山東省萊蕪市魯?shù)V中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

山東省萊蕪市魯?shù)V中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某船開(kāi)始看見(jiàn)燈塔A時(shí)，燈塔A在船南偏東30°方向，后來(lái)船沿南偏東60°的方向航行45km后，看見(jiàn)燈塔A在船正西方向，則這時(shí)船與燈塔A的距離是（）A．15km B．30km C．15km D．15km參考答案：D【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示，求出∠CAB與∠ACB的度數(shù)，在三角形ABC中，利用正弦定理列出關(guān)系式，將各自的值代入即可求出BC的長(zhǎng)．【解答】解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示，可得∠DAB=60°，∠DAC=30°，AB=45km，∴∠CAB=30°，∠ACB=120°，在△ABC中，利用正弦定理得：∴BC=15（km），則這時(shí)船與燈塔的距離是15km．故選：D．2.知函數(shù)（）A．－1

B．

C．

D．參考答案：D3.已知直線,平面,且，給出下列命題：①若，則； ②若，則；③若，則； ④若，則.其中正確的命題是（

）A.①④ B.③④ C.①② D.②③參考答案：A4.下列命題中的假命題是（

）.A.

B.

C.

D.參考答案：C5.冪函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，則=(

)A.

B.2

C.

D.1參考答案：B略6.復(fù)數(shù)=（

）A

2

B

-2

C

D參考答案：A7.拋物線的準(zhǔn)線方程是

（

）A、

B、

C、

D、

參考答案：C8.已知橢圓，則以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為(

).A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.擲一枚骰子三次，所得點(diǎn)數(shù)之和為10的概率是(

)A、

B、

C、

D、參考答案：B10.拋物線在A（1，1）處的切線與y軸及該拋物線所圍成的圖形面積為（

）A.

B.

C.1

D.2參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且，則角

．參考答案：12.邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形的個(gè)數(shù)為

▲

.參考答案：3613.已知p：≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是非q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．參考答案：14.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M（﹣3，m）到焦點(diǎn)的距離為5，則m=

．參考答案：【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)拋物線的方程，求得準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義求得p的值，將x=﹣3代入拋物線方程，即可求得m的值．【解答】解：由題意設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=﹣2px，（p＞0），焦點(diǎn)F（﹣，0），準(zhǔn)線方程：x=，由拋物線的定義可知：M到焦點(diǎn)的距離與M到準(zhǔn)線的距離相等，則丨﹣3﹣丨=5，解得：p=4，則拋物線方程y2=﹣8x，當(dāng)x=﹣3時(shí)，y=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義及方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.若時(shí)，則__________．參考答案：【分析】結(jié)合將已知中的進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化，計(jì)算可得答案．【詳解】∵z＝3-4i，∴，∴z?．∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．16.設(shè)已知函數(shù)f（x）=|log2x|，正實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在區(qū)間[m，n2]上的最大值為4，則n+m=．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【專(zhuān)題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意可知﹣log2m=log2n，從而可得mn=1；從而解得．【解答】解：∵y=log2x在其定義域上單調(diào)遞增，又∵f（x）=|log2x|，且m＜n，f（m）=f（n），∴﹣log2m=log2n，∴mn=1；∵f（x）在區(qū)間[m，n2]上的最大值為4，∴2log2n=4，故n=4，m=，n+m=；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用及絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用．17.已知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最小值是

。參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.2017年5月13日第30屆大連國(guó)際馬拉松賽舉行，某單位的10名跑友報(bào)名參加了半程馬拉松、10公里健身跑、迷你馬拉松3個(gè)項(xiàng)目(每人只報(bào)一項(xiàng))，報(bào)名情況如下：項(xiàng)目半程馬拉松10公里健身跑迷你馬拉松人數(shù)235(其中：半程馬拉松21.0975公里，迷你馬拉松4.2公里)(1)從10人中選出2人，求選出的兩人賽程距離之差大于10公里的概率；(2)從10人中選出2人，設(shè)為選出的兩人賽程距離之和，求隨機(jī)變量的分布列.參考答案：(1)選出的兩人賽程距離之差大于10公里的概率.(2)；；；；；.隨機(jī)變量的分布列為：19.已知雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和,且(其中為原點(diǎn)),求的取值范圍. 參考答案：略20.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點(diǎn)（Ⅰ）求點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】（I）由題意，由于可證得CD⊥平面A1ABB1．故點(diǎn)C到平面的距離即為CD的長(zhǎng)度，易求；（II）解法一：由題意結(jié)合圖象，可通過(guò)作輔助線先作出二面角的平面角∠A1DD1，然后在直角三角形A1D1D中求出二面角的余弦；解法二：根據(jù)幾何體的形狀，可過(guò)D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD1兩兩垂直，則以D為原點(diǎn)，射線DB，DC，DD1分別為X軸、Y軸、Z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．給出各點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出兩平面的法向量，求出兩向量的夾角即為兩平面的夾角．【解答】解：（I）由AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，得CD⊥AB．又CD⊥AA1．故CD⊥平面A1ABB1．所以點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離為CD==（II）解法一：如圖1，取D1為A1B1的中點(diǎn)，連接DD1，則DD1∥AA1∥CC1．又由（I）知CD⊥平面A1ABB1．故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1為所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角．因A1D為A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂線定理的逆定理得AB1⊥A1D．從而∠A1AB1、∠A1DA都與∠B1AB互余．因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽R(shí)t△B1A1A．因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD?A1B1=8，得AA1=2，從而A1D==2．所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1===解法二：如圖2，過(guò)D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，射線DB，DC，DD1分別為X軸、Y軸、Z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．設(shè)直三棱柱的高為h，則A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h），B1（2，0，h），C（0，，0），C1（0，，h），從而=（4，0，h），=（2，，﹣h）由AB1⊥A1C，可得8﹣h2=0，h=2，故=（﹣2，0，2），=（0，0，2），=（0，，0）設(shè)平面A1CD的法向量為=（x1，y1，z1），則有⊥，⊥∴?=0且?=0，即，取z1=1，則=（，0，1）設(shè)平面C1CD的法向量為=（x2，y2，z2），則⊥，⊥，即且=0，取x2=1，得=（1，0，0），所以cos＜，＞===，所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值21.已知函數(shù)f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）（1）當(dāng)a=時(shí)，求f（x）的極值；（2）若a∈（，1），f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，試比較f（x1）+f（x2）與f（0）的大?。?）求證e＞n!（n≥2，n∈N）參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；（2）求出導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)，再求極值之和，構(gòu)造當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）=2lnt+﹣2，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到結(jié)論；（3）當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，設(shè)t=（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，運(yùn)用累加法和等差數(shù)列的求和公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可得證．【解答】解：（1）f（x）=ln（1+x）﹣，定義域解得x＞﹣2，f′（x）=﹣=，即有（﹣2，2）遞減，（2，+∞）遞增，故f（x）的極小值為f（2）=ln2﹣1，沒(méi)有極大值．（2）f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0），x＞﹣，f′（x）=﹣=由于＜a＜1，則a（1﹣a）∈（0，），﹣＜﹣ax2﹣4（1﹣a）=0，解得x=±，f（x1）+f（x2）=ln[1+2]+ln[1﹣2]﹣﹣即f（x1）+f（x2）=ln[（1﹣2a）2]+=ln[（1﹣2a）2]+﹣2

設(shè)t=2a﹣1，當(dāng)＜a＜1，0＜t＜1，則設(shè)f（x1）+f（x2）=g（t）=lnt2+﹣2，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）=2lnt+﹣2，g′（t）=﹣=＜0g（t）在0＜t＜1上遞減，g（t）＞g（1）=0，即f（x1）+f（x2）＞f（0）=0恒成立，綜上述f（x1）+f（x2）＞f（0）；（3）證明：當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，設(shè)t=（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，即有1＞ln2，2＞ln3，3＞ln4，…，n﹣1＞lnn，即有1+2+3+…+（n﹣1）＞ln2+ln3+ln4+…+lnn=ln（2×3×4×…×n）=ln（n!），則＞ln（n!），