新人教版高中數(shù)學(xué)教材例題課后習(xí)題必修一4．2指數(shù)函數(shù)

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)例1已知指數(shù)函數(shù)（，且），且，求，，的值.分析：要求，，的值，應(yīng)先求出的解析式，即先求a的值.解：因?yàn)?，且，則，解得，于是.所以，，，.例2（1）在問題1中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?000元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價(jià)格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況.（2）在問題2中，某生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來的百分之幾？解：（1）設(shè)經(jīng)過x年，游客給A，B兩地帶來的收入分別為和，則，.利用計(jì)算工具可得，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.結(jié)合圖可知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.這說明，在2001年，游客給A地帶來的收入比B地多412000萬元；隨后10年，雖然，但的增長速度大于；根據(jù)上述數(shù)據(jù)，并考慮到實(shí)際情況，在2011年2月某個(gè)時(shí)刻就有，這時(shí)游客給A地帶來的收入和B地差不多；此后，，游客給B地帶來的收入超過了A地；由于增長得越來越快，在2015年，B地的收入已經(jīng)比A地多347303萬元了.（2）設(shè)生物死亡x年后，它體內(nèi)碳14含量為.如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那么.當(dāng)時(shí)，利用計(jì)算工具求得.所以，生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14含量衰減為原來的約30%.例3比較下列各題中兩個(gè)值的大?。海?），；（2），；（3），.分析：對于（1）（2），要比較兩個(gè)值可以看作一個(gè)指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，因此可以直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；對于（3），和和的單調(diào)性，以及“時(shí)，”這條性質(zhì)把它們聯(lián)系起來.解：（1）和可看作函數(shù)當(dāng)x分別取2.5和3時(shí)所對應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值.因?yàn)榈讛?shù)，所以指數(shù)函數(shù)是增函數(shù).因?yàn)?，所?（2）同（1）理，因?yàn)?，所以指?shù)函數(shù)是減函數(shù).因，所以.（3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，，所以.例4如圖，某城市人口呈指數(shù)增長.（1）根據(jù)圖象，估計(jì)該城市人口每翻一番所需的時(shí)間（倍增期）；（2）該城市人口從80萬人開始，經(jīng)過20年會增長到多少萬人？分析：（1）因?yàn)樵摮鞘腥丝诔手笖?shù)增長，而同一指數(shù)函數(shù)的倍增期是相同的，所以可以從圖象中選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)計(jì)算倍增期.（2）要計(jì)算20年后的人口數(shù)，關(guān)鍵是要找到20年與倍增期的數(shù)量關(guān)系.解：（1）觀察圖，發(fā)現(xiàn)該城市人口經(jīng)過20年約為10萬人，經(jīng)過40年約為20萬人，即由10萬人口增加到20萬人口所用的時(shí)間約為20年，所以該城市人口每翻一番所需的時(shí)間約為20年.（2）因?yàn)楸对銎跒?0年，所以每經(jīng)過20年，人口將翻一番.因此，從80萬人開始，經(jīng)過20年，該城市人口大約會增長到160萬人.指數(shù)函數(shù)的概念練習(xí)1.下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)選擇．【詳解】由于（，且），所以A，B，D都不正確，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．如指數(shù)函數(shù)圖象恒過點(diǎn)，值域是．2.已知函數(shù)，且，，求函數(shù)的一個(gè)解析式.【答案】【解析】【分析】用連乘法求，然后用歸納法歸納一個(gè)結(jié)論．【詳解】由己知得，，，，，又.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的解析式，由于只知道一些函數(shù)值，并不知道函數(shù)的形式，因此可用歸納法思想歸納一個(gè)結(jié)論．3.在某個(gè)時(shí)期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以6.25%的增長率呈指數(shù)增長，那么經(jīng)過30天，該湖泊的藍(lán)藻會變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦?？（可以使用?jì)算工具）【答案】【解析】【分析】根據(jù)平均增長率問題可得．【詳解】設(shè)現(xiàn)在的藍(lán)藻量為，經(jīng)過30天后的藍(lán)藻量為，則，，∴經(jīng)過30天，該湖泊的藍(lán)藻會變?yōu)樵瓉淼?.16倍.【點(diǎn)睛】本題考查平均增長率問題，平均增長率問題的函數(shù)模型是．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)練習(xí)4.在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和的圖象，并說明它們的關(guān)系.【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)作圖，由圖觀察對稱性．【詳解】和的圖象如圖，和的圖象關(guān)于y軸對稱【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．5.比較下列各題中兩個(gè)值的大?。海?）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由函數(shù)的單調(diào)性比較；（2）由函數(shù)的單調(diào)性比較；（3）與中間值1比較．【詳解】（1）函數(shù)在上是增函數(shù)，.（2）函數(shù)在上為減函數(shù)，.（3）.【點(diǎn)睛】本題考查比較冪的大小，同底數(shù)的冪可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，不同底數(shù)的冪可借助中間值為1比較大?。?.體內(nèi)癌細(xì)胞初期增加得很緩慢，但到了晚期就急劇增加，畫一幅能反映體內(nèi)癌細(xì)胞數(shù)量隨時(shí)間變化的示意圖.【答案】見解析【解析】【分析】定義域是．是增函數(shù)，開始圖象較平緩，后來急劇上升，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖可得．【詳解】經(jīng)時(shí)間，癌細(xì)胞數(shù)量為，圖象如圖.【點(diǎn)睛】本題考查增長問題，考查指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用．習(xí)題復(fù)習(xí)鞏固7.求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）R；（2）R；（3）R；（4）.【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪成立的條件即可求函數(shù)的定義域．【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?；?）函數(shù)的定義域?yàn)?；?）函數(shù)的定義域?yàn)?；?）要使函數(shù)有意義，則，則函數(shù)的定義域?yàn)椋军c(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)型函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．8.一種產(chǎn)品原來的年產(chǎn)量是a件，今后m年內(nèi)，計(jì)劃使產(chǎn)量平均每年比上一年增加，寫出年產(chǎn)量y（單位：件）關(guān)于經(jīng)過的年數(shù)x的函數(shù)解析式.【答案】【解析】【分析】由題意可知函數(shù)模型為指數(shù)型，由此可得函數(shù)解析式．【詳解】解：由題意，今后年內(nèi)，年產(chǎn)量隨時(shí)間變化的增長率為，又原來的年產(chǎn)量是a件，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)模型的建立，屬于基礎(chǔ)題．9.比較滿足下列條件的m，n的大?。海?）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大?。驹斀狻拷猓海?）∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴；（2）∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，∴；（3）∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，∴；（4）∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題．10.設(shè)函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的增長率r；（2）求的值.【答案】（1）0.15；（2）.【解析】【分析】（1）由題意得，由此可求得答案；（2）代入解析式即可求出．【詳解】解：（1）由已知得，解得.所以增長率r約為0.15.（2）由（1）知，，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．綜合運(yùn)用11.求下列函數(shù)可能的一個(gè)解析式：（1）函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：x012（2）函數(shù)的圖象如圖：【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）通過描點(diǎn)可以判斷函數(shù)可以近似看成一次函數(shù)，設(shè)，再代入其中兩點(diǎn)即可算出答案；（2）由圖象可知函數(shù)模型為指數(shù)型，設(shè)，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求出答案．【詳解】解：（1）設(shè).把代入得，，解得，為可能的解析式；（2）設(shè)，將代入，得，解得，∴為一個(gè)可能的解析式．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象建立合適的函數(shù)模型，屬于開放性的基礎(chǔ)題．12.比較下列各題中兩個(gè)值的大?。海?），；（2），；（3），；（4），.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】（1）由單調(diào)遞增，，所以；（2）由單調(diào)遞減，，所以；（3）由單調(diào)遞增，，所以；（4）由單調(diào)遞減，，所以.13.當(dāng)死亡生物組織內(nèi)碳14的含量不足死亡前的千分之一時(shí)，用一般的放射性探測器就測不到碳14了.如果死亡生物組織內(nèi)的碳14經(jīng)過九個(gè)“半衰期”后，那么用一般的放射性探測器能測到碳14嗎？【答案】能【解析】【分析】碳14的含量呈指數(shù)型變化，由此可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意，經(jīng)過九個(gè)“半衰期后”，碳14的含量為，所以能探測到．【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲蓄，本金為a（單位：元），每期利率為r，本利和為y（單位：元），存期數(shù)為x.（1）寫出本利和y關(guān)于存期數(shù)x的函數(shù)解析式；（2）如果存入本金1000元，每期利率為2.25%，試計(jì)算5期后的本利和.【答案】（1）.（2）（元）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)利的含義，分析可得本利和隨變化的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)（1）的函數(shù)表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)即可計(jì)算5期后的本利和．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得；

（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，∴5期后的本利和約為元．【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．拓廣探索15.已知函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且無限接近直線但又不與該直線相交.（1）求該函數(shù)的解析式，并畫出圖象；（2）判斷該函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.【答案】（1），圖象見解析；（2）為偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).【解析】【分析】（1）由函數(shù)圖象過原點(diǎn)可得，又由圖象無限接近直線可得，由此可求出函數(shù)的解析式，去掉絕對值再結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象特征即可畫出函數(shù)圖象；（2）利用奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性，去掉絕對值得，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求得函數(shù)的單調(diào)性．【詳解】解：（1）由題意知，，，，∴，圖象如圖：（2）∵，∴，為偶函數(shù)，又，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16.已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1).（1）討論函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性；（2）如果f(x)<g(x)，那么x的取值范圍是多少？【答案】（1）答案見解析；（2）當(dāng)a>1時(shí)，x的取值范圍是；當(dāng)0<a<1時(shí)，x的取值范圍是.【解析】【分析】（1）由題意按照a>1、0<a<1分類，