動能定理課件

第12章動能定理

§12-1基本概念物體的動力分析—研究物體的運(yùn)動與作用在物體上的力或力系之間的關(guān)系?；径墒桥ｎD第二定律F=ma本書只介紹動能定理和動靜法兩部分內(nèi)容。12-1-1動力學(xué)的力學(xué)模型質(zhì)點(diǎn)—有質(zhì)量但可以忽略其大小和形狀的點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)系—有限或無限質(zhì)點(diǎn)的集合。剛體—無數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成的不變形的質(zhì)點(diǎn)系。剛體的特點(diǎn)是其中任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變。自由質(zhì)點(diǎn)系—質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動不受約束的限制的質(zhì)點(diǎn)系；反之稱為非自由質(zhì)點(diǎn)系。12-1-2質(zhì)點(diǎn)動能的概念質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，某瞬時速度為v，定義：質(zhì)點(diǎn)的動能等于質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量與質(zhì)點(diǎn)速度平方乘積的一半，即T=mv2/2動能永遠(yuǎn)為正值或零。動能的單位為N.m（牛頓.米）1N.m=1J（焦耳）。計算動能時，速度為絕對速度。動能是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動強(qiáng)度的一種度量。mv12-1-3功的概念和計算作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在某一段位移上的功，是力在這段位移上作用效果的度量。恒力的功：在恒力F作用下，質(zhì)點(diǎn)M沿直線運(yùn)動。力作用線與運(yùn)動方向夾角為θ，位移為s，力F對質(zhì)點(diǎn)作的功等于F在位移方向上的投影與位移的乘積：W=FscosθW=F.s功是代數(shù)量，正負(fù)號規(guī)則為：力的投影的正方向與位移方向一致，則力在這一段位移上所作之功為正；反之為負(fù)。功的國際單位為N.m，1N.m=1J（焦耳）。sFvθM1M2變力的功：如果在變力作用下，質(zhì)點(diǎn)M沿任意軌跡從M1運(yùn)動到M2，考察微元弧段，將微元上作用的力視為恒力，微段軌跡視為直線，則力的微元功為δW=Fcosθds沿弧長積分，求得變力F在運(yùn)動軌跡M1M2上對質(zhì)點(diǎn)作的功：W=∫s1s2Fcosθds=∫s1s2Fτds用X，Y，Z表示為F在xyz軸上的投影，dxdydz為微元ds在xyz軸上的投影，則W=∫M1M2(Xdx+Ydy+Zdz)OM1M2Frr’drdsθxyzv合力功定理—質(zhì)點(diǎn)M同時受n個力（F1，F(xiàn)2，

…，F(xiàn)n，）的作用，設(shè)合力為R，則質(zhì)點(diǎn)M在R作用下在任意位移上所作的功，等于各分力在相同位移上所作的功的代數(shù)和。W=W1+W2+…+Wn=∑W重力功質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，沿任意軌跡從M1運(yùn)動到M2，重力作功為W=∫z1z2-Fpdz=Fp(z1–z2)即：重力作功等于質(zhì)點(diǎn)所受重力與質(zhì)點(diǎn)起止位置高度差的乘積。重力作功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動路徑無關(guān)，只與起止點(diǎn)的高度有關(guān)。OM1M2Fpxyzz1z2彈性力的功設(shè)彈簧剛度為k，相應(yīng)變形由λ1到λ2，則彈性力作的功為：W=∫s1s2

–Fds=∫λ1λ2

–kλdλ=k(λ12

–λ22

)/2即：彈性力作功與質(zhì)點(diǎn)路徑無關(guān)，只與彈性元件在質(zhì)點(diǎn)起止位置時的變形量有關(guān)。作用在定軸轉(zhuǎn)動剛體上力的功在力F作用下，作定軸轉(zhuǎn)動的剛體由Φ1轉(zhuǎn)至Φ2時，力所作的功為：W=∫Φ1Φ2

Mz(F)dΦ當(dāng)力對軸之矩保持不變時，力對軸之矩所作的功為：W=

Mz(F)（Φ2-Φ1）當(dāng)力對軸之矩保持不變時，作用在定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力所作的功等于力對軸之矩與剛體轉(zhuǎn)角的乘積。12-1-4作用于質(zhì)點(diǎn)系上的力的分類內(nèi)力與外力內(nèi)力—質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力；外力—質(zhì)點(diǎn)系外的物體作用于質(zhì)點(diǎn)系上各質(zhì)點(diǎn)的力。對于一般的質(zhì)點(diǎn)系，內(nèi)力作功不一定等于零。主動力與約束力約束力—約束作用于物體的力；主動力—約束力之外的力。理想約束—約束力所作之功的代數(shù)和等于零的約束。光滑接觸、光滑軸承、光滑鉸鏈，不考慮伸長的繩索，只滾不滑的純滾動等。12-1-5質(zhì)點(diǎn)的動能定理當(dāng)質(zhì)點(diǎn)M在力F作用下，沿軌跡M1到M2時，F(xiàn)τ是力F在切線方向的投影，由牛頓第二定律有maτ=Fτ將aτ=dv/dt代入有mdv/dt=Fτ等號兩邊乘以ds,且v=ds/dt,代入有

mvdv/dt=Fτdsmvdv/dt=d(mv2/2)Fτds=δW為Fτ在位移ds上所作的功，稱為元功代入得到d(mv2/2)=δW—質(zhì)點(diǎn)動能定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)動能的微分等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元功。如果質(zhì)點(diǎn)自M1點(diǎn)到M2點(diǎn)作有限位移，相應(yīng)的坐標(biāo)為s1和s2，相應(yīng)的速度為v1和v2，對上式積分∫v1

v2

d(mv2/2)=∫s1

s2

Fτds得到：mv22/2-mv12/2=W—質(zhì)點(diǎn)動能定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)在有限位移過程中，其動能的改變等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在相應(yīng)位移上所作之功。§12-2質(zhì)點(diǎn)系的動能定理12-2-1質(zhì)點(diǎn)系的動能質(zhì)點(diǎn)系的動能等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)動能的總和：T=∑mivi2/2幾種常見運(yùn)動形式下剛體的動能平移剛體的動能剛體平移時各點(diǎn)速度相同，由T=∑mivi2/2得到T=mv2/2或?qū)懗蒚=mvc2/2vc為剛體質(zhì)心的速度。定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能設(shè)定軸轉(zhuǎn)動剛體角速度為ω，其上任一點(diǎn)M到轉(zhuǎn)軸的距離為ri，其速度vi=riω，則剛體的動能為T=∑mivi2/2=∑mi

（riω）2/2=∑mi

ri2ω2/2=Jzω2/2Jz=∑mi

ri2稱為剛體對定軸z的轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量，與剛體質(zhì)量的大小及其分布有關(guān)，與剛體的運(yùn)動無關(guān)。剛體質(zhì)量連續(xù)分布時，轉(zhuǎn)動慣量可以寫成：Jz=∫Mr2dm通過積分可以求得質(zhì)量均勻分布并有規(guī)則幾何形狀的剛體的轉(zhuǎn)動慣量。幾種常見剛體對過質(zhì)心軸z的轉(zhuǎn)動慣量1.質(zhì)量為m，半徑為R的均質(zhì)圓盤(圓柱)，Jz=mR2/22.質(zhì)量為m，半徑為R的均質(zhì)圓環(huán)，Jz=mR23.質(zhì)量為m，長為l的均質(zhì)細(xì)桿，Jz=ml2/12zRmzRml/2l/2z平行軸定理：剛體對任何軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體質(zhì)量與兩軸之間距離的平方的乘積。即：Jz,=Jz+ml21.質(zhì)量為m，半徑為R的均質(zhì)圓盤(圓柱)：Jz’=mR2/2+mR2=3mR2/22.質(zhì)量為m，半徑為R的均質(zhì)圓環(huán)，Jz’=mR2+mR2=2mR2

3.質(zhì)量為m，長為l的均質(zhì)細(xì)桿，Jz’=ml2/12+m(l/2)2=ml2/3剛體對任何軸的轉(zhuǎn)動慣量，都大于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量。lzz’CzRmz’zRmz’l/2l/2z’平面運(yùn)動剛體的動能設(shè)瞬心為C’，質(zhì)點(diǎn)mi到C’的距離為ri，速度為vi=

riω，剛體的運(yùn)動可以看成繞瞬心的定軸轉(zhuǎn)動，動能為T=∑mivi2/2=∑mi（riω）

2/2=∑miri2

ω

2/2=JC’ω

2/2JC’=∑miri2為剛體對通過瞬心，垂直于平面圖形的軸的轉(zhuǎn)動慣量。利用平行軸定理：JC,=JC+ml2T=JC’ω

2/2=(JC+ml2)ω

2/2=JCω2/2+m（lω）2/2=JCω2/2+mvc

2/2平面運(yùn)動剛體的動能等于剛體跟隨質(zhì)心平移的動能與剛體繞過質(zhì)心且垂直于平面圖形的軸轉(zhuǎn)動的動能之和。CC’mi

vc

vilω

ri12-2-2質(zhì)點(diǎn)系的動能定理對于質(zhì)點(diǎn)系的任意質(zhì)點(diǎn)都適用質(zhì)點(diǎn)動能定理dTi=δWi

Ti2-Ti1=Wi對質(zhì)點(diǎn)系所有質(zhì)點(diǎn)求和，得到質(zhì)點(diǎn)系的動能定理的微分形式dT=∑δW在質(zhì)點(diǎn)系無限小的位移中，質(zhì)點(diǎn)系動能的微分等于在質(zhì)點(diǎn)系上所有力所作元功之和。積分得到質(zhì)點(diǎn)系的動能定理的積分形式T2-T1=∑W在任意有限位移過程中，質(zhì)點(diǎn)系動能的改變量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有的力在相應(yīng)位移上有限功之和。將質(zhì)點(diǎn)系上的力分為內(nèi)力和外力，可以有∑W=∑W內(nèi)+∑W外也將質(zhì)點(diǎn)系上的力分為主動力和約束力，可以有∑W=∑WA+∑WN當(dāng)∑W內(nèi)=0時，T2-T1=∑W外在理想約束下，∑WN=0，T2-T1=∑WA應(yīng)用：求解運(yùn)動距離與速度的關(guān)系，或求解加速度與外力的關(guān)系；只能求解一個未知量，需要應(yīng)用運(yùn)動學(xué)知識求得各運(yùn)動量之間的關(guān)系。作題步驟：1.選研究對象；2.計算系統(tǒng)動能；3.計算功；4.應(yīng)用動能定理求解；[例題12-1]鉸車滑輪B上作用力偶矩為M的轉(zhuǎn)矩?；喼谾W1，半徑為R，繩索不可伸長，重物A重FW2，斜面傾角為α，摩擦因數(shù)為f。設(shè)重物由靜止開設(shè)運(yùn)動，求重物上升速度與距離之間的關(guān)系。解：選滑輪、重物、繩索系統(tǒng)為研究對象；1.計算系統(tǒng)動能：設(shè)重物由靜止運(yùn)動S距離時，重物速度為v,則有：T1=0T2重=m2

v2/2=(FW2

/g)

v2/2T2滑=Jω2/2滑輪為均質(zhì)圓盤，J=m1

R2/2=(FW1

/g)

R2/2滑輪角速度為ω=

v/R代入整理得到T2滑=(FW1

/2g)

v2/2系統(tǒng)動能為T2=

T2重+T2滑=(FW2

/g)

v2/2+(FW1

/2g)

v2/2=[FW2

+(FW1

/2)]v2/2gABMvαs2.計算功：系統(tǒng)受力如圖，各力作功為：重物A重力作功:W重=-FW2h=-FW2ssinα重物A摩擦力作功:WF=-FsF=fFN重物在垂直斜面方向無運(yùn)動，aN=0，F(xiàn)N-FW2cosα=maN=0解得FN=FW2cosα，代入得到：WF=-fFW2cosαs力偶作功：重物由靜止運(yùn)動S距離時,滑輪轉(zhuǎn)過角度Φ，則WM=MΦ，由運(yùn)動學(xué)關(guān)系：轉(zhuǎn)角Φ=s/R，代入得到WM=Ms/R系統(tǒng)受力作功為：∑W=WM+W重+WF=Ms/R-FW2ssinα-fFW2cosαs=(M/R-FW2sinα-fFW2cosα)sFNFFW2ABMvαs3.應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動能定理求解由T2-T1=∑W有[FW2

+(FW1

/2)]v2/2g-0=(M/R-FW2sinα-fFW2cosα)s解得：v=√(M/R-FW2sinα-fFW2cosα)2gs/[FW2+(FW1

/2)]討論：對時間t求導(dǎo)，可以得到[FW2

+(FW1

/2)]vdv/dt

g=(M/R-FW2sinα-fFW2cosα)ds/dt考慮到ds/dt=v，dv/dt=a，得到a

=(M/R-FW2sinα-fFW2cosα)g/FW2

+(FW1

/2)

[12-2]均質(zhì)桿AB可繞O軸在圖平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。桿的左端自由放置在線性彈簧上，在A端向下加壓使桿處于水平位置，彈簧壓縮λ，釋放后，桿彈起脫離彈簧繞O轉(zhuǎn)動。已知桿長l,質(zhì)量m,彈簧剛度系數(shù)為k,求桿彈起后第一次轉(zhuǎn)到鉛垂位置時的角速度ω。解：選桿為研究對象。1.計算動能：桿在外力釋放前處于水平靜止位置，速度為零，動能T1=0,設(shè)桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時角速度為ω，動能T2=JOω2/2,JO=ml2/3代入得到T2=ml2ω2/6AOklmg2.計算功：釋放后，作用于桿上的主動力有重力和彈性力，軸承為理想約束，受力作功為重物A重力作功:W重=-mgl/2W彈=k（λ12-λ22）/2λ1為桿處于水平位置，彈簧壓縮量λ1=λ,λ2為彈簧恢復(fù)原長，并脫離桿時的變形，λ2=0

代入得到：W彈=kλ2/2∑W=W彈+W重=kλ2/2-mgl/23.由動能定理T2-T1=∑W有ml2ω2/6-0=kλ2/2-mgl/2解得ω=√3（kλ2/m-gl）/

l分析要使ω≥0，應(yīng)有kλ2/m-gl≥0，kλ2/m≥glOlmg[例題12-3]均質(zhì)圓柱O重為FP，半徑為R，從靜止開設(shè)沿斜面作純滾動。已知斜面傾角為α，求圓柱O質(zhì)心的速度與在斜面上下滾距離s的關(guān)系。解：選圓柱體為研究對象，作平面運(yùn)動；1.計算動能：設(shè)由靜止下滾距離s時，質(zhì)心速度為v,則圓柱動能為T1=0T2=JCω2/2+mvC2/2均質(zhì)圓柱JC=mR2/2=FPR2/2g純滾動時，接觸點(diǎn)為瞬心，

ω=vC/R，代入得到T2=3FPvC2/4g2.計算功：純滾動時，摩擦力和支持力不作功，只有重力作功WP=FPh=FPssinαOvαsRFP3.由動能定理T2-T1=∑W有3FPv2/4g-0=FPssinα即3FPv2/4g=FPssinα解得v=√4gSsinα/3兩邊對時間求導(dǎo)可以得到圓柱質(zhì)心的加速度a和圓柱轉(zhuǎn)動的角加速度α3FPvdv/dt/2g=FPsinαds/dta=2gsinα/3α=a/R=2gsinα/3R§12-3機(jī)械能守恒12-3-1勢力場和勢能力場：如果質(zhì)點(diǎn)在某空間任意位置都受到大小和方向均確定的力的作用，這種空間稱為力場。地球表面的空間稱為重力場。勢力場：質(zhì)點(diǎn)在這一力場中運(yùn)動時，力場對質(zhì)點(diǎn)作用力所作的功，只與起始位置有關(guān)，與路徑無關(guān)，這種力場稱為勢力場。勢力：質(zhì)點(diǎn)在勢力場中所受的力。重力、彈性力和萬有引力都是勢力。勢能：度量勢力場對質(zhì)點(diǎn)作功能力的物理量。勢能值與質(zhì)點(diǎn)在勢力場中的位置有關(guān)，一般選擇一個參考位置并設(shè)參考位置勢能為零，這一參考位置稱為勢能零值點(diǎn)。重力場勢能零值點(diǎn)一般選海平面。質(zhì)點(diǎn)從某位置至勢能零值點(diǎn)有勢力作的功，稱為質(zhì)點(diǎn)在該位置的勢能。重力勢能：設(shè)地平面為勢能零值點(diǎn)，建立oxy坐標(biāo)，對于質(zhì)點(diǎn)，重力FP的勢能為V=FPz對于質(zhì)點(diǎn)系或剛體V=FPzc其中zc為質(zhì)心的坐標(biāo)。彈性勢能：通常以彈簧未變形時的彈簧端點(diǎn)位置為零勢能位置，彈簧變形為λ時的彈性勢能為V=kλ2/2勢能零點(diǎn)的選擇是人為的，勢能是相對的，但物體在勢力場中兩點(diǎn)的勢能差與勢能零點(diǎn)選擇無關(guān)，是絕對的。物體在勢力場中從某一位置運(yùn)動到另一位置，勢力所作的功在數(shù)值上等于物體在這兩個位置的勢能差。xoyzzFP12-3-2機(jī)械能守恒定理如果質(zhì)點(diǎn)系為無約束的自由質(zhì)點(diǎn)系，而且所受的都是勢力；或者質(zhì)點(diǎn)系為理想約束的非自由質(zhì)點(diǎn)系，而且其上的主動力都是勢力，則作用在這兩種質(zhì)點(diǎn)系上的力所作之功就等于質(zhì)點(diǎn)系勢能的改變，即在勢力場中∑W=V1-V2應(yīng)用動能定理T2-T1=∑W得到T2-T1=V1-V2表明質(zhì)點(diǎn)系在勢力場中任意有限的運(yùn)動過程中，動能的增加等于勢能的減少?；蚋膶憺門2+V2=T1+V1T+V=E=常數(shù)T+V稱為系統(tǒng)的機(jī)械能。表明：質(zhì)點(diǎn)系在勢力場中運(yùn)動時，其機(jī)械能保持不變。稱為機(jī)械能守恒定理。具有使質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能保持不變特性的力場，稱為保守力場。保守力場的力稱為保守力。[例題12-5]均質(zhì)圓柱O重為FP，半徑為R，沿與水平面夾角為α斜面作無滑動滾動。在圓柱中心連接一剛度系數(shù)為k的彈簧。設(shè)開始時圓柱靜止，彈簧無變形。求圓柱O質(zhì)心沿斜面經(jīng)過位移l時的速度。解：選圓柱體為研究對象，所受重力和彈性力都是勢力，約束力為理想約束，圓柱機(jī)械能守恒。1.計算動能：設(shè)由靜止下滾距離l時，質(zhì)心速度為v,圓柱作平面運(yùn)動,則動能為T1=0T2=Joω2/2+mv2/2OvαlRFP均質(zhì)圓柱Jo=mR2/2=FPR2/2g純滾動時，接觸點(diǎn)為瞬心，

ω=v/R，代入得到T2=FPv2/4g+FPv2/2g=3FPv2/4g2.計算勢能：設(shè)起始圓柱的位置為彈性勢能和重力勢能的零值位置，V1=V1重+V1彈=0V2=V2重+V2彈=-FPlsinα+kl2/23.應(yīng)用機(jī)械能守恒定理T2+V2=T1+V13FPv2/4g-FPlsinα+kl2/2=0解得v=√2lg

(2FPsinα-kl)/3FP§12-5結(jié)論與討論1.計算動能，必須取絕對速度。2.只有正確分析質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系或剛體的運(yùn)動形式，才能正確計算系統(tǒng)動能。3.在動能定理中常見力的功一般為重力、彈力、力矩等作的功。理想約束不作功或作功之和為零。4.應(yīng)用動能定理只能列一個方程，一般要利用運(yùn)動學(xué)關(guān)系解題。5.平行軸定理：Jz,=Jz+ml2Jz為過形心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，

Jz,為與過形心的軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，任意兩個軸之間的轉(zhuǎn)動慣量不滿足平行軸定理。作業(yè)p26612-4(a)（b）(c)12-18第13章動靜法及其工程應(yīng)用動靜法：在質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系上加上慣性力，應(yīng)用靜力學(xué)列平衡方程的形式解決動力學(xué)問題的方法，稱為動靜法。動靜法是求解非自由質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)問題的方法?！?3-1慣性力的概念根據(jù)牛頓定律，物體受外力作用，運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變。由于物體具有慣性，維持其慣性運(yùn)動，同時給予施力物體以反作用力。如質(zhì)量為m的小球在光滑水平面作勻速圓周運(yùn)動，速度大小為v，半徑為r，向心加速度為an=v2/r，對小球，受到繩子拉力，由牛頓第二定律有：F=man=mv2/r同時，小球給繩子以反作用力FG，這個力便稱為小球的慣性力，又稱為離心力或離心慣性力。vmF當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受力而使其運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變時，由于質(zhì)點(diǎn)的慣性，質(zhì)點(diǎn)將給施力物體一反作用力，此即為質(zhì)點(diǎn)的慣性力。質(zhì)點(diǎn)的慣性力大小等于質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量與其加速度的乘積，方向與加速度的方向相反。即FG=-ma質(zhì)點(diǎn)的慣性力是質(zhì)點(diǎn)對改變其運(yùn)動狀態(tài)的一種反抗。質(zhì)點(diǎn)的慣性力不作用于質(zhì)點(diǎn)，而是作用于使質(zhì)點(diǎn)改變運(yùn)動狀態(tài)的施力物體上?！?3-2達(dá)朗伯原理13-2-1質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理設(shè)有一非自由質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，作用于其上的有主動力F和約束力FN，合力為FR，加速度為a，。根據(jù)牛頓第二定律，有F+FN=ma改寫成F+FN+（-ma）=0引入慣性力FG=-ma得到F+FN+FG=0質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理——非自由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的每一瞬時，作用于質(zhì)點(diǎn)上的主動力、約束力以及質(zhì)點(diǎn)的慣性力組成形式上的平衡力系。13-2-2質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理設(shè)有一非自由質(zhì)點(diǎn)系，由n個質(zhì)點(diǎn)M1，M2，…Mn組成，其質(zhì)量分別為m1，m2，…mn，作用于質(zhì)點(diǎn)Mi上的主動力為Fi，約束力為FNi，加速度為ai。對質(zhì)點(diǎn)系的每一個質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理，有Fi+FNi+FGi=0FGi=-mai質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理——非自由質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動的每一瞬時，作用于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個質(zhì)點(diǎn)上的主動力、約束力以及該質(zhì)點(diǎn)上的慣性力組成形式上的平衡力系。質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的一部分質(zhì)點(diǎn)或整個質(zhì)點(diǎn)系，其上所有的主動力、約束力和慣性力也組成形式上的平衡力系?！?3-3動靜法非自由質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的每個質(zhì)點(diǎn)上，假想地加上各自的慣性力，根據(jù)達(dá)朗伯原理，作用于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的主動力、約束力以及慣性力組成平衡力系。可按照靜力學(xué)方法求解非自由質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的動力學(xué)問題。這種方法稱為動靜法。解題步驟：1.確定研究對象（單個物體或系統(tǒng)）；2.受力分析：分析實(shí)際作用力（不畫內(nèi)力）；3.根據(jù)運(yùn)動狀態(tài)，加上慣性力；4.列靜力學(xué)平衡方程；平面一般力系∑Fx=0，∑Fy=0，∑M=05.求解。[例題13-1]列車沿水平直線軌道行駛。車廂內(nèi)掛一單擺。車廂勻加速向前運(yùn)動時，單擺向后擺，擺線與鉛垂線夾角為α，并相對于車廂穩(wěn)定在此位置。試求車廂的加速度a。解：選擺錘為研究對象，設(shè)質(zhì)量為m，受力分析如圖;由于擺錘與車廂有相同的加速度a，擺錘的慣性力大小為FG=ma，方向與a相反，水平向后。擺錘在形式上由三力作用處于平衡。由達(dá)朗伯原理，列平衡方程：∑Fx=0FPsinα-FGcosα=0FP=mg，F(xiàn)G=ma代入得到：a=gtanαMαaααFPFTFGax§13-4剛體慣性力系的簡化及動靜法的應(yīng)用應(yīng)用靜力分析中力系的簡化方法，將剛體的慣性力系進(jìn)行簡化，得到等效的主矢和主矩，簡化計算。13-4-1剛體平移時慣性力系的簡化設(shè)質(zhì)量為m、質(zhì)心為C的剛體相對慣性參考系作平移。平移剛體上各點(diǎn)加速度相等，每一個質(zhì)點(diǎn)的慣性力為FGi=-miai=-miac平移剛體上各個質(zhì)點(diǎn)的慣性力組成一個平行力系，可以簡化為通過質(zhì)心的合力FGFG=∑FGi=∑-miai=∑-miacFG=-mac剛體平移時慣性力系的簡化結(jié)果為一個通過質(zhì)心的合力，合力的大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與加速度方向相反。aM1FG1M2FGiFG2MiaFGC13-4-2定軸轉(zhuǎn)動剛體慣性力系的簡化設(shè)剛體有質(zhì)量對稱面，且轉(zhuǎn)軸垂直于對稱面。這種情況下，各質(zhì)點(diǎn)慣性力對質(zhì)量對稱平面是對稱的，可以簡化為對稱平面內(nèi)的平面一般力系。設(shè)剛體的質(zhì)量為m，角速度為ω，角加速度為α。考察質(zhì)量為mi，距轉(zhuǎn)軸O點(diǎn)為ri的對稱平面內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)，其切向和法向加速度分別為：aiτ=riαain=riω2其慣性力為FGiτ=-mi

aiτFGin=-mi

ainFGi=FGiτ+FGin將每個質(zhì)點(diǎn)的慣性力向轉(zhuǎn)軸O點(diǎn)簡化，可以得到一個力（主矢），和一個力偶（主矩）。主矢為FG=∑FGi=∑-miai對于剛體有∑mivi=m

vc兩邊對t求導(dǎo)，得到∑miai=m

ac代入得到：FG=-m

acOainaiτriαωmiaiFGiFGinFGiτOaCnaCταωmaCFGCMGO主矩為MGO=∑MO(FGi)=∑MO(FGiτ)=∑-miaiτri=∑-miriαri=

∑-miri2α=-α∑miri2其中∑miri2=Jz為剛體繞定軸z轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量。即：MGO=-Jzα負(fù)號表示慣性力偶矩與α轉(zhuǎn)向相反。簡化結(jié)果為：如果剛體有質(zhì)量對稱面，且轉(zhuǎn)軸垂直于這一平面，定軸轉(zhuǎn)動剛體慣性力系可以簡化為一個在對稱平面內(nèi)通過轉(zhuǎn)軸與平面交點(diǎn)的力和力偶。FG=-m

ac（作用線過O點(diǎn)，與ac反向）MGO=-Jzα（與α反向）OaCnaCταωmaCFGCMGOOainaiτriαωmiaiFGiFGinFGiτ幾種特殊情形的簡化結(jié)果1.若轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心C，且α≠0，圖(a)：由于ac=0，F(xiàn)G=-m

ac=0，簡化結(jié)果為一個力偶MGC=-JCα

JC為剛體對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量。2.若剛體勻速轉(zhuǎn)動，即α=0，但轉(zhuǎn)軸不過質(zhì)心,圖（b）：MGC=-JCα=0FG=-m

ac=-m

acn=-m

rcω2FG的作用線通過質(zhì)心與轉(zhuǎn)軸的連線，與法向加速度方向相反。rc為質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸O的距離，稱為偏心距。3.若剛體勻速轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，圖（c），則ac=0，F(xiàn)G=-m

ac=0，α=0，MGC=-JCα=0，慣性力主矢和主矩都為零，慣性力系為平衡力系。OαωMGO（a）FGaCnCOωMGO（b）rCOω（c）13-4-3作平面運(yùn)動剛體慣性力系的簡化有質(zhì)量對稱面且在對稱平面內(nèi)在平面運(yùn)動的剛體，可以將剛體的慣性力系簡化成質(zhì)量對稱平面內(nèi)的平面一般力系。將這一力系向質(zhì)心C簡化，可以得到一個力和一個力偶。力：FG=-∑miai或FG=-m

aC力偶的力偶矩：MGC=∑MC(FGi)FGi=-miai由平面運(yùn)動加速度合成定理，以質(zhì)心c為基點(diǎn)，則ai=（ac+aicτ+aicn）代入得到FGi=-mi（ac+aicτ+aicn）

CaCαωMGCFGMGC=∑MC(FGi)=∑MC（-miaC）+∑MC（-miaiτ）+∑MC（-miain）∑-miaC是過質(zhì)心的合力，所以∑MC（-miaC）=0

（-miain）的作用線也過質(zhì)心，所以∑MC（-miain）=0即MGC=∑MC(FGi)=∑MC（-miaicτ）=∑-miaicτri=∑-miri2α=-α∑miri2其中∑miri2=-Jc為剛體繞質(zhì)心C轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量。即：MGc=-JCα有質(zhì)量對稱面，并平行于此質(zhì)量平行面作平面運(yùn)動的剛體，其慣性力系可以簡化為一個作用線過剛體質(zhì)心C的力（主矢）和一個力偶（主矩）。FG=-m

aCMGO=-JCαCaCαωMGCFGOaiCnaiCτriαωmiFGinFGiτacFGC[例題13-3]剛體DE具有與鉛垂面平行的質(zhì)量對稱面，質(zhì)量為m。質(zhì)心C與D，E的距離為a和b，已知AD=BE=l，AD平行于BE。桿和繩子質(zhì)量不計。求繩子剛一剪斷時，兩桿的角加速度和約束力。解：1.選剛體DE為研究對象，受力分析如圖；2.DE作平移，DE上各點(diǎn)速度、加速度相等，aC=aD=aE兩桿作定軸轉(zhuǎn)動，剪斷繩子瞬間ω=0，α≠0，設(shè)α順時針轉(zhuǎn)向，則aC=aD=aDτ=lα方向垂直AD向下，DE所受慣性力FG=mac=mlα,方向與ac相反；ABllDEαabCFmgDEabCFDFEFGxyaDac3.應(yīng)用動靜法列方程：建立坐標(biāo)系如圖:∑Fy=0FG-mgcosα=0（1）將FG=maC代入得到：aC=gcocαα=aDτ/l=aC/l

=gcocα/l∑MD=0FEcosα（a+b）-FGsinαa=0（2）∑ME=0-FDcosα（a+b）+FGsinαb=0（3）解方程可以求得將FG=mac=mgcocα代入得到FD=mgsinαa/a+bFE=mgsinαb/a+bmgDEabCFDFEFGxyaDac[例題13-4]質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)圓柱體沿傾角為θ的斜面作純滾動，求(1)圓柱滾時質(zhì)心的角速度ac和圓柱所受摩擦力F；(2)要使柱體只滾不滑，求摩擦因數(shù)f的最小值.解：1.選圓柱體為研究對象，受力如圖；2.圓柱體作平面運(yùn)動，慣性力系簡化為過質(zhì)心的力FG和力偶MGC，F(xiàn)G=-macMGC=-JC

α由運(yùn)動學(xué)關(guān)系知：ac=rαJC=mr2/2MGC=αmr2/2=macr/23.由動靜法列方程：∑Mo(F)=0mgsinθr-FGr-MGC=0（1）∑Fx=0F+FG-mgsinθ=0（2）∑Fy=0FN-mgcosθ=0（3）FGmgFFNMGCyxcacθrαo由（1）整理得到：mgsinθr-macr-macr/2=(mgsinθ–3mac/2)r=0解得：ac=2gsinθ/3代入（2）得到：F=mgsinθ–FG=mgsinθ-2mgsinθ/3

=mgsinθ/3FN=mgcosθ要使柱體只滾不滑，必須使F≤Fmax=fFN即mgsinθ/3≤fmgcosθ解得f≥tanθ/3§13-5剛體定軸轉(zhuǎn)動時的動約束力定軸轉(zhuǎn)動剛體若質(zhì)心不在轉(zhuǎn)軸上，或轉(zhuǎn)軸與質(zhì)量對稱面不垂直時，都會引起很大的動約束力。[例題13-6]質(zhì)量不計的剛性軸O1O2上固連一均質(zhì)桿AB，桿長為l，質(zhì)量為m，當(dāng)桿以勻角速度ω轉(zhuǎn)動時，求圖示情況下軸承O1和O2的約束力。ABO1O2CDl/2l/2l/2l/2exωy解：1.選軸和桿系統(tǒng)為研究對象，受力分析如圖；2.桿AB作勻速圓周運(yùn)動且轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)量對稱面，慣性力系簡化為過轉(zhuǎn)軸的法向慣性力。FGn=-meω23.由動靜法列方程∑Mo1(F)=0Fo2xl–mge-FGnl/2=0（1）∑Fx=0FO1x-FO2x+FGn

=0（2）∑Fy=0FO1y-mg=0（3）解方程得到Fo2x=mge/l+meω2/2Fo1x=mge/l-meω2/2Fo1y=mgABO2CDl/2l/2l/2l/2eωyxmgFO1xFO1yFO2xFGnac分析：剛體定軸轉(zhuǎn)動時，約束力一般由兩部分組成：一部分由主動力如重力引起，稱為靜約束力，與運(yùn)動無關(guān)，靜止時已存在(mge/l)；另一部分由慣性力引起，稱為附加動約束力或動反力。附加動反力（meω2/2）與偏心距e和ω2成正比，轉(zhuǎn)速很高時將達(dá)到很大值，是構(gòu)件破壞或振動的重要原因。工程中，對于高速轉(zhuǎn)動的部件，首先進(jìn)行靜平衡，減少偏心距，最終將質(zhì)心調(diào)到轉(zhuǎn)軸上；然后進(jìn)行動平衡，最終消除附加反力。作業(yè)P28713-713-8§13-6結(jié)論和討論13-6-1正確理解動靜法的有關(guān)概念當(dāng)物體受到力的作用其運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化時，由于物體的慣性對外界產(chǎn)生反作用力抵抗運(yùn)動的變化。這種抵抗力稱為慣性力。達(dá)朗伯原理——質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動的每一瞬時，作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個質(zhì)點(diǎn)上的主動力、約束力和慣性力組成一個平衡力系。13-6-2關(guān)于剛體慣性力系的簡化1.平移剛體FG=-mac剛體平移時慣性力系的簡化結(jié)果為一個通過質(zhì)心的合力，合力的大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與加速度方向相反。2.定軸轉(zhuǎn)動剛體如果剛體有質(zhì)量對稱面，且轉(zhuǎn)軸垂直于這一平面，定軸轉(zhuǎn)動剛體慣性力系可以簡化為一個在對稱平面內(nèi)通過轉(zhuǎn)軸與平面交點(diǎn)的力和力偶。FG=-m

ac（作用線過O點(diǎn)，與ac反向）MGO=-Jzα（與α反向，Jz為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量

）也可以向質(zhì)心簡化FG=-m

ac（作用線過質(zhì)心，與ac反向）MGO=-Jcα（Jc為剛體對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量

）3.平面運(yùn)動的剛體有質(zhì)量對稱面，并平行于此質(zhì)量平行面作平面運(yùn)動的剛體，其慣性力系可以簡化為一個作用線過剛體質(zhì)心C的力（主矢）和一個力偶（主