微積分第一章第一節(jié)

微積分第一章第一節(jié)課件第1頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月課程簡介教師姓名參考書交作業(yè)時(shí)間最后成績答疑時(shí)間第2頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月教材：微積分（四川大學(xué)）本課程主要內(nèi)容有極限論，微分學(xué)，積分學(xué)和級(jí)數(shù)論等，它包括：1.數(shù)學(xué)分析：一元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)級(jí)數(shù)；2.向量代數(shù)，空間解析幾何；3.常微分方程，差分方程第3頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第一冊：函數(shù)，極限，連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，微分，不定積分，定積分及其應(yīng)用，常微分方程；差分方程第二冊：向量代數(shù)和空間解析幾何，多元函數(shù)微分學(xué)，重積分，線面積分和級(jí)數(shù)。返回第4頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月引言一、什么叫微積分?初等數(shù)學(xué)—研究對(duì)象為常量,以靜止觀點(diǎn)研究問題.微積分—研究對(duì)象為變量,運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù).有了變數(shù),運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生.恩格斯第5頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月1.分析基礎(chǔ):函數(shù),極限,連續(xù)

2.微積分學(xué):一元微積分(上冊)(下冊)3.空間解析幾何4.無窮級(jí)數(shù)5.常微分方程和差分方程主要內(nèi)容多元微積分第6頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月二、如何學(xué)習(xí)微積分?1.認(rèn)識(shí)微積分的重要性,培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.2.學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué).聰明在于學(xué)習(xí),天才在于積累.學(xué)而優(yōu)則用,學(xué)而優(yōu)則創(chuàng).由薄到厚,由厚到薄.馬克思恩格斯要辨證而又唯物地了解自然,就必須熟悉數(shù)學(xué).一門科學(xué),只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才能達(dá)到真正完善的地步.華羅庚第7頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月給出了幾何問題的統(tǒng)一笛卡兒

(1596～1650)法國哲學(xué)家,數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,他是解析幾何奠基人之一.1637年他發(fā)表的《幾何學(xué)》論文分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn),進(jìn)而提出了“另外一種包含這兩門科學(xué)的優(yōu)點(diǎn)而避免其缺點(diǎn)的方法”,從而提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法,恩格斯把它稱為數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn).把幾何問題化成代數(shù)問題,作圖法,第8頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月華羅庚(1910～1985)我國在國際上享有盛譽(yù)的數(shù)學(xué)家.他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,程,都作出了卓越的貢獻(xiàn),發(fā)表專著與學(xué)術(shù)論文近300篇.偏微分方多復(fù)變函數(shù)論,矩陣幾何學(xué),典型群,他對(duì)青年學(xué)生的成長非常關(guān)心,他提出治學(xué)之道是“寬,專,漫”,即基礎(chǔ)要寬,專業(yè)要專,要使自己的專業(yè)知識(shí)漫到其它領(lǐng)域.1984年來中國礦業(yè)大學(xué)視察時(shí)給給師生題詞:“學(xué)而優(yōu)則用,學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)”.第9頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月教師姓名：方小萍

Tel.84659240(o)

參考書：吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集分析中的反例返回Emailaddress:xpfang08@第10頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月交作業(yè)時(shí)間與地點(diǎn)：每周二上午教室作業(yè)要求全交。第11頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月最后成績：平時(shí)30%+期末70%答疑時(shí)間：待定preview+review+exercise要求：不遲到不早退，不中途退場。第12頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月幾個(gè)常用符號(hào)存在(exist)；任意(arbitary)；屬于。成立；成立推出由命題21SS第13頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對(duì)象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限第14頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月二、函數(shù)一、集合第一節(jié)函數(shù)第15頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M為數(shù)集表示M中排除0的集;表示M中排除0與負(fù)數(shù)的集.第16頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間第17頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月無限區(qū)間點(diǎn)的

鄰域其中,a稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開區(qū)間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:第18頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月是B的子集,或稱B包含A,2.集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義2

.則稱A若且則稱A與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:,,若設(shè)有集合記作記作必有第19頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3

.

給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集或第20頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月二實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值2)數(shù)軸:規(guī)定了原點(diǎn),方向,取了單位長的有向線段.3)絕對(duì)值0第21頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4)絕對(duì)值的基本性質(zhì):3)4)第22頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月初等數(shù)學(xué)：研究對(duì)象為常量，是常量的數(shù)學(xué)；高等數(shù)學(xué)：研究對(duì)象是事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和現(xiàn)象的

變化規(guī)律，是變量的數(shù)學(xué)。三函數(shù)(function)第23頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月16世紀(jì)，機(jī)械學(xué)，航海學(xué)，物理學(xué)，力學(xué)提出許多新的問題：運(yùn)動(dòng)物體的速度和它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的關(guān)系；天體沿怎樣的軌道運(yùn)行；不規(guī)則圖形的面積如何計(jì)算等等。Gallillo在“兩門新學(xué)科”中，用文字和比例的語言表達(dá)函數(shù)；Newton于1665年開始微積分工作后，用“fluent”表示變量間關(guān)系；Leibnize1673年后首次使用function表示變量間的關(guān)系；Euler于1734年引進(jìn)函數(shù)符號(hào)f(x)。第24頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)例第25頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月2.某氣象站自動(dòng)記錄器畫的當(dāng)?shù)啬骋惶斓臍鉁刈兓５?6頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義1.

假定在某個(gè)變化過程中有x和y兩個(gè)變量，x的變化域?yàn)閄。假如對(duì)X中的每一個(gè)x值，根據(jù)某種對(duì)應(yīng)規(guī)則f，變量y有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)(function)，記作：y=f(x)第27頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.

已知函數(shù)求及解:函數(shù)無定義并寫出定義域及值域.定義域值域第28頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月2.函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱說明:還可定義有上界、有下界、無界(見上冊P11)(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I上有界.使若對(duì)任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無界.稱為有上界稱為有下界當(dāng)時(shí),稱為I上的稱為I上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).第29頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)奇偶性且有若則稱f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如,偶函數(shù)雙曲余弦記第30頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記第31頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)周期性且則稱為周期函數(shù),若稱l為周期(一般指最小正周期).周期為周期為注:周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x為有理數(shù)x為無理數(shù),第32頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)設(shè)函數(shù)習(xí)慣上,的反函數(shù)記成其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):是定義在D上的一個(gè)函數(shù),其值域如果對(duì)每一個(gè),都有唯一的對(duì)應(yīng)值,滿足,則x是定義在上以y為自變量的函數(shù),記此函數(shù)為第33頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱.指數(shù)函數(shù)第34頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù),①②u稱為中間變量.注意:構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).可定義復(fù)合第35頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,可定義復(fù)合函數(shù):第36頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月1.冪函數(shù)

，它的定義域隨不同的a而異，但無論a為何值，在(0,＋∞)內(nèi)冪函數(shù)總是有定義的。其圖形過點(diǎn)(1，1)，a>0和a<0時(shí)的圖形分別如圖1.2和圖1.3。y=xy=x2y=xy=x-1y=x-2圖1.2·yx·011

01圖1.3yx··1

4.基本初等函數(shù)第37頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月2.指數(shù)函數(shù)圖1.4yx·01

，它的定義域，值域，其圖形均過（0，1）點(diǎn)。當(dāng)a>1時(shí)，ax為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)，ax為單調(diào)遞減函數(shù)，如圖1.4所示。a>1a<1

現(xiàn)在介紹一個(gè)特殊的無理數(shù)。在科學(xué)技術(shù)中時(shí)常會(huì)用到以e為底的指數(shù)函數(shù)。第38頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.對(duì)數(shù)函數(shù)y圖1.5·x01

，對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。其定義域其圖形均過(1,0)點(diǎn)，當(dāng)a>1時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)。當(dāng)0<a<1時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)。如圖1.5。函數(shù)的反函數(shù)為簡記為稱為自然對(duì)數(shù)。4.三角函數(shù)第39頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月正弦函數(shù)的定義域，它是以2π為周期的周期函數(shù)，且，其圖形在直線之間。

是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，如圖1.6。y圖1.6xo·····余弦函數(shù)的定義域?yàn)椋乙惨詾?π周期，因?yàn)椋?，其圖形也在直線之間。是偶函數(shù)，且在[0，π]上單調(diào)遞減。如圖1.6。第40頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

正切函數(shù)的定義域它是以π為周期的周期函數(shù)。因?yàn)?，故為奇函?shù)。如圖1.7。余切函數(shù)的定義域也為周期函數(shù)，周期為π，且為奇函數(shù)。如圖1.8。·····圖1.7yxo圖1.8yxo····第41頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

5.反三角函數(shù)(主值)y=arccosx是余弦函數(shù)y=cosx在[0,π]上的反函數(shù),叫做反余弦函數(shù),其定義域是[-1,1],值域是[0,π]，并在定義域上單調(diào)遞減,如圖1.10。

y=arcsinx是正弦函數(shù)y=sinx在[]上的反函數(shù)，叫做反正弦函數(shù)。其定義域是[-1,1]，值域是[]，并在定義域上單調(diào)遞增，如圖1.9。圖1.9y·xo··圖1.10yxo···第42頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

y=arccotx是余切函數(shù)y=cotx在區(qū)間(0,π)內(nèi)的反函數(shù),叫做反余切函數(shù),其定義域?yàn)?-∞,+∞),值域是(0,π),并在定義域上單調(diào)遞減的。

y=arctanx是正切函數(shù)y=tanx在區(qū)間()內(nèi)的反函數(shù),叫做反正切函數(shù),其定義域?yàn)?－∞,+∞),值域是(),并在定義域上單調(diào)遞增。第43頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月1）冪函數(shù)2）指數(shù)函數(shù)3）對(duì)數(shù)函數(shù)4）三角函數(shù)5）反三角函數(shù)基本初等函數(shù)y=第44頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù).例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).又如,雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).第45頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0取整函數(shù)當(dāng)?shù)?6頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月*例5.求的反函數(shù)及其定義域.解:當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則反函數(shù)定義域?yàn)榈?7頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)1.集合概念定義域?qū)?yīng)規(guī)律3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)2.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素第48頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月且備用題證明證:令則由消去得時(shí)其中a,b,c為常數(shù),且為奇函數(shù).為奇函數(shù).1.

設(shè)第49頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

設(shè)函數(shù)的圖形與均對(duì)稱,求證是周期函數(shù).證:由的對(duì)稱性知于是故是周期函數(shù),周期為第50頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月5經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)1)需求函數(shù)若把該商品的價(jià)格p看作自變量,需求量D看作因變量則有需求函數(shù),記做需求函數(shù)的圖形稱為需求曲線,需求一般是價(jià)格的遞減函數(shù).注:例外:古畫,文物的需求最常用的需求函數(shù):線性函數(shù)

D=f(p)第51頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

其中a,b為正的常數(shù),a為價(jià)格為零時(shí)的最大需求量,為最大銷售價(jià)格(這時(shí)需求量為零).2)供給函數(shù)在其他因素不變的條件下,供應(yīng)商品的價(jià)格p看作自變量而把相應(yīng)的供給量Q作為因變量,則有供給函數(shù)供給函數(shù)的圖形稱為供給曲線,它與需求相反一般是增的.最簡單的供給函數(shù)為:Q=-c+dp第52頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月其中c,d為正的常數(shù).使一種商品的需求量與供給量相等的價(jià)格稱為均衡價(jià)格.,例:已知雞蛋收購價(jià)每公斤3元,每月收購5000公斤.若收購價(jià)每公斤提高0.1元,則收購量可增加500公斤.求雞蛋的線性供給函數(shù).解:設(shè)雞蛋供給學(xué)院的函數(shù)為Q=-c+dp其中Q為收購量,