時(shí)域有限差分法

時(shí)域有限差分法第1頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引言（1）1966年,K.S.Yee（美籍香港人）首先提出了Finite-DifferenceTime-DomainMethod,并用于柱形金屬柱電磁散射分析。由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)技術(shù)還比較落后，這一方法并未引起重視。1972年,A.Taflovey應(yīng)用FDTD研究了UHF和微波對(duì)人類眼睛的穿透，以了解“微波白內(nèi)障”的成因。Taflove成功地應(yīng)用和發(fā)展了Yee的FDTD算法。80年代后期，隨著高速大容量計(jì)算機(jī)的普及，F(xiàn)DTD法得到了迅速發(fā)展。如今已應(yīng)用于涉及波動(dòng)現(xiàn)象的任何領(lǐng)域。至今，F(xiàn)DTD法的研究與應(yīng)用仍方興未艾。第2頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引言（2）

本課程采用研討班形式。教師講授FDTD的基本知識(shí)，學(xué)生針對(duì)某一方向進(jìn)行較深入的研究。本講我們考慮描述波動(dòng)現(xiàn)象的最基本偏微分方程：一維標(biāo)量波動(dòng)方程的數(shù)值FDTD解，為以后二維、三維Maxwell方程的FDTD分析奠定基礎(chǔ)課程內(nèi)容取自下列的參考書(shū)和近年來(lái)相關(guān)的一些文獻(xiàn)

[1]A.Taflove,ComputationalElectrodynamicsTheFinite-DifferenceTime-DomainMethod,ArtechHourse，1995.[2]高本慶，時(shí)域有限差分法，國(guó)防工業(yè)出版社，1995.[3]葛德彪，閆玉波，電磁場(chǎng)時(shí)域有限差分法，西電出版社，2002第3頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.1差分近似（1）一維標(biāo)量波動(dòng)方程（1-1）上式的解為（1-2）

采用Taylor展開(kāi)（1-3）第4頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.1差分近似（2）于是，有(1-4）同理，有(1-5）上式稱為二階偏導(dǎo)數(shù)的二階中心差分格式。將它們代入(1-1)，得（1-6）忽略高次項(xiàng)，便可得到求解的差分迭代公式。第5頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.1差分近似（3）NoYesn=0在所有空間點(diǎn)給uin,uin-1(i=1:imax)賦初值n=n+1由(1-6)在所有空間點(diǎn)求uin+1(i=1:imax)結(jié)束n>nmax?圖1.1一維波動(dòng)方程FDTD流程圖第6頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

1.1差分近似（4）

應(yīng)當(dāng)注意，在一般情況下(1-6)對(duì)時(shí)間或空間具有二階精度。但對(duì)于的特殊情況，根據(jù)解(1-2)，可以證明

于是

所以，（1-6）中的兩個(gè)剩余項(xiàng)抵消，得到了精確的數(shù)值差分公式

（1-7）正因?yàn)橛羞@樣的奇妙特性，為“魔時(shí)間步”(Magictimestep).第7頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.2數(shù)值色散關(guān)系(1)色散關(guān)系定義為行波的波長(zhǎng)隨頻率的變化關(guān)系。為方便起見(jiàn)，色散關(guān)系也常表示為行波的波數(shù)關(guān)于角頻率的變化關(guān)系?？紤](1.1)的正弦行波解代入(1-1)得即

(1-8)上式便是一維標(biāo)量波動(dòng)方程的色散關(guān)系。

由上式得相速度（1-9）可見(jiàn)，相速與頻率無(wú)關(guān)，稱為非色散。非色散意味著對(duì)于具有任意調(diào)制的包絡(luò)或脈沖形狀的波傳播任意距離后波形保持不變。進(jìn)一步由(1-8)可以得到群速關(guān)系

(1-10)這種情況下，群速也是與頻率無(wú)關(guān)。第8頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.2數(shù)值色散關(guān)系(2)

上述過(guò)程也可用于一維標(biāo)量波動(dòng)方程差分近似的數(shù)值色散分析。設(shè)在離散空間點(diǎn),離散行波解為，式中，為存在于有限差分網(wǎng)格中的數(shù)值正弦波的波數(shù)。一般情況下，不同于連續(xù)物理波的波數(shù)。正是這種不同導(dǎo)致了數(shù)值相速和群速偏離了精確解。進(jìn)而導(dǎo)致了數(shù)值色散誤差。將上式代入差分方程(1-6),得

(1-11)重新組合并應(yīng)用Euler恒等式，最后得到數(shù)值色散關(guān)系為

(1-12)第9頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.3數(shù)值相速（1）類似于(1-9)，定義數(shù)值相速為由（1-12）可得（1-13）可見(jiàn)數(shù)值相速與頻率有關(guān)。因此，由FDTD得到的數(shù)值波是色散的。取則數(shù)值相速為。相對(duì)誤差為-1.27%。如果物理波傳播了距離(100空間格)時(shí)，數(shù)值模擬波只傳播了98.73空間格，相位誤差為45.720。取則。這時(shí)數(shù)值相速的相對(duì)誤差為0.31，減少了4倍。同樣，當(dāng)物理波傳播了同樣的時(shí)(200空間格)，數(shù)值模擬傳播了199.378格，相位誤差為11.1960，也減少了4倍。誤差減少了4倍反映了差分算法是二階精度的。第10頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.3數(shù)值相速（2）情況1：非常細(xì)網(wǎng)格根據(jù)，數(shù)值色散關(guān)系(1-12)變?yōu)榧?，，最后得，于是有。所以，在非常?xì)的網(wǎng)格條件下，差分解逼近精確解。情況2：魔時(shí)間步

(1-12)變?yōu)?即。所以，。可見(jiàn)，魔時(shí)間步下差分解與精確解相同。第11頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.4數(shù)值群速定義數(shù)值相速為（1-14）情況1

非常細(xì)網(wǎng)格利用正弦函數(shù)的一階Taylor展開(kāi)，可得（1-15）所以，群速與相速一樣，在細(xì)網(wǎng)格條件下趨近精確解。這證明了當(dāng)空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)趨于零時(shí)，數(shù)值解變得精確。

情況2

魔時(shí)間步將魔時(shí)間步條件和波數(shù)代入(1-14)，得（1-16）再次驗(yàn)證了魔時(shí)間步下數(shù)值解等于精確解。第12頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.5數(shù)值穩(wěn)定性（1）FDTD計(jì)算中每一步都是有誤差的，隨著時(shí)間步進(jìn)，誤差會(huì)不斷積累。如果誤差的積累不會(huì)造成總誤差的增加，就成FDTD法是穩(wěn)定的，否則成為不穩(wěn)定的。數(shù)值不穩(wěn)定性會(huì)造成計(jì)算結(jié)果隨時(shí)間步進(jìn)無(wú)限增加。FDTD法是有條件穩(wěn)定的，即：時(shí)間步必須必須小于一定值以避免數(shù)值不穩(wěn)定性。本節(jié)的數(shù)值穩(wěn)定性分析方法是建立在Courant等人幾十年前提出的經(jīng)典方法基礎(chǔ)上。這種方法首先把有限差分算法分解為相互分離的時(shí)間和空間本征值問(wèn)題。第13頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.5數(shù)值穩(wěn)定性（1）時(shí)間本征值問(wèn)題

(1-17)差分近似，得(1-18)定義不變?cè)鲩L(zhǎng)因子(1-19)第14頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.5數(shù)值穩(wěn)定性（2）將(1-19)代入(1-18)，有，于是

算法穩(wěn)定性要求。如果，則總有，于是，滿足穩(wěn)定性要求。這樣可得（1-20）這就是穩(wěn)定的數(shù)值差分解所要求的時(shí)間本征值譜。第15頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.5數(shù)值穩(wěn)定性（3）空間本征值問(wèn)題

(1-21)代入中心差分公式，得

(1-22)令，Eular公式可得因?yàn)椋?1-23)上式給出了差分網(wǎng)格中任意空間Fourier模的本征值譜。第16頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.5數(shù)值穩(wěn)定性（4）穩(wěn)定性為了保證任何空間模式的數(shù)值穩(wěn)定性，(1-23)給出的空間模式的本征值范圍必須完全落在(1-20)所給出的時(shí)間本征值的穩(wěn)定范圍內(nèi)，于是即(1-24)可見(jiàn)，時(shí)間步長(zhǎng)必須是有界的。上式稱為Courant穩(wěn)定性條件。有趣的是其上界恰好是魔時(shí)間步。第17頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.6激勵(lì)源的設(shè)置在FDTD模擬電磁波傳播時(shí)需要設(shè)置初始條件和激勵(lì)源。最簡(jiǎn)單的源設(shè)置方法是“硬源”,即在激勵(lì)源的位置令u滿足ui=f(n),常用的有正弦函數(shù)ui=sin(nt+)高斯函數(shù)ui=exp[-(n-n0)2/T2]階躍函數(shù)ui=0n<n1=(n-n1)/(n2-n1)n1<n<n2=1n>n2“硬源”設(shè)置簡(jiǎn)單，但當(dāng)反射波回到“硬源”位置時(shí)，會(huì)引起寄生反射，所以，要在這之前“關(guān)”掉源。以后會(huì)有有關(guān)源設(shè)置的更詳細(xì)討論。第18頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.7吸收邊界條件由于計(jì)算機(jī)容量所限，計(jì)算域必須是有限的。對(duì)于理想電壁或磁壁的邊界條件的設(shè)置是直接的。但如果模擬的是“開(kāi)”問(wèn)題，就要設(shè)置截?cái)噙吔?。在截?cái)噙吔缟弦O(shè)置吸收邊界條件，使得電磁波可以被完全吸收，模擬波無(wú)反射的通過(guò)吸收邊界。對(duì)于一維問(wèn)題，采用單向波方程于是利用單向差分近似得到吸收邊界條件，詳細(xì)討論見(jiàn)后面章節(jié)。第19頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論1

本講介紹了一維標(biāo)量波動(dòng)方程的FDTD求解過(guò)程：利用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)方法獲取空間/時(shí)間導(dǎo)數(shù)的二階中心差分近似，從而得到具有二階精度的方程數(shù)值解的時(shí)間步進(jìn)迭代公式。一般情況下，數(shù)值解引入了寄生的數(shù)值色散。當(dāng)空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)非常小時(shí)，數(shù)值解逼近精確解。當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)滿足魔時(shí)間步條件時(shí)，數(shù)值解等于精確解。空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)必須滿足Courant穩(wěn)定性條件才能保證數(shù)值解的穩(wěn)定性。第20頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)題11.1利用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)方法分別推導(dǎo)一階導(dǎo)數(shù)的二階和四階精度中心差分近似。1.2利用數(shù)值相速和群速公式分別畫(huà)出數(shù)值相速和群速在，，和條件下關(guān)于網(wǎng)