師說數學必修第一冊教版課件

5．5

三角函數模型的簡單應用成套的課件成套的教案成套的試題盡在高中數學同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系QQ309000116加入百度網盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉存，自動更新，一勞永逸新知初探課前預習題型探究課堂解透新知初探課前預習最新課程標準會用三角函數解決簡單的實際問題．體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型．學科核心素養(yǎng)會用三角函數模型解決一些簡單的實際問題．(數學建模、數學運算)了解y＝A

sin(ωx＋φ)的圖象的物理意義，能指出簡諧運動中的振

幅、周期、相位、初相．(直觀想象)

3．利用收集的數據，進行函數擬合，從而得到函數模型．(數學建模、邏輯推理)要點一 三角函數模型應用的步驟三角函數模型應用即建模問題，根據題意建立三角函數模型，再求出相應的三角函數在某點處的函數值，進而使實際問題得到解決．步驟可記為：審讀題意→建立三角函數式→根據題意求出某點的三角函數值→解決實際問題．這里的關鍵是

建立數學模型

，一般先根據題意設出代表函數，再利用數據求出待定系數，然后寫出具體的三角函數解析式．要點二 三角函數模型的擬合應用我們可以利用搜集到的數據，做出相應的“散點圖”，通過觀察散點圖并進行數據擬合，從而獲得具體的函數模型，最后利用這個函數模型來解決相應的實際問題．狀元隨筆 解答三角函數應用題應注意四點三角函數應用題的語言形式多為“文字語言、圖形語言、符號語言”并用，閱讀理解中要讀懂題目所要反映的實際問題的背景，領悟其中的數學本質，列出等量或不等量的關系．在建立變量關系這一關鍵步驟上，要充分運用數形結合的思想、圖形語言和符號語言并用的思維方式來打開思想解決問題．實際問題的背景往往比較復雜，而且需要綜合應用多門學科的知識才能完成，因此，在應用數學知識解決實際問題時，應當注意從復雜的背景中抽取基本的數學關系，還要調動相關學科知識來幫助解決問題．實際問題通常涉及復雜的數據，因此往往需要用到計算機或計算器．“散點圖”來獲得相應的函數模型．(基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)三角函數模型是描述周期變化現象的重要函數模型．(

√

)在研究具體問題時，我們常常利用搜集到的數據，作出相應的√

)(3)函數y＝|cos

x|的圖象是以2π為周期的波浪形曲線．(

×

)2．商場人流量被定義為每分鐘通過入口的人數，五一某商場的人流?量滿足函數F(t)＝50＋4sin

?

(t≥0)，則在下列哪個時間段內人流量是增加的(

)A．[0，5]C．[10，15]B．[5，10]D．[15，20]答案：C?

?

?解析：由2kπ－?

≤?≤2kπ＋?，k∈Z，知函數F(t)的增區(qū)間為[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.當k＝1時，t∈[3π，5π]，而[10，15]?[3π，5π].故選C.3．在兩個彈簧上各掛一個質量分別為M1和M2的小球，它們做上下自由振動，已知它們在時間t(s)時離開平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分別由下列兩式確定：1

2?

?s

＝5sin

2t?

?

，s＝5cos

2t

?

?

.?1

2則在時間t＝??時，s

與s

的大小關系是(

)B．s1＜s2D．不能確定A．s1＞s2C．s1＝s2答案：C?1

2

1

2解析：當t＝??時，s

＝－5，s

＝－5，所以s

＝s

.故選C.?4．簡諧振動y＝?sin?4x

?

??，4x＋?的頻率和相位分別是

?

?

．?解析：簡諧振動y＝?sin4x?

?

的周期是T＝??＝?，相位是4x＋?，頻率f＝?＝?

?

?

?

???.題型探究課堂解透題型1

三角函數模型在物理中的應用例1

已知表示電流強度I與時間t的函數關系式I＝A

sin

(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)．(1)若電流強度I與時間t的函數關系圖象如圖所示，試根據圖象寫出I＝A

sin(ωt＋φ)的解析式；(2)為了使I＝A

sin

(ωt＋φ)

A＞0，ω＞0，

φ

＜

?

中t在任意一段

??

???秒的時間內電流強度I能同時取得最大值A與最小值－A，那么正整數ω的最小值是多少？解析：(1)由題意知，A＝300.T＝

?

?

???

?????

＝??，∴ω＝

?

＝100π.??∵

??????

???，0 是該函數圖象的第一個零點，∴－?＝－

?

.???

?

?∴φ＝

?

＝?，符合|φ|<?，?∴I＝300sin

100πt

+

?

(t≥0)．(2)問題等價于T≤

?

，即??

≤???

?

????

，∴ω≥200π.∴正整數ω的最小值為629.?跟蹤訓練1

已知簡諧運動的函數關系式為f(x)＝2sin

??

x

+

φ??|φ|＜??，其圖象經過點(0，1)，則該簡諧運動的最小正周期T和φ分別是多?少？解析：∵該簡諧運動的函數關系式為f(x)＝2sin

??

x

+

φ?〗?|φ|

?

??，∴最小正?

???周期T＝??＝8.?又函數的圖象過點(0，1)，∴將點(0，1)代入函數解析式，得2sin

φ＝1，即sin

φ＝?.?

?又|φ|<?，∴φ＝?.題型2

三角函數模型在生活中的應用例2

如圖，游樂場中的摩天輪勻速轉動，每轉動一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑為40米，如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請回答下列問題：(1)求出你與地面的距離y(米)與時間t(分鐘)的函數解析式．

(2)當你第4次距離地面60.5米時，用了多長時間？解析：(1)由已知可設y＝40.5－40cos

ωt，t≥0，由周期為12分鐘可知，當t＝6時，摩天輪第1次到達最高點，即此函數第1次取得最大值，?∴6ω＝π，即ω＝?.?∴所求的函數關系式為y＝40.5－40cos

?t(t≥0)．(2)設轉第1圈時，第t0分鐘時距地面60.5米，?

0

?

0?由60.5＝40.5－40cos

?t

，得cos

?t

＝－?，?

0

?

0?

?00∴?t

＝??或?t

＝??，解得t

＝4或t

＝8，∴t＝8時，第2次距地面60.5米，故第4次距離地面60.5米時，用了12＋8＝20(分鐘)．方法歸納解三角函數應用問題的基本步驟已知函數模型，利用題目中提供的數據和有關性質解決問題，其關鍵是求出函數解析式中的參數，將實際問題轉化為三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使問題得以解決．未知函數模型，把實際問題抽象轉化成數學問題，建立三角函數模型，再利用三角函數的有關知識解決問題，其關鍵是建模．跟蹤訓練2

如圖某地夏天從8～14時用電量變化曲線近似滿足函數y＝A

sin

(ωx＋φ)＋b(ω＞0)．(1)求這一天的最大用電量及最小用電量；

(2)寫出這段曲線的函數解析式．解析：(1)最大用電量為50萬度，最小用電量為30萬度．(2)觀察圖象可知，從8～14時的圖象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半個周期的圖象．∴A＝?×(50－30)＝10，b＝?(50＋30)＝40.?

??

?∵?

×

??＝14－8，∴ω＝?.?∴y＝10sin??

x

+

φ

＋40，?將x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝?.∴所求函數解析式為y＝10sin ?

x+

?

＋40，x∈[8，14].?

?題型3

利用已知數據建立擬合函數模型例3

某港口水深y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數，記作y＝f(t)，下面是某日水深的數據．經長期觀察，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數y＝A

sin

ωt＋b的圖象．試根據以上數據，求出函數y＝f(t)的近似解析式．一般情況下，船舶航行時，船底高出海底的距離為5米或5米以上時認為是安全的(船舶?？繒r，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底離水面的距離)為6.5米，如果該船希望在同一天內安全進出港，那么它至多能在港內停留多長時間(忽略進出港所需的時間)?t/小時03691215182124y/米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0解析：(1)由已知數據，描出曲線如圖：由表格畫出曲線圖，由圖可求A，b，由周期T可求ω，即求y＝A

sin

ωt＋b.易知函數y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，?

?

?∴ω＝??＝?，∴y＝3sin

?t＋10.(0≤t≤24)(2)由題意，該船進出港時，水深應不小于5＋6.5＝11.5米，?

?

?由y≥11.5，得3sin

?t＋10≥11.5，∴sin

?t≥?.①?∵0≤t≤24，∴0≤?t≤4π.②?

?

?

?

?

?由①②得?

≤?t≤??或???

≤?t≤???.化簡得1≤t≤5或13≤t≤17.∴該船最早能在凌晨1時進港，下午17時出港，在港內最多可停留16小時．方法歸納在處理曲線擬合和預測的問題時，通常需以下幾個步驟根據原始數據，繪出散點圖；通過散點圖，做出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線；根據所學函數知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式；

(4)利用函數關系式，根據條件對所給問題進行預測和控制，以便為決策和管理提供依據．跟蹤訓練3

已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(時)的函數，其中0≤t≤24，記y＝f(t)，下表是某日各時的浪高數據：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經長期觀測，y＝f(x)的圖象可近似地看成是函數y＝A

cos

ωt＋b的圖象．根據以上數據，求其最小正周期、振幅及函數解析式；根據規(guī)定，當海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(1)的結論，判斷一天內的8：00到20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？?解析：(1)由表中數據可知，T＝12，所以ω＝?.又t＝0時，y＝1.5，?所以A＋b＝1.5；t＝3時，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅A為?，函數解?

?析式為y＝?cos

?t＋1(0≤t≤24)．(2)因為y>1時，才對沖浪愛好者開放，?

?

?

?

?

?所以y＝?cos

?t＋1>1，cos

?t>0，2kπ－?<?t<2kπ＋?(k∈Z)，即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，所以在規(guī)定時間內只有6個小時可供沖浪愛好者進行活動，即9<t<15.課堂十分鐘1．(多選)如圖所示的是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是(

)A．該質點的運動周期為0.7

sB．該質點的振幅為5C．該質點在0.1s和0.5

s時運動速度為零

D．該質點的運動周期為0.8

s

E．該質點在0.3

s和0.7

s時運動速度為零答案：BCD解析：由題圖可知，振動周期為2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故A錯，D正確；該質點的振幅為5，B正確；由簡諧運動的特點知，質點處于平衡位置時的速度最大，即在0.3 s和0.7 s時運動速度最大，在0.1 s和0.5 s時運動速度為零，故C正確，E錯．綜上，BCD正確．故選BCD.2．如圖為一半徑為3的水輪，水輪的圓心O距離水面2米，已知水輪每分鐘旋轉4圈，水輪上的點P到水面的距離y(米)與時間x(秒)滿足關系式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋2，則有()A．ω＝??，A＝3

B．ω＝??，A＝3??

??C．ω＝??，A＝5

D．ω＝??，A＝5??

??答案：B解析：易知水輪的角速度ω＝??×?＝

?

π，??

????∴y＝3sin

(ωx＋φ)＋2＝3sin

??

x

+

φ

＋2，??則A＝3，ω＝??.故選B.3．已知某帆船中心比賽場館區(qū)的海面上海浪高度：y(米)可看作時間t(0≤t≤24，單位：時)的函數，記作y＝f(t)，經長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數y＝Acosωt＋B的圖象，下表是某日各時的浪高數據：t/時03691215182124y/米21.511.521.50.991.52則最能近似地表示表中數據間對應關系的函數是(

)A．y＝?cos

?t＋1

B．y＝?cos

?t＋?

?

?

?

?

?C．y＝2cos

?t＋?

D．y＝?cos

6πt＋??

?

?

?答案：B解析：由題中表格知T＝12，所以ω＝?，A＝?????????＝?，B＝?????????＝?.故選B.?

?

?

?

?4．設某人的血壓滿足函數式p(t)＝115＋25sin

(160πt)，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，則此人每分鐘心跳的次數是

80

．解析：T＝

??

＝

?

(分)，f＝?＝80(次/分)．????

??

?5．已知某地一天從4點到16點的溫度變化曲線近似滿足函數y＝? ?10sin

?x???

＋20，x∈[4，16].求該地區(qū)這一段時間內的最大溫差；若有一種細菌在15

℃到25

℃之間可以生存，那么在這段時間內，該細菌能生存多長時間？? ?

?

?解析：(1)x∈[4，16]，則?x－??∈???

，??

.? ?

?由函數解析式易知，當?x－??＝?，即x＝14時，函數取得最大值，最大值為30，即最高溫度為30℃；? ?

?當?x－??＝－?，即x＝6時，函數取得最小值，最小值為10，即最低溫度為10

℃，所以最大溫差為30－10＝20(℃)．(2)令10sin

?

x

?

??

＋20＝15，可得sin

?

x

?

??

＝－?，? ? ? ?

??而x∈[4，16]，所以x＝??.令10sin ?

x

?

??

＋20＝25，可得sin? ??

x

?

??

＝?，? ?

??而x∈[4，16]，所以x＝??.故該細菌在這段時間內能存活??

???＝?(小時)．?

?

?三角函數中有關參數ω的求解問題一、三角函數的周期T與ω的關系例1

為了使函數y＝sin

ωx(ω＞0)在區(qū)間[0，1]上至少出現50次最大值，則ω的)最小值是(A．98πB．???π?C．???π?D．100π?方法歸納：這類三角函數試題直接運用T與ω的關系T＝??，再結合條件，一般可以輕松處理．解析：由題意，至少出現50次最大值即至少需用49?個周期，所以

49

?

T＝?

????

×??≤1，所以ω≥???π，故選B.

?

?

?二、三角函數的單調性與ω的關系?

?例2

若函數f(x)＝sin

ωx(ω＞0)在區(qū)間

?

，

?

上單調遞減，則ω的取值范圍是(

)?C．

?

，3?D．

?

，3解析：令?

＋2kπ≤ωx≤??

＋2kπ(k∈Z)，得

??

?

??＋???