xué)院中共抽取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動．（1）求從數(shù)學(xué)學(xué)院抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率；（2）記ξ為抽取的3名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（1）由已知得理科組抽取2人，文科組抽取1人，從理科組抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的情況有：一男一女、兩女，由此能求出從數(shù)學(xué)學(xué)院抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率．（2）由題意可知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）兩小組的總?cè)藬?shù)之比為8：4=2：1，共抽取3人，所以理科組抽取2人，文科組抽取1人，…（2分）從理科組抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的情況有：一男一女、兩女，所以所求的概率為：P==．…（4分）（2）由題意可知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，…（5分）相應(yīng)的概率分別是P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，…（9分）所以ξ的分布列為：ξ0123P…（10分）Eξ=1×+2×+3×=．…（12分【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．20.（12分）一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號,某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):

轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類型分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.（1）求的值.

（2）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率；（3）用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測它們的得分如下:9.4,

8.6,9.2,

9.6,

8.7,

9.3,

9.0,

8.2.把這8輛轎車的得分看作一個總體,從中任取一個數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率。參考答案：(1).設(shè)該廠本月生產(chǎn)轎車為n輛,由題意得,,所以n=2000.z=2000-100-300-150-450-600=400(2)設(shè)所抽樣本中有m輛舒適型轎車,因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ贑類轎車中抽取一個容量為5的樣本,所以,解得m=2也就是抽取了2輛舒適型轎車,3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車,分別記作S1,S2;B1,B2,B3,則從中任取2輛的所有基本事件為(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),((S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3)共10個,其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有7個基本事件:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),((S1,S2),所以從中任取2輛,至少有1輛舒適型轎車的概率為.(3)樣本的平均數(shù)為,那么與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的數(shù)為9.4,

8.6,

9.2,

8.7,

9.3,

9.0這6個數(shù),總的個數(shù)為8,所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率為.21.已知函數(shù)f（x）=1﹣﹣alnx（a∈R），g（x）=2x﹣ex（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）判斷a＞1時，f（）的符號；（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出f（）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=2x﹣ex，∴x∈R，且g′（x）=2x﹣ex．∴當(dāng)x＜ln2時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞ln2時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，ln2]，單調(diào)遞減區(qū)間是[ln2，+∞）．…（2分）（Ⅱ）∵f（x）=1﹣﹣alnx，∴f（）=1﹣ea+a2（a＞1）．設(shè)h（x）=1﹣ex+x2，∴h′（x）=﹣ex+2x．由（Ⅰ）知，當(dāng)x＞1時，h′（x）＜h′（1）=2﹣e＜0，h（x）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞減，∴x＞1時，h（x）＜h（1）=﹣e＜0．∴a＞1時，f（）＜0，即f（）符號是“﹣”．…（Ⅲ）由函數(shù)f（x）=1﹣﹣alnx得，x＞0且f′（x）=．當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）沒有兩個零點(diǎn)，∴a＞0…（6分）∴f′（x）=﹣（x﹣）．∴當(dāng)0＜x＜時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．當(dāng)x＞時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．又f′（）=0，∴f（x）max=f（）=1﹣a+alna．…（7分）設(shè)s（x）=1﹣x+xlnx，∴x＞0且s′（x）=lnx，同上可得s（x）min=s（1）=0，∴當(dāng)a＞0且a≠1時，f（x）max＞0，當(dāng)a=1時，f（x）沒有兩個零點(diǎn)．…（8分）設(shè)t（x），則t′（x）=ex﹣1，∴x＞1時，t′（x）＞0，t（x）單調(diào)遞增，所以x＞1時，t（x）＞t（1），即x＞1時，ex＞x．…（9分）當(dāng)a＞1時，ex＞a，∴＜＜1．∵f（），∴f（x）在區(qū)間（，）上有一個零點(diǎn)，又f（1）=0，∴f（x）有兩個零點(diǎn)．…（10分）當(dāng)0＜a＜1時，1＜＜．∵f（）=﹣＜0，∴f（x）在區(qū)間（，）上有一個零點(diǎn)，又f（1）=0，∴f（x）有兩個零點(diǎn)．…（11分）綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）∪（1，+∞）．…（12分）【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．22.如圖所示，已知點(diǎn)A（﹣1，0）是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的焦點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線交拋物線于另一個