數(shù)學(xué)人教八年級上冊（2013年新編）12-3-2 角的平分線的判定（當(dāng)堂達標(biāo)）

12.3.2角的平分線的判定夯實基礎(chǔ)篇一、單選題：1．在中，，兩個完全一樣的三角尺按如圖所示擺放.它們一組較短的直角邊分別在，上，另一組較長的對應(yīng)邊的頂點重合于點P，交邊于點D，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．平分 B．C．垂直平分 D．【答案】D【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；角平分線的判定【解析】【解答】解：如圖.由題意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE=PF，∴BP平分∠ABC，∵AB=BC，∴AD=DC，BD⊥AC，即BD垂直平分AC，故A、B、C三個選項正確，不符合題意；只有當(dāng)△ABC是等邊三角形時，才能得出AB=2AD，故選項D錯誤，符合題意.故答案為：D.【分析】由題意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE=PF，根據(jù)角平分線的判定可得BP平分∠ABC，然后結(jié)合等腰三角形的三線合一可推出AD=DC，BD垂直AC，據(jù)此判斷即可.2．如圖，已知△ABC，求作一點P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA=PB.則對點P位置的判斷，正確的是（）A．P為∠A、∠B兩角平分線的交點B．P為∠A的角平分線與AB的垂直平分線的交點C．P為AC、AB兩邊上的高的交點D．P為AC、AB兩邊的垂直平分線的交點【答案】B【知識點】線段垂直平分線的判定；角平分線的判定【解析】【解答】解：P到∠A的兩邊的距離相等，P在∠A的角平分線上，PA=PB，P在線段AB的垂直平分線上，故P為∠A的角平分線與AB的垂直平分線的交點，故答案為：B.【分析】根據(jù)角平分線的判定、線段垂直平分線的判定進行解答即可.3．如圖，已知于點，于點，且，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【知識點】角平分線的判定；角平分線的定義【解析】【解答】∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分線，∵∠BAC=40°，∴∠CAD=∠BAC=20°，∴∠CDA=90°-20°=70°，∵，∴∠CDG=∠ADG-∠CDA=130°-70°=60°．故答案為：D．

【分析】根據(jù)角平分線的判定得出AD是∠BAC的平分線，得出∠CAD=∠BAC=20°，從而求出∠CDA=70°，利用∠CDG=∠ADG-∠CDA，即可求解.4．如圖，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于點D，點E是BD上一點，EF⊥AB于點F，若ED＝EF，則∠AEC的度數(shù)為()A．60° B．62° C．64° D．66°【答案】D【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；角平分線的判定【解析】【解答】∵∠B=42°，AD⊥BC，∴∠BAD=48°，∵ED=EF，AD⊥BC，EF⊥AB，∴∠BAE=∠DAE=24°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=66°，故答案為：D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠BAD=48°，根據(jù)到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上得出AE平分∠BAD，根據(jù)角平分線的定義得出∠BAE=∠DAE=24°，根據(jù)三角形的外角定理即可算出答案。5．如圖，在四邊形中，，，點P是邊上的一動點，連接，若，則DP的長不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【知識點】垂線段最短；三角形內(nèi)角和定理；角平分線的性質(zhì)；角平分線的判定【解析】【解答】解：過點D作DH⊥BC交BC于點H，如圖所示：∵∠A=∠BDC=90°，又∵∠C＋∠BDC＋∠DBC＝180°，∠ADB＋∠A＋∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分線，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，∴當(dāng)點P在BC上運動時，點P運動到與點H重合時DP最短，其長度為DH長等于3，即DP長的最小值為3，故DP的長不可能是2，故答案為：A.【分析】過點D作DH⊥BC交BC于點H，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的概念可得BD是∠ABC的角平分線，進而根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AD＝DH=3，確定出DP的最小值，據(jù)此判斷即可.6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90?，AD平分∠BAC，交BC于點D，AB＝10，S△ABD＝25，則CD的長為（）A．2.5 B．4 C．5 D．10【答案】C【知識點】三角形的面積；角平分線的判定【解析】【解答】解：過D作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，CD⊥AC，

∴DE=CD，

∵S△ABD＝AB×DE=25，

∴DE=2.5，

∴CD=DE=2.5.

故答案為：C.

【分析】過D作DE⊥AB于E，利用角平分線的性質(zhì)求出DE=CD，然后根據(jù)三角形面積公式求出DE長，則可解答.二、填空題：7．如圖，PM=PN，∠BOC=30°，則∠AOB=.【答案】60°【知識點】角平分線的判定【解析】【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，∴∠AOC=∠BOC=30°，∴∠AOB=60°，故答案為：60°.【分析】根據(jù)到角兩邊距離相等的點在該角的角平分線上即可得出∠AOC=∠BOC=30°，從而即可算出答案.8．如圖，已知∠B=∠D=90°，CB=CD，∠2=57°，則∠1=°.【答案】33【知識點】三角形內(nèi)角和定理；角平分線的判定【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°，CD=CB，∴AC平分∠BAD，∠2+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠1，∵∠2=57°，∴∠1=∠CAD=90°-57°=33°.故答案為：33.【分析】根據(jù)到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上得AC平分∠BAD，進而可得∠CAD=∠1，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠2+∠CAD=90°，然后問題可求解.9．如圖，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，則∠ABC＝．【答案】100°【知識點】角平分線的判定【解析】【解答】根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上可得BD平分∠ABC，再根據(jù)∠DBC=50°可得∠ABC=2∠DBC=2×50°=100°．

【分析】根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上，可得BD平分∠ABC，從而得出∠ABC=2∠DBC，即可求解.10．有三條兩兩相交的公路，要建一個加油站，使它到三條公路的距離相等，那么加油站可建的地點有個.【答案】4【知識點】角平分線的判定【解析】【解答】解：如圖所示作出角的平分線包括外角的角平分線，共有4個交點，所以由三條兩兩相交的公路，要建一個加油站，使它到三條公路的距離相等，則加油站需滿足在角平分線的交點上，故可建的地點有4個.故答案為4.【分析】根據(jù)“要建一個加油站，使它到三條公路的距離相等”可知加油站需建在題目所給的圖形的角平分線的交點上，故問題得解.11．在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，點，，，是四個格點，則這四個格點中到兩邊距離相等的點是點.【答案】M【知識點】角平分線的判定【解析】【解答】解：∵點M在的平分線上∴點M到兩邊距離相等故答案為：M.【分析】到兩邊距離相等的點在的平分線上，由此可確定答案.12．如圖，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分線交AB邊于點E，在AC邊取點D，使∠CBD=20°，連接DE，則∠CED的大小=（度）．【答案】10【知識點】三角形的外角性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；角平分線的判定【解析】【解答】解：延長CB到F，∵在△ABC中，∠ABC=100°，∠CBD=20°，∴∠ABF=80°，∠ABD=80°，∴AB平分∠FBD，又∵∠ACB的平分線交AB邊于點E，∴點E到邊BF，BD，AC的距離相等，∴點E在∠ADB的平分線上，即DE平分∠ADB，∵∠DBC=∠ADB-∠ACB，∠DBC=20°，∴，∴10°=，∵∠DEC=∠ADE-∠ACE=，∴∠DEC=10°，故答案為：10.【分析】延長CB到F，由∠ABC=100°、∠CBD=20°，可得∠ABF=80°、∠ABD=80°，故AB平分∠FBD，由知CE平分∠ACB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知點E到BF、BD、AC的距離相等，從而根據(jù)角平分線的判定又得DE平分∠ADB，據(jù)此利用三角形外角性質(zhì)即可求解。三、解答題：13．已知：如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求證：AD平分∠BAC．【答案】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中BD=CDBE=CF∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.【知識點】直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的判定【解析】【分析】利用“HL”證出，得DE=DF，再利用角平分線的判定即可。14．如圖，D、E、F分別是△ABC的三條邊上的點，CE＝BF，△DCE和△DBF的面積相等．求證：AD平分∠BAC．【答案】證明：過D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面積為：BF·DM，△DCE的面積為：DN·CE，∵△DCE和△DBF的面積相等，∴BF·DM＝DN·CE，∵CE＝BF，∴DM＝DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴AD平分∠BAC（到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）．【知識點】角平分線的判定【解析】【分析】過D作DN⊥AC，DM⊥AB，利用三角形的面積公式即可得到BF·DM＝DN·CE，即可得到DM＝DN，再根據(jù)角平分線的判定求解即可。15．如圖，點P為和的平分線的交點．求證：點P在的平分線上．【答案】證明：如圖，過點P作于點E，于點F，于點G，∵點P為和的平分線的交點，∴，，∴，∴點P在的平分線上．【知識點】角平分線的性質(zhì)；角平分線的判定【解析】【分析】要證明點P在∠ACN的平分線上，只需要證明點P到AC與CN的距離相等即可，可以分別作出點P到BM，AC，CN的垂線，結(jié)合題意證明即可。16．如圖，四邊形ABCD中AD=AB，∠DAB+∠BCD=180°，求證：CA平分∠DCB【答案】證明：過點A分別作AN⊥BC，AM⊥CD，垂足為N、M.∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°∴∠1=∠3∵AN⊥BC，AM⊥CD∴∠ANB=∠AMD=90°又∵AB=AD∴△ABN≌△ADM∴AN=AM∴點A在∠BCD的平分線上，即CA平分∠BCD.【知識點】角平分線的判定；三角形全等的判定（AAS）【解析】【分析】過點A分別作AN⊥BC，AM⊥CD，垂足為N、M，由垂直的定義得∠ANB=∠AMD=90°，根據(jù)同角的補角相等得出∠1=∠3，進而利用AAS判斷出△ABN≌△ADM，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出AN=AM，然后根據(jù)到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上即可得出結(jié)論.能力提升篇一、單選題：1．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD，BE相交于點O，連接CO，則有（）A．≌ B．C．CO平分 D．【答案】C【知識點】角平分線的性質(zhì)；角平分線的判定【解析】【解答】解：過O作OF⊥AB于，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴OF=OH，OF=OG，∴OG=OH，∴CO平分∠ACB．故答案為：C【分析】過O作OF⊥AB于、OG⊥BC于G、OH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和判定，逐個判斷即可。2．如圖，，M是的中點，平分，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【知識點】平行線的性質(zhì)；角平分線的判定【解析】【解答】解：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中點，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，故答案為：B.【分析】作MN⊥AD于N，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DAB，根據(jù)角平分線的判定定理得到∠MAB=∠DAB，計算即可．3．已知：如圖，∠GBC，∠BAC的平分線相交于點F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】B【知識點】角平分線的性質(zhì)；角平分線的判定【解析】【解答】解：作FZ⊥AE于Z，F(xiàn)Y⊥CB于Y，F(xiàn)W⊥AB于W，∵AF平分∠BAC，F(xiàn)Z⊥AE，F(xiàn)W⊥AB，∴FZ=FW，同理FW=FY，∴FZ=FY．∵FZ⊥AE，F(xiàn)Y⊥CB，∴∠FCZ=∠FCY，∵∠AFB=40°，∴∠ACB=80°，∴∠ZCY=100°，∴∠BCF=50°．故答案為：B．【分析】作FZ⊥AE于Z，F(xiàn)Y⊥CB于Y，F(xiàn)W⊥AB于W，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得FZ=FW=FY，根據(jù)角平分線的判定可得∠FCZ=∠FCY，據(jù)此即可求出結(jié)論.4．如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【知識點】直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)；角平分線的判定【解析】【解答】解：①過點P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴CP平分∠ACF，故①符合題意；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合題意；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，③符合題意；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合題意，故答案為：D．【分析】①過點P作PD⊥AC于D，由角平分線的性質(zhì)可得PM＝PN＝PD，根據(jù)角平分線的判定即證CP平分∠ACF，故正確；②證明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM＝∠APD，同理Rt△PCD≌Rt△PCN

（HL），可得∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四邊形內(nèi)角和求出∠ABC+2∠APC＝180°，故正確；③利用角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)可得∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，從而得出∠ACB＝2∠APB，故正確；④利用全等三角形的性質(zhì)可得S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，據(jù)此判斷即可.二、填空題：5．如圖，O是△ABC內(nèi)一點，且O到三邊AB，BC，CA的距離OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，則∠BOC的度數(shù)為.【答案】130°【知識點】三角形內(nèi)角和定理；角平分線的判定【解析】【解答】解：∵O到三邊AB、BC、CA的距離OF=OD=OE，∴點O是三角形三條角平分線的交點，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-50°=130°.故答案為：130°.【分析】根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出點O是三角形三條角平分線的交點，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解.6．在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°，則∠CED的度數(shù)是．【答案】10°【知識點】三角形的外角性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；角平分線的判定【解析】【解答】解：∵∠ABC=100°，∠CBD=20°，∴∠DBA=80°，∠PBA=80°，∴∠DBA=∠PBA，∴BA是△CBD的外角平分線，如圖，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，∵CE平分∠ACB，EF⊥AC，EH⊥CB，∴EF=EH，同理，EG=EH，∴EF=EG，又∵EF⊥AC，EG⊥BD，∴DE平分∠BDA，∵∠ACB=20°，∠CBD=20°，CE平分∠ACB，∴∠ADB=40°，∠DCE=10°，∴∠ADE=∠ADB=20°，∴∠CED=∠ADE﹣∠DCE=10°．故答案為：10°．【分析】根據(jù)角的和差算出∠DBA的度數(shù)，根據(jù)平角的定義得出∠PBA的度數(shù)，從而得出BA是△CBD的外角平分線，如圖，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等，得出EF=EH，EG=EH，故EF=EG，根據(jù)角平分線的判定定理即可得出DE平分∠BDA，根據(jù)三角形的外角定理得出∠ADB=40°根據(jù)角平分線的定義得出∠DCE=10°，∠ADE=20°，最后根據(jù)三角形的外角定理，由∠CED=∠ADE﹣∠DCE算出答案。7．如圖，于E，于F，若，，則下列結(jié)論：；平分；；中正確的是．【答案】【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的判定【解析】【解答】在和中，，，故正確；又，，平分，故正確；在和中，，，，，即，故正確；＜由垂線段最短可得，故錯誤，綜上所述，正確的是，故答案為：【分析】首先利用HL判斷出Rt△BDE?Rt△CDF，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出DE=DF，然后根據(jù)到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上得出AD平分∠BAC，然后再利用HL判斷出Rt△ADF?Rt△ADF，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出AE=AF，根據(jù)線段的和差及等量代換得出AC?AB=2BE，由垂線段最短可得AE<AD，從而得出答案。三、解答題：8．如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）直接寫出AB+AC與AE之間的等量關(guān)系．【答案】（1）證明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，∴△BDE與△CDE均為直角三角形，∵,∴△BDE≌△C