新教材人教A版3.3冪函數(shù)課件（27張）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3．3冪函數(shù)[課程目標(biāo)]1.理解冪函數(shù)的概念；2.會畫冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的圖象，結(jié)合這幾個冪函數(shù)的圖象，理解冪函

數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì)．

知識點一冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)_______叫做冪函數(shù)，其中x是________，α是常數(shù).【思辨】

判斷正誤(請在括號中打“√”或“×”).(1)一次函數(shù)和二次函數(shù)都是冪函數(shù)．(

)(2)f(x)＝2x3是冪函數(shù)．(

)(3)f(x)＝x－5是冪函數(shù)．(

)【解析】(1)不一定．如y＝2x－5，y＝x2＋2x分別為一次函數(shù)和二次函數(shù)，但它們都不是冪函數(shù)．(2)f(x)＝2x3中x3的系數(shù)不是1，所以f(x)＝2x3不是冪函數(shù)．y＝xα自變量××√

知識點二冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．五個冪函數(shù)的圖象2．五個冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定義域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x∈[0，＋∞)時，____；x∈(－∞，0]時，____增增x∈(0，＋∞)時，____；x∈(－∞，0)時，____公共點都經(jīng)過點____增減減減(1，1)3．一般冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)(1)所有冪函數(shù)在區(qū)間____________上都有定義，并且圖象都通過點__________．(2)當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間(0，＋∞)上____________．當(dāng)α<0時，冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上____________，圖象不通過原點，且在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點時，圖象無限接近于____軸，當(dāng)x趨向于正無窮時，圖象無限接近于____軸.(0，＋∞)(1，1)單調(diào)遞增單調(diào)遞減yx【思辨】判斷正誤(請在括號中打“√”或“×”).(1)冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限．(

)(2)當(dāng)α為奇數(shù)時，冪函數(shù)是奇函數(shù)．(

)(3)函數(shù)f(x)＝x－2在(－∞，0)上單調(diào)遞增．(

)√√√例1已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－2m－2)xm2＋m－1的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點，則m＝_______．【解析】依題意有，m2－2m－2＝1，即m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3.當(dāng)m＝3時，f(x)＝x11經(jīng)過原點，與坐標(biāo)軸有交點，不合題意，而m＝－1時符合題意．－1已知冪函數(shù)f(x)＝xm的圖象經(jīng)過點

，則f(6)＝______.例2如圖所示，C1，C2，C3為冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中的指數(shù)α依次可以取(

)

C冪函數(shù)y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則(

)A．－1<n<0<m<1B．n<－1，0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1【解析】此類題有一簡捷的解決辦法，在(0，1)內(nèi)取x0，作直線x＝x0，與各圖象有交點，根據(jù)“點低指數(shù)大”．所以0<m<1，n<－1.B[規(guī)律方法]解決冪函數(shù)的圖象問題，需把握兩個原則：(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0，1)上，

指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)；在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡記為“指大圖高”).(2)由圖象確定冪指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，需根據(jù)冪函數(shù)在

第一象限內(nèi)的圖象來判斷．【遷移探究】已知函數(shù)f(x)＝

若存在實數(shù)b，使方程f(x)－b＝0有兩個根，則a的取值范圍是______________________．【解析】存在實數(shù)b，使方程f(x)－b＝0有兩個根?存在實數(shù)b，函數(shù)y＝f(x)與y＝b的圖象有兩個交點．當(dāng)a<0時，y＝f(x)在(a，0)上單調(diào)遞減，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以存在實數(shù)b∈(0，a2)，使函數(shù)y＝f(x)與y＝b的圖象有兩個交點；當(dāng)0≤a≤1時，y＝f(x)在R上單調(diào)遞增，(－∞，0)∪(1，＋∞)所以不存在實數(shù)b，使函數(shù)y＝f(x)與y＝b的圖象有兩個交點；當(dāng)a>1時，y＝f(x)在(－∞，a)上單調(diào)遞增，(a，＋∞)上也單調(diào)遞增，所以存在實數(shù)b∈(a2，a3)，使函數(shù)y＝f(x)與y＝b的圖象有兩個交點．綜上可得，a∈(－∞，0)∪(1，＋∞).例3已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點P.討論y＝f(x)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，并畫出草圖．[規(guī)律方法]1．冪函數(shù)f(x)＝xα的單調(diào)性：如果α>0，冪函數(shù)在(0，＋∞)上

單調(diào)遞增，如果α<0，冪函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.2．利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小時要注意：比較大小的兩個

實數(shù)必須在同一函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，否則無法比較大

小．已知冪函數(shù)f(x)＝(m∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求函數(shù)f(x)的解析式，并畫出它的草圖．解：因為冪函數(shù)f(x)＝x(m∈Z)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以m2－2m－3<0，即－1<m<3.又m∈Z，所以m＝0，1，2.因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x)為偶函數(shù)，所以m2－2m－3是偶數(shù)，將m＝0，1，2分別代入m2－2m－3檢驗得，m＝1.此時f(x)＝x－4，作出函數(shù)的圖象如圖所示．m2－2m－3【遷移探究1】已知冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿足

的a的取值范圍．【遷移探究2】已知函數(shù)f(x)＝(m∈R)，試比較f(5)與f(－π)的大?。谊P(guān)于y軸對稱，所以f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，且關(guān)于直線x＝1對稱，又1－(－π)>5－1，所以f(5)<f(－π).1．在函數(shù)y＝

，y＝2x3，y＝

－1，y＝x0中，冪函數(shù)的個

數(shù)是(

)A．0