高中數(shù)學(xué)課本中地定理、公式、結(jié)論地證明

數(shù)學(xué)課本中的定理、公式、結(jié)論的證明

數(shù)學(xué)必修一第一章集合（無(wú)）第二章函數(shù)（無(wú)）第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)1．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>，0a€，1M>，0N>，0那么()log(MN)二logM,logN；aaaMlog=logM-logN；

aNaa（）logMn=nlogM（neR）.aa根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)證明對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)證明：（性質(zhì)）設(shè)logM=p,logN=q，由對(duì)數(shù)的定義可得M=ap,N=aq,aaMN=ap?aq=ap，q,?°?log(MN)=p+q,a即證得logMN=logM,logN.a a a證明：(性質(zhì))設(shè)logM=p,logN=q,由對(duì)數(shù)的定義可得M=ap,N=aq,aaM ap= =ap-q,N aqM?-log =p―q，aN即證得logM=logM-logN.aNaa證明(性質(zhì))設(shè)logM=p，由對(duì)數(shù)的定義可得M=ap,aMn=anp,.?.logMn=np,a即證得logMn=nlogM.aa

戈.證明對(duì)數(shù)換底公式1。因N= ,^>0皿』工1,N>0)?證明設(shè)工=1。帥W根據(jù)對(duì)數(shù)定義，有N=護(hù)*兩邊取以心為底的對(duì)數(shù)+得lo^N=log^S而10毎/嚴(yán)=工10茗』?所以lo空N=jHo爲(wèi)乩由于仃工1,則恪必工山解出，得『=曾斗因?yàn)榻?3N所以血N=第四章函數(shù)應(yīng)用（無(wú)）數(shù)學(xué)必修二第四章函數(shù)應(yīng)用（無(wú)）數(shù)學(xué)必修二第一章立體幾何初步直線與平面、平面與平面平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理的證明.i直線與平面平行的判定定理若平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行則該直線與此平面平行.已知：瑋山bfa-3.//b+J求證：3.//a+J證明：不妨設(shè)直線3的方向向量為u,直線b的方向向量?jī)善矫鎐i的法向量?jī)?；d■,+-*因兩比卅b所以u(píng)環(huán)-共線，即u=kv:+j ..?+??.++

又平面4的法向量為口，所l2Anv=0:+j所l<Akvn=0?即口u=0,且諒2所以可知已川a+J2平面與平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.證明如罔已知也與打是平面兀內(nèi)兩條相交的玄線?且鎧e平面7TL皿的決和曲:分別足川皿■耍證r■只芾證?/??■,-又由'U0、hh腹向童広〃恐』”吃，所戌業(yè)_應(yīng)?血丄h?出于｛「與￡?相交點(diǎn)向旨曲也是舊的就向量以而有軌力S

3直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.證明如罔乩「是平面亓肉的兩余椰左宜蜒?玄線也誦足鬥丄幾〃丄“證明如罔設(shè)卩是平面北為任意一幾宜線■國(guó)只需壬N丄護(hù)謨宜線"Xjp的方向向量分別是打.Ar.p,只需證血丄"，囚為宜戟GJ相交?所歆白與「不共溟-書(shū)F宜線職芒紳在同一平面汀|?根據(jù)平面向量墓木定理’存框?qū)崝?shù)2嚴(yán)牠得p=c,則a*p= 1h)a?tr).因?yàn)楸P(pán)丄工厲_"聽(tīng)氐a*tj={j.a*f=U-AVlffici*p=J"所心直線起垂直十平面肛4平面與平面垂直的判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.已經(jīng)：直線2和平面必Q苴中I丄Q求證：◎丄/?.證明：設(shè)直線l的方向向量為平面a，卩的法向量分別為，（建立立體幾何問(wèn)題與向量之間的聯(lián)系，因?yàn)閘丄卩，所以 ，即k（eR（把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量問(wèn)題又lua,所以丄…? （把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量問(wèn)題所以k? …丄oa丄卩（把空間向量的結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論所以平面a與平面€互相垂直,5直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過(guò)該直線的任意一個(gè)平面與已知平面的交線與該直線平行.如圖所示已知a"口且在平面禺求證：a/,/b.證明■.■a//a,莊和口沒(méi)有公共點(diǎn).，又■.■6在口內(nèi)』-住和b也沒(méi)有公共點(diǎn)，而a和b都在時(shí)b住和b也沒(méi)有公共點(diǎn)af/b.

6平面與平面平行的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.如圖所示:已知口［］戸尸如圖所示:已知口［］戸尸=G,戸C尸=h證明:VL2$tlb分別在平面佑站且口"戸,価h不相交，又?.?昴葉都在平面炳bW.rh.另法如圖所示:已知吐丄比b丄化垂足分別為血、另法如圖所示:已知吐丄比b丄化垂足分別為血、E.求證：a.//b.證明：假設(shè)麻北不平行，過(guò)E點(diǎn)作吐的平行線W由異面直線垂直定義，M與平面口內(nèi)過(guò)點(diǎn)直的任意直線都垂直，也即有"丄圉bnb'=^故直線b與t■與確定一個(gè)平面，記煥口門(mén)0丸在平面內(nèi)，過(guò)E點(diǎn)有且僅有一條直線垂直于人故直線b與b重合，所以a//b.、平面與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面，如圖所示:已知€，B€nPBB內(nèi)，AB丄MN于B點(diǎn)。求證：AB丄€證明：在平面€內(nèi)做直線BC,MN,則…ABC是二面角€-MN-P的平面角，€丄卩,…ABC=90，?丫AB丄BC °又AB丄MN,AB丄€三垂線定理及逆定理〔三畢絞宦理）若平面內(nèi)的一泉宜線乖克T平百外的一條死錢(qián)在撅T面上⑴投躍?則這浙條宵線匝W.口冊(cè);如閔，魁平面話外的一殺虛線.直繪匸足J在平囲江/上的投斃?立線「與平百內(nèi)一有線」莊宜’求證T丄?久遠(yuǎn)朋尅閒線z土任點(diǎn)址平面疋的T足戢匚:爰TH綻當(dāng)趙Yd的力向向培分別是a，:臥秋亦只需址B丄也由于b.z捷面?棍據(jù)半面向戰(zhàn)越卒定理■存在實(shí)數(shù)A屮使卷&=加ifj.fl.則 a-心一壯＜1*亡；+尹冷-又店于隼丄—戰(zhàn)（T，c=D.園為直線”昶平面亍內(nèi)山丄仁故ri丄機(jī)厠n?”-心所戰(zhàn)a*i= Iif.另法證明：已知：如圖，直線1與平面€相交與點(diǎn),I在€上的射影垂直于aa?€求證：1丄a證明：過(guò)作垂直于€???丄a???丄a又a丄，o???a丄平面.?.a丄1

（三垂線定理的逆定理）若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線，則它垂直于這條直線在該平面內(nèi)的投影第二章解析幾何初步（無(wú)）數(shù)學(xué)必修四第一章三角函數(shù)誘導(dǎo)公式cos(-€)?cos€ tan(cos(-€)?cos€ tan(-€)?-tan€如圖：設(shè)€的終邊與單位圓（半徑為單位長(zhǎng)度1的圓）交于點(diǎn)，，則角€的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為'，y由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得€€€€所以：€ € €a公式：sin(兀,€)?-sin€COs(K,€)?公式：sin(兀,€)?-sin€COs(K,€)?-cos€tan(兀,€)?tan€它刻畫(huà)了角兀€與角€的正弦值（或余弦值）之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系是：以角€終邊的反向延長(zhǎng)線為終邊的角的正弦值（或余弦值）與角€的正弦值（或余弦值）關(guān)系，設(shè)角€終邊圓交于點(diǎn)，，則角€終邊的反向延長(zhǎng)線，即兀€角的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為’-（如圖）-由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得€ , € 兀€所以由倒數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可以得到有關(guān)正切的誘導(dǎo)公式。相關(guān)誘導(dǎo)公式公式一：設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:(2na)a$(2na)a$(2na)a$公式二：（na） —a （oa） —a （aa）a公式三：（一a） —a公式四：利用公式二和公式三可以得到na與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：（n—a）a （n—a）—a （n—a）—a公式五：利用公式一和公式三可以得到2na與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：(2n—a)—a (2n—a)a公式六：n/2土a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：(n/2a)a (n/2a)—a(2n—a) —a(n/2a) —a(n(2n—a) —a(n/2a) —a(n/2—a) a第二章平面向量1共線向量定理（例）內(nèi)容：如圖 為平面內(nèi)的三點(diǎn)，且線上，則有PC=€PA,（1-€第二章平面向量1共線向量定理（例）內(nèi)容：如圖 為平面內(nèi)的三點(diǎn)，且線上，則有PC=€PA,（1-€）丙不重合，點(diǎn)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，若在直證明：由題意，BC與BA共線,?BC=€BABC=PC-PB,BA=PA-PB?PC-PB=€(PA-PB)* A h - ?'化簡(jiǎn)為：PC=€PA，（1-€）PB、平面向量基本定理內(nèi)容：如果ei，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意一向量a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)€1，€2，使得a=€1ei,€2e2-證明：如圖過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)，作OA=嚴(yán)=e2,OC=a，過(guò)點(diǎn)分別作直線和直線的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，有且只有一組實(shí)數(shù)，使得OM=€OA,ON=€OB€OC=OM+ON1 亠 1 卜 1 F1??OC=€OA,€OB123平行向量定理（）內(nèi)容：若兩個(gè)向量（與坐標(biāo)軸不平行）平行，則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例若兩個(gè)向量相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則兩向量平行，—I —k證明：設(shè)%b是非零向量，且a=（Xi，孚b=（X2,打若a//b，則存在實(shí)數(shù)€使a=€b，且由平面向量基本定理可知+■—?- +■-*?? —?xi,yj =€(x i, yj) =€x i,€y j.112222?X1=€X2①，yi=€y2②①…y2-②…3得：Xiy2-孕1=0xx1=2若yi豐0,y2豐0（即向量a，b不與坐標(biāo)軸平行）則yi y2

、余弦定理證明內(nèi)容：在€ABC中，a，bc分別為角ABC的對(duì)邊，則a2=b2+c2一2bccosA<b2=a2+c2一2accosBc2=a2+b2一2abcosC證明：如圖在€ABC中，設(shè)AB=C,Be=a,AC=b則IacI2■■'—2AC?AB+AB=AC—2AC?ABcosA+AB2IacI2■■'—2AC?AB+AB=AC—2AC?ABcosA+AB2?a2=b2+?a2=b2+c2一2bccosA<b2=a2+c2一2accosBll—c2=a2+b2一2abcosC所以IIa2=b2+c2一2bccosA同理可證：lc2=a2+b2-2abcosC、點(diǎn)到直線距離公式證明（）已知直線!：Ax+By+C=^,點(diǎn)必）為直線外一點(diǎn)，求證：點(diǎn)M到.直線般距離為仁嗨2向量法證明:如圖所亦:M（起,必）是直線外一定點(diǎn)，是直線上任意一點(diǎn),由直線/\Ax+By+C=0,可以取它的方向v=（B,-A）,法向量找=（握思）,站單位向量&EE單位向量&EE于是，點(diǎn)M（心,必）到直線/:加+和+U二0的距離等于向量莎在亦方向上射影的長(zhǎng)度：

嵐噸罰+B（兀-刃A+弧5+By)后+護(hù)又因?yàn)閼酢病埃┦侵本€上/任意一點(diǎn)，所以U=-（Zx+By）故d=\A^+By^C\得證。J#+g2定義法證：如圖根據(jù)定義，點(diǎn)到直線1的距離是點(diǎn)到直線1的垂線段的長(zhǎng)，如圖，B設(shè)點(diǎn)到直線1的垂線為1',垂足為，由1'丄1可知1'的斜率為瓜y，y=-（x，x）???1'的方程： 0A0與1聯(lián)立方程組B2x一ABy一ACA2y一ABx一BCQ( 0 0 , 0 0 )解得交點(diǎn) A2?B2 A2?B2B2x-ABy-AC、ZA2y-ABx-BC、IPQI2=(0 0 —x)2+( 0 0 —y)2A2?B2 0 A2?B2 0廠A2x-ABy-AC、廠B2y-ABx-BC、=(00)2+(00)2A2(Ax?By?C)2B2(Ax?By?C)2(Ax?By?C)2=00+00=00(A2?B2)2 (A2?B2)2 A2?B2IAx?By?CIPQI= 0 0A2?B2第三章 三角恒等變形i證明：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，為頂點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為始邊分別作角a，pi證明：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，為頂點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為始邊分別作角a，p，且a>0?若a,設(shè)它們的終邊分別交單位圓于點(diǎn)、兩角差的余弦公式證明 （a-p）a0P作一單位圓，再以原點(diǎn)

p均為銳角時(shí)，as，sian)，p）,即有兩單位向量OP^OPjOP^OPjoascops+sia②iansipn ③由①②得②iansipn ③由誘導(dǎo)公式可證明當(dāng)a,p均為任意角時(shí)③式仍成立,2兩角和的余弦公式證明cos(,?卩)…COS[,-(-卩)](略)3、兩角和(差)的正弦公式證明內(nèi)容.sin(,?P)…sin,cosP?cos,sinP,sin(,-P)…sin,cosP-cos,sinP兀sin(兀sin(a?P)…cosly-(，?P)]…coscos與-,)cosP?sin(專-,)sin卩…sin,cosP+cos，sinPsin(,-卩)…cos[|-(,-P)]…cos吟-,)?P]…cos(|-,)cos卩-sinG-,)sinP…sin,cosP-cos,sinP4、兩角和(差)的正切公式證明tan(,+P)…tantanP tan(,-P)…血，—冋[內(nèi)容. 1-tan,tanP， 1?tan,tanP證明.tan(，tan(，+P)…卅sin,cosP+cos,sinPcos,cosP—sin,sinPsin,cosP cos,sinP+cos,cosPcos,cosPcos,cosPsin,sinPcos,cosPcos,cosPtan,+tanP1一tan,tanPtan(,tan(,-P)…sin(,-P)cos(,-P)sin,cosP-cos,sinPcos,cosP+sin,sinPsin,cosP cos,sinP_cos,cosP cos,cosPcos,cosP sin,sinP+cos,cosP cos,cosPtan,-tanP1+tan,tanP考題(201四0川理19)O證明兩角和的余弦公式C :cos(a+P)…cos,cosP-sin,sinP；,+PO由C推導(dǎo)兩角和的正弦公式S:sin(a+P)…sinacosP-cosasinP,+P ,+P解：①如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)做單位圓，并作出角a、B與B，使角a的始邊為，交?于點(diǎn)，終邊交?于；角B的始邊為，終邊交?于；角B的始邊為P終邊交?于.貝V(1 )， (a，a)，( (ap)， (ap))，( (p)， (p))由 及兩點(diǎn)間的距離公式，得(ap) (ap)展開(kāi)并整理得： (ap)??? (ap)apa②由①易得(na)a,TOC\o"1-5"\h\z€ €(ap) OS(ap) (Sa)(p)2 2(Sa) (p)(na) (p)22apap；數(shù)學(xué)必修五第一章數(shù)列1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式已知等差數(shù)列a的首項(xiàng)為?,公差為，證明數(shù)列a的通項(xiàng)公式為n1na=a,(n-1)dn 1證明：由等差數(shù)列的定義可知當(dāng)門(mén)王阿有a2-ai=d,a3-a2=d,a4-a3=d,an-an-l=d將上面門(mén)-1個(gè)等式的兩邊分別相加，得叫-的二％當(dāng)料=1時(shí)嚴(yán)】也適合上面的等式；.=昭+(川一l)rf說(shuō)明：用“疊加法”證明等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要驗(yàn)證對(duì)a同樣成立1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和內(nèi)容："“I是等差數(shù)列，公差為d,首項(xiàng)為°i,"n為其前項(xiàng)和，貝【J° n(n-1)丁n(a,a)S=an, d=i n—n1 2 2

證明：由題意，Sn,a]+叫+d)+叫+2d)+?……+匕+(n-1)d)①反過(guò)來(lái)可寫(xiě)為：Sn，an+（役-）+（叮"）+…?…+（一（“—1）"）②，a+n+a+n 汁a+n①②得：Sn €個(gè)—Jcn(a+a)i-2③,S， 1 ?—i-2③,所以，把a(bǔ)n,a1+（n-1）d代入③中，得的通項(xiàng)公式為、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式為已知等比數(shù)列a的首項(xiàng)為a,公比為，證明數(shù)列a1a，aqn-in1類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明，用“疊乘法”證明、等比數(shù)列前項(xiàng)和內(nèi)容：是等比數(shù)列，公比為q內(nèi)容：是等比數(shù)列，公比為q，首項(xiàng)為a1Sn為其n前項(xiàng)和，則na,(q，na,(q，1)1a-aqa(1-qn)1n，1 ,(q豐1)1€q1€q證明.S證明.S，a+aq+aq2++aqn-1①qSn，aqqSn，aq+aq2+aq3+ + aqn②①—②得：(1—q)S，a—aqnn1 1 ，當(dāng)q主1時(shí)，當(dāng)q主1時(shí)，Sna-aqn a(1-qn)= 1，―^-1€qa-aq，—1 n-1-q ③把a(bǔ)n，a1qn—1代入③中，得Sn 1-q當(dāng)q當(dāng)q=1時(shí)，很明顯Sn=化na,(q，1)1所以，Sa-所以，Sa-aqa(1-qn)1n，1 ,(q豐1)1€q1€q考題( 陜西文) 設(shè)表示數(shù)列｛a｝的前項(xiàng)和nnI若｛a｝為等差數(shù)列推導(dǎo)的計(jì)算公式nnII若a€1,q豐0且對(duì)所有正整數(shù) 有S€上聖判斷｛a｝是否為等比數(shù)列1 n1—q n解：I設(shè)公差為,a€a+(n—1)dn1廠S€a+a+?…+a+aTOC\o"1-5"\h\z<n 1 2 n，1 n=?2S =(a+a)+(a +a)+.…+(a +a)+(a +a)S=a+a+?…+a+an1n2 n—1 n-1 1n1n n n-1 2 1n(a+a) n—12S=n(a+a)?S=—=n(a+—d)n1nn212北師大版數(shù)學(xué)必修五--課-本證明方法）設(shè)S地等差數(shù)列:唧的項(xiàng)補(bǔ)即3丁=“|十燈-L切[+??*+劃―根鉗等墾數(shù)列仏」的通項(xiàng)公式.以輛展Sn+怙|+d）4-（dj+2.d）+?■*+[&]+5—I°再把項(xiàng)的次序反過(guò)來(lái)又可以寫(xiě)處&=?w+一+"s—2d）+…+[?w?5—1把①?②等兮兩邊分別和加”得2S.=I?】+§?。┦ㄏx(chóng)丄+華?4~?"+C箜1+如》=M（d】丄咖）L于墾?苜項(xiàng)為M?宋項(xiàng)為心項(xiàng)數(shù)為”的等總數(shù)列的胡料礦和VneN*,SqnVneN*,Sqn?a€S1—qn+1qnqn—qn+1€qnn=1,a=qn-1,n€N*qn-1 n>2n所以，數(shù)列｛a｝是首項(xiàng)ai=1，公比q豐1的等比數(shù)列,陜西理)1設(shè)｛a｝是公比為的等比數(shù)列n推導(dǎo)｛a｝的前項(xiàng)和公式nII設(shè)工II設(shè)工1,證明數(shù)列｛a+1｝不是等比數(shù)列n分兩種情況討論，上面兩式錯(cuò)位相減(1-分兩種情況討論，上面兩式錯(cuò)位相減(1-q)S=a+(a2-*1)+厲-化)…+(a-qa)-qan-1=a-qa.1n解：I①當(dāng)q=1時(shí)，數(shù)列｛a｝是首項(xiàng)為a的常數(shù)數(shù)列，所以S=a+aF Fa=na.1 n 1 1 1+qan-1 n②當(dāng)q豐1時(shí)，S=a+aH Fa+a,qS=qa+qa+qan-1 nn 1 2 n-1 n n 1 2a-qaa(1-qn),S=—1 n=“n1-qna,1③綜上，Sna,1③綜上，S=?a(1-qn)(q=1)—1 、1-q(q豐1)北師大版數(shù)學(xué)必修五課-本證明方法)設(shè) 設(shè) 呂(=血+收］馬+旳/+"?+盤(pán)［『_］.①的兩邊同乘曠側(cè)gS“=u】g+o 1+?1</.①的附邊分別減去②的兩邊?得S,,—gS*=?i<L—<f)+Srr(1—t/1=討l｛1—C/").由此得到毎】時(shí)?零比數(shù)列前打項(xiàng)和公式設(shè)｛a｝是公比工1的等比數(shù)列假設(shè)數(shù)列｛a€1｝是等比數(shù)列則nn當(dāng),ngN*，使得a+1成立，則｛a+1｝不是等比數(shù)列，nn當(dāng)?ngN*，使得a+1豐0成立，則41…-aiq-…恒為常數(shù)n a+1aqn-1+1n1na1qn+1…a1qn-1+1n當(dāng)豐0時(shí),q…1，這與題目條件工1矛盾，綜上兩種情況，假設(shè)數(shù)列｛a+1｝是等比數(shù)列均不成立，所以當(dāng)工1時(shí)數(shù)列｛a+1｝不是等比數(shù)nn列，第二章解三角形1、正弦定理證明(p45)內(nèi)容：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等abc即 sinAsinBsiiC已知：在AABC中，a,bc分別為角A,B,C的對(duì)邊，abc求證：sinAsinBsinC證明：方法1利用三角形的高證明正弦定理(1)當(dāng)AABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD,

根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CD€bsinAsinB，由此，得sinAsinB,同理可得sinsinB，故有sinAsinB根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CD€bsinAsinB，由此，得sinAsinB,同理可得sinsinB，故有sinAsinB€ —.從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.（2）當(dāng)AABC是鈍角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有=sin,B€sin,AB，CD€bsinA，由此，得sinAsin,AB，同理可得sinsin2AB故有sinAsin,AB sin(3)在RtAABC中,sinA=a,sinB=bcab= =csinAsinB，a_b€C=90°,sinC=1.…sinAsinBcsinC由(1)(2)(3)可知，在AABC中，sinAsinBsin 成立.方法2.外接圓證明正弦定理在AAB中已知B=A=AB=作AAB的外接圓為圓心連結(jié)B并延長(zhǎng)交圓于B'設(shè)BB'= 則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以得到ZBAB'=90°,Z=ZB‘，sin=sinB=sinC=sinB…=c2RcsinC=2Rab同理可得航=2%=2RabsinAsinBcsinC=2R這就是說(shuō)對(duì)于任意的三角形上述關(guān)系式均成立因此我們得到等式a_b_c -sinAsinBsinC方法3.向量法證明正弦定理

如圖2-3所示衛(wèi)A為朋點(diǎn)也J擻ABW方鶴為工軸正方向建立玄角坐標(biāo)S*C點(diǎn)在$軸上的射影為C：因?yàn)橄騣tsc與B?在，軸上的射影均為ic?i*ajsinijshiH?“wi】】 A-,柱=_*_sinA sinijshiH?“wi】】 A-,柱=_*_sinA 貳inli1同汕sinAsin(.''a__Z>_r苦inAsinBsinC"杵A為說(shuō)角或ftftj■也町比側(cè)到同樣的結(jié)論-方法4.等面積法（略）、余弦定理證明（p49）內(nèi)容：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦之積的兩倍，即<22=62+c2-2becosAb2=a2+c2-laccosBc2=a2+b2-labcosC證明：方法1向量法證明方法2三角形證明（過(guò)程如下考題）考題（陜西201年1文、理18）敘述并證明余弦定理，解余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦之積的兩倍，或：在€ 中， 為的對(duì)邊，有

+c2-2becos>lb2=a2+(?2-2accosBc2=a2+b2-labcosC證法一如圖a2€BC?BC=(AC—AB)?(AC—AB)=AC2—2AC?AB+AB2€AC—2|AC卜|AB<OSA+AB2亠b2，2bc□即a2€b2+c2—2bccosA同理可證b2€a2+c2—2accosB c2=a2+b2—2abcosC證法二已知?中所對(duì)邊分別為 以為原點(diǎn)， 所在直線為軸,建立直角坐標(biāo)系，則C(bcosA,bsinA),B(c,0).…a2€BC2€(bcosA一c)2+(bsinA)2€b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A€b2+c2一2bccosA同理可證b2€a2+c2，2accosBc2€a2+b2一2abcosC第三章不等式(無(wú))數(shù)學(xué)選修第一章常用邏輯用語(yǔ)(無(wú))第二章空間向量與立體幾何1、空間向量基本定理：如果向量卍“<1牛是空間三個(gè)不茯血的向量皿是空間任一阪

量，那么療在唯——組實(shí)數(shù)人* 兒準(zhǔn)得昨=;岸」+人刊+対氐.把向站€1?€-'HnHM肚總的制曲窩銅同一點(diǎn).0?諭F加國(guó)過(guò)點(diǎn)卩作―個(gè)￥面?分別平行于口和小訶彳「C*和爲(wèi)麗在的平而電得到一平行六面體遲卩」孑山壓豉K面體們條對(duì)俺線?橈co快仇:分剛號(hào)向蜀……茯筑■不難幷屮

3面面平行判定定理（例）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.證明如罔已知“厶皿迪平胃巧內(nèi)兩條相左的直線?且7壬 ?“平面口皿的法向量分別是Wj-?s，耍證rz/nt.貝需證曲”；ii.JLlti川dUm'硬向戢燈〃匸///汀八所以砒_皿血丄乩中J屮相交「農(nóng)向旦噸EL圮町的裁向城說(shuō)而有曲竹:.4三垂線定理（例）［三垂線宗理）帯平面內(nèi)抖一衆(zhòng)宜線乖克T-平百外的一條克紗在該屮面上們揑影-則這兩條宵線吃宵.匚翎:如圖A魁平丙x外的-條氏線丫直線「是血在平面江上的投宜線r與平面內(nèi)一宜線應(yīng)垂直.求證日丄乂遠(yuǎn)朋過(guò)盲我“上化點(diǎn)普平面匸的匝皺八沒(méi)宜線tt、S的加吋向量分機(jī)是」,?7-只需證"丄氐由干面■根據(jù)平面向量基本定理?存衽實(shí)數(shù)；屮使得心二扛十hH.則 dJb~X（a4f'u-；j\a-jz>.又店丁-」丄一故<t<<*=0-因?yàn)闁X級(jí)卅在平面”內(nèi)山丄疋?故<1丄殺即n*）?-■?所心「i=3.iiJdIt.考題（201陜2西理18題）（）如圖，證明命題"a是平面€內(nèi)的一條直線，b是€外的一條直線（b不垂直于€）,c是直線b在€上的投影，若a丄b,則a丄c"為真.（2）寫(xiě)出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明）【解析】（I）證法一如圖，過(guò)直線b上一點(diǎn)作平面€的垂線n，設(shè)直線a，b，c，n的方向向量分別是a，b，c，n

則b,c,n共面根據(jù)平面向量基本定理，存在實(shí)數(shù)€,卩使得c=kb+M,則a?c=a?（€b+pn）=€（a?b）+p（a?n），因?yàn)閍丄b，所以a-b=0，又因?yàn)閍u兀，n丄兀，所以a?n=0，故a?c=0，從而a丄c證法二如圖，記ccb=Ap為直線b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過(guò)P作PO丄兀垂足為0則Ogc?€PO丄兀，a匸兀<直線P0丄a，又a丄b，b匸平面PAOPOcb=P泌平面PA0,又c匸平面PA0，<a丄c（II）逆命題為：a是平面兀內(nèi)的一條直線，b是平面兀外的一條直線（b不垂直于兀），c是直線b在兀上的投影，若a丄b，則a丄c逆命題為真命