2022年湖南省常德市市武陵區(qū)丹洲鄉(xiāng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2022年湖南省常德市市武陵區(qū)丹洲鄉(xiāng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.(1,1) B.(－1,－1) C.(1,－1) D.(－1,1)參考答案：D試題分析：，∴復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選D．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．2.為了考察兩個(gè)變量和之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做100次和150次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為和，已知兩人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對變量的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是，對變量的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是，那么下列說法正確的是（

）A．和有交點(diǎn)

B．與相交，但交點(diǎn)不一定是C．與必定平行

D．與必定重合參考答案：A3.圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是(

)

A．

B.

C．

D.參考答案：B4.若，則等于A.2

B.0

C.-4

D.-2 參考答案：C5.下列各圖是正方體或三棱錐，分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的圖象共有

（填寫序號(hào)）

①

②

③

④參考答案：④略6.有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是（

）參考答案：A7.設(shè)f（x）＝|lnx|，若函數(shù)g（x）＝f（x）-ax在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A.（0，） B.（，e） C.（，） D.（0，）參考答案：C【分析】函數(shù)g（x）＝f（x）-ax在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于|lnx|-ax＝0在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)不同的解，分離參數(shù)后等價(jià)于函數(shù)圖像有三個(gè)交點(diǎn)，通過的圖像較容易求處實(shí)數(shù)a的取值范圍?！驹斀狻俊遟（x）＝f（x）-ax在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)零點(diǎn)，∴|lnx|-ax＝0在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)不同的解，令；則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，的值域?yàn)椋?，+∞）；當(dāng)1≤x＜4時(shí)，在[1，e]上是增函數(shù)，，在[e，4）上是減函數(shù)，；故當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的解.故選：C.【點(diǎn)睛】幾個(gè)零點(diǎn)表示函數(shù)與軸有幾個(gè)交點(diǎn)或者表示方程有幾個(gè)根。然后再分離參數(shù)比較參數(shù)和分離出的函數(shù)值域關(guān)系進(jìn)行解題即可，分離參數(shù)和分類討論是我們求解導(dǎo)數(shù)題目常用兩種方法，注意辨析。8.已知A、B、C、D、E、F分別代表完成某項(xiàng)工作的六道工序，其用時(shí)間分別為5分鐘、10分鐘、15分鐘、20分鐘、30分鐘、5分鐘，則設(shè)計(jì)的下列工序流程圖中用時(shí)最少的是參考答案：A9.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f′（x）＞f（x）恒成立，若x1＜x2，則f（x2）與f（x1）的大小關(guān)系為（）A．f（x2）＞ex2f（x1）B．f（x2）＜f（x1）C．f（x2）=f（x1）D．f（x2）與f（x1）的大小關(guān)系不確定參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=，可得g′（x）=＞0，于是函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而得出．【解答】解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=，則g′（x）=＞0，因此函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，∵x1＜x2，∴g（x1）＜g（x2），即＜，因此：f（x2）＞f（x1）．故選：A．10.古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10、15、…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16、25、…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．從如圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28參考答案：D【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】題目中“三角形數(shù)”的規(guī)律為1、3、6、10、15、21…“正方形數(shù)”的規(guī)律為1、4、9、16、25…，根據(jù)題目已知條件：從圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和．可得出最后結(jié)果．【解答】解：這些三角形數(shù)的規(guī)律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形數(shù)是這串?dāng)?shù)中相鄰兩數(shù)之和，很容易看到：恰有21+28=49．故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若中，，那么=

參考答案：略12.已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)和為290，偶數(shù)項(xiàng)和為261，則參考答案：29略13.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則這個(gè)圓錐的高是．參考答案：

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．【分析】由圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓知，圓錐的軸截面為邊長為2的正三角形．【解答】解：∵圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓，∴圓錐的軸截面為邊長為2的正三角形，則圓錐的高h(yuǎn)=2×sin60°=．【點(diǎn)評】考查了學(xué)生的空間想象力．14.已知下列命題：①意味著每增加一個(gè)單位,平均增加8個(gè)單位②投擲一顆骰子實(shí)驗(yàn)，有擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)和擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)兩個(gè)基本事件③互斥事件不一定是對立事件，但對立事件一定是互斥事件④在適宜的條件下種下一顆種子，觀察它是否發(fā)芽，這個(gè)實(shí)驗(yàn)為古典概型其中正確的命題有__________________.參考答案：①②15.若，則=

參考答案：略16.設(shè)向量，，且，則的值為

．參考答案：168∵，∴設(shè)，又∵，，，即，解得，∴.故.

17.已知的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線左支交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2為正三角形，則雙曲線的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】利用直角三角形中含30°角所對的邊的性質(zhì)及其雙曲線的定義、勾股定理即可得到a，c的關(guān)系．【解答】解：由△ABF2是正三角形，則在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1=30°，∴AF2=2AF1，又|AF2|﹣|AF1|=2a．∴AF2=4a，AF1=2a，又F1F2=2c，又在Rt△AF1F2中，|AF1|2+|F1F2|2=|AF2|2，得到4a2+4c2=16a2，∴=3．∴e==，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為2ρsinθ+ρcosθ=10，以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，極軸所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），．（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和曲線C1的普通方程；（Ⅱ）若點(diǎn)M在曲線C1上運(yùn)動(dòng)，試求出M到曲線C的距離的最小值及該點(diǎn)坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ及已知可得曲線C的直角坐標(biāo)方程，把變形，利用平方關(guān)系消參可得曲線C1的普通方程；（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式及三角函數(shù)的輔助角公式化積得答案．【解答】解：（1）由2ρsinθ+ρcosθ=10，得x+2y﹣10=0，∴曲線C的普通方程是：x+2y﹣10=0．由，得，代入cos2α+sin2α=1，得，∴曲線C1的普通方程為；（2）曲線C的普通方程是：x+2y﹣10=0，設(shè)點(diǎn)M（3cosα，2sinα），由點(diǎn)到直線的距離公式得：，其中，∴α﹣φ=0時(shí)，，此時(shí)．19.（本題滿分16分）

已知.

(1)求函數(shù)的定義域；

(2)試判別函數(shù)的奇偶性，并說明理由；參考答案：(1)函數(shù)的定義域?yàn)椤?分

(2)奇函數(shù)………16分20.已知關(guān)于x的不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0．（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)a∈R，a≠0且a≠1時(shí)，求不等式的解集．參考答案：【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．【分析】（1）a=2時(shí)解對應(yīng)的一元二次不等式即可；（2）a∈R且a≠0且a≠1時(shí)，討論a2與a的大小，解不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0即可．【解答】解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式化為（x﹣2）（x﹣4）＜0，解得2＜x＜4，所以該不等式的解集為{x|2＜x＜4}；（2）當(dāng)a∈R，a≠0且a≠1時(shí)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a2＜a，解不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0，得：a2＜x＜a；當(dāng)a＜0或a＞1時(shí)，a＜a2，解不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0，得：a＜x＜a2；綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|a2＜x＜a}；當(dāng)a＜0或a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|a＜x＜a2}．21.（16分）某工廠打算建造如圖所示的圓柱形容器（不計(jì)厚度，長度單位：米），按照設(shè)計(jì)要求，該容器的底面半徑為r，高為h，體積為16π立方米，且h≥2r．已知圓柱的側(cè)面部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，圓柱的上、下底面部分每平方米建造費(fèi)用為a千元，假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，該容器的建造總費(fèi)用為y千元．（1）求y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求出函數(shù)的定義域；（2）問r為多少時(shí)，該容器建造總費(fèi)用最小？參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)容器的容積為V，利用體積公式化簡求解即可．（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可．【解答】解：（1）設(shè)容器的容積為V，由題意知V=πr2h=16π，故，…..（2分）因?yàn)閔≥2r，所以0＜r≤2，…．故建造費(fèi)用，即．…．（6分）（2）由（1）得，令y'=0得，…..（8分）①當(dāng)即a＞3時(shí)，若，則y'＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；若，則y'＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；所以時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是最小值．…（12分）②當(dāng)即0＜a≤3時(shí)，因?yàn)閞∈（0，2]，則y'＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；則r=2時(shí)，函數(shù)取得最小值．…（14分）綜上所述：若a＞3，當(dāng)時(shí)，建造總費(fèi)用最少；若0＜a≤3，當(dāng)r=2時(shí)，建造總費(fèi)用最少．…..（16分）【點(diǎn)評】本題考查實(shí)際問題的應(yīng)用，函數(shù)的解析式的求法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．22.如圖，在直三棱柱中，，,分別是,的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面；（2）求證：平面平面．參考答案：（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析試題分析：（Ⅰ）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結(jié)合平幾知識(shí)，如三角形中位線性質(zhì)，及利用柱體性質(zhì)，如上下底面對應(yīng)邊相互平行（Ⅱ）證明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即從線面垂直出發(fā)給予證明，而線面垂直的證明，往往需要利用線面垂直判定與性質(zhì)定理進(jìn)行多次轉(zhuǎn)化：由直棱柱性質(zhì)得側(cè)棱垂直于底面：底面，再轉(zhuǎn)化為線線垂直；又根據(jù)線線平行，將線線垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)線面垂直判定定理得平面試題解析：證明：（1）因?yàn)?分別是,的中點(diǎn)，所以，...........2分又因?yàn)樵谌庵?，，所?...............4分又平面，平面，所以∥平面................6分（2）在直三棱柱中，底面，又底