圓與圓的位置關(guān)系

1.理解圓與圓的位置關(guān)系的種類.2.掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的代數(shù)判定方法與幾何判定方法，能夠利用

上述方法判定兩圓的位置關(guān)系.3.體會(huì)根據(jù)圓的對(duì)稱性靈活處理問(wèn)題的方法和它的優(yōu)越性.學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)兩圓位置關(guān)系則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個(gè)數(shù)2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)210兩圓的位置關(guān)系相交內(nèi)切或外切外離或內(nèi)含(2)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示

d與r1，r2的關(guān)系_____________________________________________________d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切.(

)2.如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.(

)3.從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(

)4.若兩圓有公共點(diǎn)，則|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(

)×××√2題型探究PARTTWO一、兩圓的位置關(guān)系例1

(1)圓(x＋2)2＋(y－2)2＝1與圓(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置關(guān)系為______.外切解析兩圓的圓心分別為O1(－2,2)，O2(2,5)，半徑分別為r1＝1，r2＝4，所以兩圓相外切.(2)當(dāng)a為何值時(shí)，兩圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：①外切；解將兩圓方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，則C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴兩圓的圓心和半徑分別為C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.設(shè)兩圓的圓心距為d，則d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.當(dāng)d＝5，即2a2＋6a＋5＝25時(shí)，兩圓外切，此時(shí)a＝－5或a＝2；②相交；解當(dāng)1<d<5，即1<2a2＋6a＋5<25時(shí)，兩圓相交，此時(shí)－5<a<－2或－1<a<2；③外離.解當(dāng)d>5，即2a2＋6a＋5>25時(shí)，兩圓相離，此時(shí)a>2或a<－5.反思感悟(1)判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個(gè)步驟：①將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，寫出圓心和半徑.②計(jì)算兩圓圓心的距離d.③通過(guò)d，r1＋r2，|r1－r2|的關(guān)系來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時(shí)可數(shù)形結(jié)合.(2)應(yīng)用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍是非常簡(jiǎn)單清晰的，但要理清圓心距與兩圓半徑的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知圓C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圓C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，則這兩個(gè)圓的公切線的條數(shù)為A.1或3 B.4C.0 D.2√故兩個(gè)圓相交，則這兩個(gè)圓的公切線有2條.(2)圓C1：x2＋y2＝16與圓C2：(x－a)2＋y2＝1相切，則a的值為_________.±3或±5解析由題意得，C1(0,0)，C2(a,0)，半徑r1＝4，r2＝1.當(dāng)兩圓外切時(shí)，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.綜上，a的值為±5或±3.二、兩圓的公共弦問(wèn)題例2

已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)判斷兩圓的位置關(guān)系；解將兩圓方程配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴兩圓相交.(2)求公共弦所在的直線方程；解將兩圓方程相減，得公共弦所在的直線方程為x－2y＋4＝0.(3)求公共弦的長(zhǎng)度.反思感悟(1)當(dāng)兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線方程的求法若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長(zhǎng)的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知兩圓(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_____________.(－2，－1)解析將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入兩圓方程得r2＝5，R2＝17，∴兩圓方程相減得PQ方程為x－y＋1＝0，故點(diǎn)Q坐標(biāo)為(－2，－1).(2)若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長(zhǎng)為

，則a＝____.1解析兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為2ay－2＝0，即a＝1(舍負(fù)).核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN圓系方程的應(yīng)用典例求圓心在直線x－y－4＝0上，且過(guò)兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)的圓的方程.解方法一設(shè)經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，所以所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－6＝0.得兩圓公共弦所在直線的方程為y＝x.所以兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－1，－1)，B(3,3)，線段AB的垂直平分線所在的直線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，即所求圓的圓心坐標(biāo)為(3，－1)，所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝16.素養(yǎng)提升(1)當(dāng)經(jīng)過(guò)兩圓的交點(diǎn)時(shí)，圓的方程可設(shè)為(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，λ≠－1，然后用待定系數(shù)法求出λ即可.(2)理解運(yùn)算對(duì)象，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).3隨堂演練PARTTHREE1.兩圓x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置關(guān)系是A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.外離√12345123452.圓x2＋y2－4x＋6y＝0和圓x2＋y2－6x＝0交于A，B兩點(diǎn)，則AB的垂直平分線的方程是A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0√解析AB的垂直平分線過(guò)兩圓的圓心，把圓心坐標(biāo)(2，－3)代入，即可排除A，B，D.3.已知圓x2＋y2＝1與圓(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相外切，則r等于A.1 B.2C.3 D.412345√解析依題意得，r＋1＝3，∴r＝2.4.兩圓x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的長(zhǎng)為12345√解析兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為4x＋3y－10＝0，圓x2＋y2－10x－10y＝0可化為(x－5)2＋(y－5)2＝50，5.圓C的圓心在直線x＋y＝0上，且過(guò)圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交點(diǎn)，則圓C的方程為_____________________.12345x2＋y2＋6x－6y＋8＝0解析設(shè)圓C方程為x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)，整理得(λ＋1)x2＋(λ＋1)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0，故所求圓C方程為x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.解得λ＝－2.1.知識(shí)清單：(1)兩圓位置關(guān)系的判定及應(yīng)用.(2)兩圓的公共弦方程及公共弦長(zhǎng).(3)圓系方程的應(yīng)用.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、分類討論.3.常見(jiàn)誤區(qū)：忽略兩圓相切包含外切與內(nèi)切兩種情況.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.圓(x－3)2＋(y＋2)2＝1與圓x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置關(guān)系是A.外切B.內(nèi)切C.相交D.外離√解析圓x2＋y2－14x－2y＋14＝0變形為(x－7)2＋(y－1)2＝36，圓心坐標(biāo)為(7,1)，半徑為r1＝6，圓(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圓心坐標(biāo)為(3，－2)，半徑為r2＝1，123456789101112131415162.圓x2＋y2＝1與圓x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為A.(1,0)和(0,1) B.(1,0)和(0，－1)C.(－1,0)和(0，－1) D.(－1,0)和(0,1)√所以兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)和(0，－1).3.圓x2＋y2＝4與圓(x－4)2＋(y－7)2＝1公切線的條數(shù)為A.1B.2C.3D.4√12345678910111213141516解析圓x2＋y2＝4的圓心O1(0,0)，半徑r1＝2，圓(x－4)2＋(y－7)2＝1的圓心O2(4,7)，半徑r2＝1，所以這兩圓的位置關(guān)系是外離，有4條公切線.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析由題意將圓C1和圓C2的方程相減，可得圓C1和圓C2公共弦所在的直線l的方程為x＋y－1＝0.又圓C3的圓心坐標(biāo)為(1,1)，5.(多選)設(shè)r>0，圓(x－1)2＋(y＋3)2＝r2與圓x2＋y2＝16的位置關(guān)系不可能是A.內(nèi)切 B.相交C.外離 D.外切√√12345678910111213141516兩圓的半徑之和為r＋4，所以兩圓不可能外切或外離.6.(多選)已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是A.(x－4)2＋(y＋3)2＝16 B.(x－4)2＋(y＋3)2＝25C.(x－4)2＋(y＋3)2＝36 D.(x－4)2＋(y＋3)2＝9√√12345678910111213141516解析設(shè)圓C的半徑為r，當(dāng)圓C與圓O外切時(shí)，r＋1＝5，r＝4，當(dāng)圓C與圓O內(nèi)切時(shí)，r－1＝5，r＝6，∴圓C的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.7.圓C1：x2＋y2－2x－8＝0與圓C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦所在直線方程為_____________；公共弦長(zhǎng)為______.12345678910111213141516x－y＋1＝0解析由圓C1與圓C2的公共弦所在的直線l的方程為x－y＋1＝0，圓C1的半徑為r1＝3，8.經(jīng)過(guò)直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝2的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的方程為_______________________.12345678910111213141516x2＋y2解析由已知可設(shè)所求圓的方程為x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，解圓C的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圓心為C(1,0)，半徑為1.1234567891011121314151610.已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值時(shí)兩圓外切？解兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，且61－m>0，即m<61.12345678910111213141516(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？(3)求m＝45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng).解兩圓的公共弦所在直線方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，12345678910111213141516綜合運(yùn)用11.若圓x2＋y2＝r2與圓x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共點(diǎn)，則半徑r滿足的條件是√解析由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，1234567891011121314151612.如果圓C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為

，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－3，－1)∪(1,3) B.(－3，－3)C.[－1,1] D.(－3，－1]∪[1,3)√12345678910111213141516解析依題意，圓C：(x－a)2＋(y－a)2＝8與圓M：x2＋y2＝2有兩個(gè)交點(diǎn)，即兩圓相交.即1<|a|<3.故－3<a<－1或1<a<3.1234567891011121314151613.點(diǎn)P在圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點(diǎn)Q在圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是√解析圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圓心為C1(4,2)；圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圓心為C2(－2，－1)，兩圓外離，|PQ|的最小值為|C1C2|－(r1＋r2)＝

－5.14.若圓O：x2＋y2＝5與圓O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)為_____.4解析如圖所示，由于⊙O與⊙O1在點(diǎn)A處的切線互相垂直，因此OA⊥O1A，又OO1垂直平分AB，設(shè)線段AB與x軸的交點(diǎn)