梳理拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的有關(guān)結(jié)論

梳理拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的有關(guān)結(jié)論

梳理拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的有關(guān)結(jié)論知識(shí)點(diǎn)1：若AB是過(guò)拋物線(xiàn)$y^2=2px\(p>0)$的焦點(diǎn)F的弦。設(shè)$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，則$(1)\x_1+x_2=0;\(2)\y_1+y_2=-\frac{p}{2}$。證明：如圖，（1）若AB的斜率不存在時(shí)，$AB$垂直于$x$軸，$x_1=x_2=-\frac{p}{2}$，故$x_1+x_2=0$。若AB的斜率存在時(shí)，設(shè)為$k$，則$AB:y=kx+\frac{p}{2}$，與$y^2=2px$聯(lián)立，得$k^2p=-2k$，即$k=-\frac{2}{p}$或$k=0$。當(dāng)$k=0$時(shí)，$AB$垂直于$x$軸，同上。當(dāng)$k=-\frac{2}{p}$時(shí)，$x_1+x_2=-\frac{k}{2}+\frac{p}{2}=-\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=0$，故$x_1+x_2=0$。綜上，$x_1+x_2=0$。（2）另證：設(shè)$AB:y=mx+p$，與$y^2=2px$聯(lián)立，得$(2-m^2)p=-2mp$，即$m^2-2m=0$，即$m=0$或$m=2$。當(dāng)$m=0$時(shí)，$AB$垂直于$x$軸，同上。當(dāng)$m=2$時(shí)，$x_1+x_2=-\frac{2}{m}=-1$，代入$AB:y=2x+p$得$y_1+y_2=-\frac{p}{2}$，故$y_1+y_2=-\frac{p}{2}$。知識(shí)點(diǎn)2：若AB是過(guò)拋物線(xiàn)$y^2=2px\(p>0)$的焦點(diǎn)F的弦。設(shè)$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，則$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+p^2}$。證明：（1）由拋物線(xiàn)的定義知$AF=x_1+\frac{p}{2},BF=x_2+\frac{p}{2}$。設(shè)直線(xiàn)$AB$的傾斜角為$\alpha$，則$AB=\frac{AF+BF}{\sin2\alpha}=\frac{x_1+x_2+p}{2\sin\alpha\cos\alpha}$。（2）若$\alpha=90^\circ$，則$x_1=x_2=-\frac{p}{2}$，由（1）知$AB=2p$。若$\alpha\neq90^\circ$，設(shè)$AB:y=kx+\frac{p}{2}$，與$y^2=2px$聯(lián)立，得$k^2p=-2k$，即$k=-\frac{2}{p}$或$k=0$。當(dāng)$k=0$時(shí)，$AB$垂直于$x$軸，同上。當(dāng)$k=-\frac{2}{p}$時(shí)，代入$AB:y=kx+\frac{p}{2}$得$AB=\frac{p}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}=\frac{p}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2\alpha}-1}}=\frac{2p\sin\alpha}{\cos\alpha}$。知識(shí)點(diǎn)3：若AB是過(guò)拋物線(xiàn)$y^2=2px\(p>0)$的焦點(diǎn)F的弦，則以AB為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切。證明：過(guò)點(diǎn)$A$、$B$分別向拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)引垂線(xiàn)，垂足分別為$A_1$、$B_1$，過(guò)$AB$中點(diǎn)$M$向準(zhǔn)線(xiàn)引垂線(xiàn)，垂足為$N$，設(shè)以$AB$為直徑的圓的半徑為$r$，則$2r=AB=AF+BF=AA_1+BB_1$。由于$AF=BF=\frac{p}{2}$，故$AA_1=BB_1=\frac{p}{2}$，$AB$的中點(diǎn)$M$在準(zhǔn)線(xiàn)上，故$MN=r$，即以$AB$為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切。知識(shí)點(diǎn)4：若AB是拋物線(xiàn)$y^2=2px(p>0)$的焦點(diǎn)F的弦，過(guò)點(diǎn)A、B分別向拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)引垂線(xiàn)，垂足分別為$A_1$、$B_1$，則$\angleA_1FB_1=90^\circ$。證明可以借助平行線(xiàn)和等腰三角形容易證明。知識(shí)點(diǎn)5：若AB是拋物線(xiàn)$y^2=2px(p>0)$的焦點(diǎn)F的弦，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)K，則$\angleAKF=\angleBKF$。證明：過(guò)點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為$A_1$、$B_1$。則$AA_1\parallelKF\parallelBB_1$，且$AF=A_1A$，$BF=B_1B$。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得$\triangleAA_1K\sim\triangleBB_1K$，從而$\angleA_1KA=\angleB_1KB$。又因?yàn)?\angleA_1FB_1=90^\circ$，所以$\angleA_1KA=\angleB_1KB=90^\circ$，進(jìn)而$\angleAKF=\angleBKF$。知識(shí)點(diǎn)6：若AB是拋物線(xiàn)$y^2=2px(p>0)$的焦點(diǎn)F的弦，O為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C，則BC//OF。證明：設(shè)$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則$AB:y=1x$。因?yàn)?OF$是準(zhǔn)線(xiàn)，所以$OF:y=-\frac{p}{2}$。過(guò)點(diǎn)B作$BC\parallelOF$交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C，則$\frac{y_1}{y_2}=-\frac{p}{2}$，從而$y_C=-\frac{y_2}{2p}y_1+\frac{y_1}{2p}y_2$。因?yàn)?A$在$OC$的延長(zhǎng)線(xiàn)上，所以$y_1=-\frac{p}{2}$。代入前式可得$y_C=-\frac{1}{2p}y_2^2$，而$y_F=-\frac{1}{2p}x_F^2$。因?yàn)?AB$是弦，所以$y_1y_2=-p^2$，即$y_2^2=-4px_1x_2$。代入前式可得$y_C=y_F$，從而$BC\parallelOF$。知識(shí)點(diǎn)7：若AB是拋物線(xiàn)$y^2=2px(p>0)$的焦點(diǎn)F的弦，設(shè)$\angleAAF=m$，$BF=n$，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2p}$。證法：（1）若AB$\perp$x軸，則AB為通徑，而$AB=2p$，從而$m=n=p$，代入前式可得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2p}$。（2）若AB與x軸不垂直，設(shè)$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$AB$的斜率為$k$，則$k=-\frac{y_1}{x_1}=-\frac{y_2}{x_2}$。將$k$代入$y_1^2=2px_1$和$y_2^2=2px_2$，可得$x_1x_2=-\frac{y_1^2}{2k}\cdot-\frac{y_2^2}{2k}=\frac{p^2}{k^2}$。又因?yàn)?\triangleAAF\sim\triangleBFB$，所以$\frac{m}{n}=\frac{y_1-p}{y_2-p}=\frac{x_1}{x_2}$。將$x_1x_2=\frac{p^2}{k^2}$代入，可得$\frac{m}{n}=\frac{p}{k^2}$。代入前式，化簡(jiǎn)可得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2p}$。由拋物線(xiàn)的定義可知，焦點(diǎn)F到拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離，即$m=AF=x_1+p,n=BF=x_2+p$.因此，可以得到$m+n=\frac{x_1+x_2}{p}+2p$.又因?yàn)?y^2=2px$，所以$AB$的中點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1x_2}{2p})$，即$F$的坐標(biāo)為$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1x_2}{4p})$。由于$AB$過(guò)焦點(diǎn)$F$，所以$S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}AB\cdotAF=\frac{(x_1+x_2)p}{4}$.將$m+n$代入可得$S_{\triangleAOB}=\frac{p^2}{4}(m+n)^2$，即$\frac{(x_1+x_2)p}{4}=\frac{p^2}{4}(m+n)^2$，化簡(jiǎn)可得$x_1x_2=p(m+n)^2$，代入$AB$的長(zhǎng)度公式可得$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+4p^2}=\sqrt{(m-n)^2+4p(m+n)}$。逆定理證明：設(shè)$AB$與$x$軸交于點(diǎn)$M$，則$AM=m$，$BM=n$，$AB=\sqrt{(m-n)^2+4p(m+n)}$，$S_{\triangleAOB}=\frac{p^2}{4}(m+n)^2$.由于$AB$過(guò)焦點(diǎn)$F$，所以$\frac{S_{\triangleAOB}}{AB}=\frac{1}{2}AF=\frac{p}{2}$.代入可得$\frac{p(m+n)^2}{\sqrt{(m-n)^2+4p(m+n)}}=\frac{p}{2}$，化簡(jiǎn)可得$(m-n)^2=4p(m+n)$，即$AB=\sqrt{(m-n)^2+4p^2}=\sqrt{(m+n)^2-4mn}=m+n$，因此$AB=8$。變式證明：由于$\triangleOAB$的重心坐標(biāo)為$(\frac{x_1+x_2}{3},\frac{x_1+x_2}{3})$，所以$\frac{x_1+x_2}{3}=2$，即$x_1+x_2=6$。代入$AB$的長(zhǎng)度公式可得$AB=\sqrt{(m-n)^2+4p(m+n)}=\sqrt{(m+n)^2-4mn}=m+n=6-p$。因此，$AB=8$等價(jià)于$p=1$，代入$\triangleOAB$的重心坐標(biāo)公式可得其橫坐標(biāo)為$2$。直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)$y^2=2px(p>0)$的焦點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)交于A(yíng),B兩點(diǎn)。由A,B