機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)第一章課件

機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)第一章（優(yōu)選）機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)第一章31.確定性信號與隨機(jī)信號第一節(jié)信號的分類與描述一、信號的分類與描述周期信號：是按一定時(shí)間間隔周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)，無始無終的信號。（1）周期信號如，單自由度振動系統(tǒng)圖1-1確定性信號：信號可表為一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，因而可確定其任何時(shí)刻的量值；隨機(jī)信號：一種不能準(zhǔn)確預(yù)測其未來瞬時(shí)值，也無法用函數(shù)關(guān)系式來描述的信號，如汽車奔馳時(shí)產(chǎn)生的振動信號、環(huán)境噪聲等。周期信號——周期信號是定義在區(qū)間，每隔一定時(shí)間周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)的信號如圖所示。連續(xù)性的周期信號可表示為

x(t)=x(t+nT0)(n=0,1，2，…)離散性的周期信號可表示為

x(n)=x(n+mk)(m=0,1,2,…)

只要給出周期信號在任一周期的函數(shù)或波形，便可確知它在任一時(shí)刻的數(shù)值。例如集中參量的單自由度振動系統(tǒng)作無阻尼自由振動時(shí)，其位移x(t)可由公式確定質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)位置6確定信號中那些不具有周期重復(fù)性的信號稱為非周期信號。（2）非周期信號非周期信號——將確定性信號中那些不具有周期重復(fù)性的信號稱為非周期信號。包括準(zhǔn)周期信號和瞬變非周期信號兩種。

準(zhǔn)周期信號：由有限個(gè)周期信號合成的，但各周期分量之間無法找到公共周期，因而無法按某一時(shí)間間隔周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)。例如

是兩個(gè)正弦信號的合成，其頻率比

，不是有理數(shù)，不成諧波關(guān)系。

瞬變非周期信號——在一定時(shí)間區(qū)間內(nèi)存在，或隨著時(shí)間的增長而衰減至零的信號。如有阻尼振動系統(tǒng)的位移信號、用錘子敲擊物體時(shí)的敲擊力信號。圖2-4是后者的波形，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式(0<t<τ)μx2描述了信號的靜態(tài)量。二、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式其中，M、i分別為所采用的樣本記錄總數(shù)目和樣本記錄序號。求矩形窗函數(shù)的頻譜，函數(shù)如圖1-12所示。若時(shí)域周期為Ts，則頻域脈沖序列的周期為1/Ts；二、信號的時(shí)域描述和頻域描述1、瞬變非周期周期信號的頻譜是連續(xù)的——連續(xù)性。3）各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值或相位角。常稱為矩形窗函數(shù)，其頻譜為因ω0=2π/T0，當(dāng)n取整數(shù)時(shí)，nω0所對應(yīng)的點(diǎn)便均勻地分布在整個(gè)數(shù)軸上，兩相鄰點(diǎn)之間的距離Δω，即連續(xù)性的周期信號可表示為這時(shí)可用一個(gè)電容器與電壓表并接將交流分量旁路，但應(yīng)注意這個(gè)電容器對被測電路的影響因此為了研究信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值、相位關(guān)系，應(yīng)對信號進(jìn)行頻譜分析，把信號的時(shí)域描述通過適當(dāng)方法變成信號的時(shí)域描述，即以頻率為獨(dú)立變量來表示信號。例：求矩形窗函數(shù)w(t)的頻譜。第一節(jié)信號的分類與描述描述各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號的主要特征參數(shù)有：求矩形窗函數(shù)的頻譜，函數(shù)如圖1-12所示。集合平均——隨機(jī)過程的各種均值（均值、方差、均方值和均方根值）的計(jì)算是將集合中所有樣本函數(shù)對同一時(shí)刻的觀測值取平均。82.連續(xù)信號和離散信號連續(xù)信號：若信號數(shù)學(xué)表示式中的獨(dú)立變量取值是連續(xù)的離散信號：若獨(dú)立變量取離散值圖1-393.能量信號和功率信號能量信號：當(dāng)電壓信號滿足一定條件時(shí),認(rèn)為信號的能量是有限的，并稱之為能量有限信號。功率信號：若信號在區(qū)間（-∞，∞）的能量是無限的，但它在有限區(qū)間的平均功率是有限的,稱為功率有限信號。主要原因角速度按其旋轉(zhuǎn)方向可以為正或負(fù)，一個(gè)向量的實(shí)部可以看成為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反的矢量在其實(shí)軸上投影之和，而虛部則為虛軸上投影之差。因此為了研究信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值、相位關(guān)系，應(yīng)對信號進(jìn)行頻譜分析，把信號的時(shí)域描述通過適當(dāng)方法變成信號的時(shí)域描述，即以頻率為獨(dú)立變量來表示信號。當(dāng)T0→∞，則ω0=?ω→0，連續(xù)信號：若信號數(shù)學(xué)表示式中的獨(dú)立變量取值是連續(xù)的可見，周期信號是由一個(gè)或幾個(gè)，乃至無窮多個(gè)不同頻率的諧波疊加而成的。若:(時(shí)域信號)x(t)?X(?)(頻域信號)，則結(jié)果：x(t)與δ(t)的卷積等于x(t)。圖1-11非周期性信號描述各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號的主要特征參數(shù)有：3、周期信號的有效值（均方根值）、平均功率有效值是信號的均方根值xrms，即已知其中任意兩個(gè)可以求第三個(gè)可用三值電壓表來測量，也可用普通的電工儀表來測量。二、信號的時(shí)域描述和頻域描述顯然，T0越大，xT(t)與x(t)相等的區(qū)間就越大，當(dāng)T0→∞時(shí)，周期函數(shù)xT(t)就轉(zhuǎn)化為非周期函數(shù)x(t)了，即5指數(shù)函數(shù)的頻譜若x(t)是實(shí)函數(shù)，則X(?)是復(fù)函數(shù)；x(t)——樣本函數(shù),T——觀察時(shí)間準(zhǔn)周期信號：由有限個(gè)周期信號合成的，但各周期分量之間無法找到公共周期，因而無法按某一時(shí)間間隔周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)。信號非確定性信號平穩(wěn)隨機(jī)過程非平穩(wěn)隨機(jī)過程非周期信號瞬變非周期信號準(zhǔn)周期信號復(fù)雜周期信號簡單周期信號周期信號確定性信號個(gè)態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程非個(gè)態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程11第一節(jié)信號的分類與描述二、信號的時(shí)域描述和頻域描述直接測試或記錄到的信號，一般是以時(shí)間為獨(dú)立變量的，稱其為信號的時(shí)域描述。如圖1-4所示。圖1-4信號的時(shí)域描述能夠反映信號幅值隨時(shí)間的變化關(guān)系，但是不能明顯揭示信號的頻率組成關(guān)系；因此為了研究信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值、相位關(guān)系，應(yīng)對信號進(jìn)行頻譜分析，把信號的時(shí)域描述通過適當(dāng)方法變成信號的時(shí)域描述，即以頻率為獨(dú)立變量來表示信號。

用坐標(biāo)圖描述信號時(shí)，若橫坐標(biāo)為時(shí)間t，縱坐標(biāo)為幅值的描述方式稱為時(shí)域描述。若橫坐標(biāo)為頻率f(或圓頻率ω)，則稱為頻域描述。這時(shí)實(shí)際上也是將信號中的各頻率成分按序排列，故稱之為信號的“頻譜”。對橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為幅值的稱為幅頻譜；而對橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為相位的稱為相頻譜，圖為一個(gè)簡諧信號的時(shí)域及幅頻譜、相頻譜的圖形。信號時(shí)域波形信號頻域幅頻譜13第一節(jié)信號的分類與描述二、信號的時(shí)域描述和頻域描述圖1-5表示的周期方波的時(shí)域圖形、幅頻譜和相頻譜三者之間的關(guān)系。圖1-5信號的時(shí)域描述能夠直觀地反映信號瞬時(shí)值隨時(shí)間的變換情況，而頻域描述則反映信號的頻率組成及幅值、相位大小。思考：（1）評定機(jī)器振動烈度用時(shí)域描述還是頻域描述？（2）尋找機(jī)器振動根源用時(shí)域描述還是頻域描述？時(shí)域描述頻域描述15第二節(jié)周期信號與離散頻譜一、傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式在有限區(qū)間內(nèi)，凡滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)都可以展開成傅里葉級數(shù)。周期性三角函數(shù)（如圖1-6所示）圖1-6傅立葉級數(shù)——任何周期信號在有限區(qū)間上，當(dāng)其滿足狄里赫利條件時(shí)，都可展開成一系列正交函數(shù)的線性組合的無窮級數(shù)。傅立葉級數(shù)有多種形式三角展開式、復(fù)指數(shù)展開式是常見的形式傅立葉級數(shù)三角展開式把x(t)展開成下式展開過程如下：式中a0—常值分量

an—余弦分量的幅值

bn—正弦分量的幅值

T0—周期；

ω0—圓頻率，

n＝1，2，3，…

——n次諧波的振幅；

可見，周期信號是由一個(gè)或幾個(gè)，乃至無窮多個(gè)不同頻率的諧波疊加而成的。其中第一項(xiàng)a0是常值項(xiàng)，它是周期信號中所包含的直流分量；

第二項(xiàng)中

稱為諧波，An是n次諧波的振幅，φn是其初相角。

∑表示周期信號可以分解為各次諧波之和。

通常把ω0稱為基頻，n是整數(shù)序列，各次諧波成份的頻率都是ω0的整倍數(shù)。相鄰頻率的間隔△ω＝ω0＝2π/T0

。三角展開式中

——n次諧波的振幅；19第二節(jié)周期信號與離散頻譜一、傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式20第二節(jié)周期信號與離散頻譜一、傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式周期性三角波的頻譜圖如圖1-7所示。圖1-7

用正交函數(shù)集來表示周期信號，另一種常用的方法是傅立葉級數(shù)的指數(shù)表示法，稱為指數(shù)傅立葉級數(shù)。三角級數(shù)與指數(shù)級數(shù)并不是兩種不同類型的級數(shù)，而只是同一級數(shù)的兩種不同的表示方法。指數(shù)級數(shù)形式比三角級數(shù)形式更簡化更便于計(jì)算。根據(jù)歐拉公式第二節(jié)周期信號與離散頻譜二、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式然而，由于刻度過程實(shí)際上相當(dāng)于把檢波電路輸出和簡諧信號有效值的關(guān)系“固化”在電壓表中。二、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式隨機(jī)過程分類：平穩(wěn)隨機(jī)過程和非平穩(wěn)隨機(jī)過程。求和運(yùn)算可用積分運(yùn)算來取得，對橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為幅值的稱為幅頻譜；式中

M——樣本記錄總數(shù)描述各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號的主要特征參數(shù)有：μx2描述了信號的靜態(tài)量。連續(xù)信號：若信號數(shù)學(xué)表示式中的獨(dú)立變量取值是連續(xù)的準(zhǔn)周期信號：由有限個(gè)周期信號合成的，但各周期分量之間無法找到公共周期，因而無法按某一時(shí)間間隔周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)。各頻率分量的幅值當(dāng)T0→∞時(shí)，Δω→0（即ω0→0），以T0=2π/Δω代入式（1-X1）得式中┃X(f)┃為信號x(t)的連續(xù)幅值譜，(f)為信號x(t)的連續(xù)相位譜。定義幅值概率密度函數(shù)P(x)為隨機(jī)過程與樣本函數(shù)如圖1-21所示。能量信號：當(dāng)電壓信號滿足一定條件時(shí),認(rèn)為信號的能量是有限的，并稱之為能量有限信號。故知時(shí)域的δ函數(shù)具有無限寬廣頻帶的頻譜，而且在所有的頻段上都是等強(qiáng)度，這種頻譜常稱為“均勻譜”對于任意兩個(gè)函數(shù)x1(t)和x2(t)，定義它們的卷積為：當(dāng)T0→∞時(shí)，Δω→0（即ω0→0），以T0=2π/Δω代入式（1-X1）得離散性的周期信號可表示為則所以可以寫為令則或式中一般情況下Cn是復(fù)數(shù)，可以寫成式中與共軛即周期信號傅立葉級數(shù)兩種展開式之間的比較負(fù)頻率說明主要原因角速度按其旋轉(zhuǎn)方向可以為正或負(fù)，一個(gè)向量的實(shí)部可以看成為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反的矢量在其實(shí)軸上投影之和，而虛部則為虛軸上投影之差。26第二節(jié)周期信號與離散頻譜二、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式正、余弦函數(shù)的頻譜圖如圖1-9所示。圖1-927第二節(jié)周期信號與離散頻譜二、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式周期信號的頻譜具有三個(gè)特點(diǎn)：1）周期信號的頻譜是離散的。2）每條頻譜只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)。3）各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值或相位角。離散性、諧波性、收斂性x1(t)*x2(t)?X1(?)X2(?)根據(jù)集合平均和時(shí)間平均的關(guān)系不同可對隨機(jī)過程進(jìn)行分類。頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)，它具有單位頻帶振幅的量綱周期信號的均值表示信號的常值分量也就是信號的直流分量將上式代入周期信號傅立葉復(fù)指數(shù)展開式中復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（ω從-∞到+∞），三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜（ω從0到+∞）n＝1，2，3，…而平穩(wěn)隨機(jī)信號又分為各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)過程和非各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)過程連續(xù)信號：若信號數(shù)學(xué)表示式中的獨(dú)立變量取值是連續(xù)的3周期單位脈沖序列的頻譜虛頻譜圖CnI——ω因?yàn)樾盘柺侵芷诮蛔兊?，如果交流頻率較高，交流成分只影響表．針的微小晃動，不影響均值讀數(shù)。離散性的周期信號可表示為二、隨機(jī)信號的主要特征參數(shù)n＝1，2，3，…若x(t)為虛奇函數(shù)，則ImX(?)=0，而X(?)是虛奇函數(shù)。二、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式隨機(jī)過程分類：平穩(wěn)隨機(jī)過程和非平穩(wěn)隨機(jī)過程。5指數(shù)函數(shù)的頻譜例：求圖示周期方波的傅立葉級數(shù)展開式，并做相應(yīng)幅頻相頻譜周期方波函數(shù)表達(dá)式：周期信號的強(qiáng)度以峰值、絕對均值、有效值和平均功率來表述。包括準(zhǔn)周期信號和瞬變非周期信號兩種。因此為了研究信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值、相位關(guān)系，應(yīng)對信號進(jìn)行頻譜分析，把信號的時(shí)域描述通過適當(dāng)方法變成信號的時(shí)域描述，即以頻率為獨(dú)立變量來表示信號。頻譜的第一個(gè)過零點(diǎn)為窗長的倒數(shù)頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)，它具有單位頻帶振幅的量綱2、周期信號的均值、絕對均值這種關(guān)系不適用于非單一簡諧信號，因?yàn)殡S著波形的不同，各類檢波電路輸出和信號有效值的關(guān)系已經(jīng)改變了，從而造成電壓表在測量復(fù)雜信號有效值時(shí)的系統(tǒng)誤差。指數(shù)級數(shù)形式比三角級數(shù)形式更簡化更便于計(jì)算。因此為了研究信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值、相位關(guān)系，應(yīng)對信號進(jìn)行頻譜分析，把信號的時(shí)域描述通過適當(dāng)方法變成信號的時(shí)域描述，即以頻率為獨(dú)立變量來表示信號。通常把ω0稱為基頻，n是整數(shù)序列，各次諧波成份的頻率都是ω0的整倍數(shù)。3、正、余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)2、周期信號的均值、絕對均值實(shí)頻譜圖CnR——ω例求圖中周期性三角波的傅立葉級數(shù)。均方值的正平方根稱為均方根值,即xrms=ψx2頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)，它具有單位頻帶振幅的量綱因此為了研究信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值、相位關(guān)系，應(yīng)對信號進(jìn)行頻譜分析，把信號的時(shí)域描述通過適當(dāng)方法變成信號的時(shí)域描述，即以頻率為獨(dú)立變量來表示信號。隨機(jī)過程與樣本函數(shù)如圖1-21所示。頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)，它具有單位頻帶振幅的量綱有：

其波形、幅值譜和相位譜分別如下圖所示：

方波信號的波形、幅值譜和相位譜例求圖中周期性三角波的傅立葉級數(shù)。

解:在的一個(gè)周期信號可表示為常值分量的幅值余弦分量的幅值為正弦分量的幅值為隨機(jī)過程與樣本函數(shù)如圖1-21所示。連續(xù)信號：若信號數(shù)學(xué)表示式中的獨(dú)立變量取值是連續(xù)的二、隨機(jī)信號的主要特征參數(shù)x1(t)*x2(t)?X1(?)X2(?)若x(t)是實(shí)函數(shù)，則X(?)是復(fù)函數(shù)；隨機(jī)信號是不能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述的，不能預(yù)測其未來的任何瞬時(shí)值。該周期性三角波信號的頻譜圖如圖2-7所示。用傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式表示：實(shí)際上只能從其中截取有限時(shí)間的樣本記錄來計(jì)算出相應(yīng)的特征參數(shù)(稱為樣本參數(shù))，并用它們來作為隨機(jī)信號特征參數(shù)的估計(jì)值。其諧波幅值總的趨勢是隨諧波次數(shù)的增高而減少——收斂性。例如

是兩個(gè)正弦信號的合成，其頻率比

，不是有理數(shù)，不成諧波關(guān)系。(—)均值x、方差x2和均方值x22）每條頻譜只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)。顯然，T0越大，xT(t)與x(t)相等的區(qū)間就越大，當(dāng)T0→∞時(shí)，周期函數(shù)xT(t)就轉(zhuǎn)化為非周期函數(shù)x(t)了，即隨機(jī)信號是不能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述的，不能預(yù)測其未來的任何瞬時(shí)值。例求圖中周期性三角波的傅立葉級數(shù)。根據(jù)集合平均和時(shí)間平均的關(guān)系不同可對隨機(jī)過程進(jìn)行分類。樣本記錄——對隨機(jī)信號按時(shí)間歷程所作的各次有限長時(shí)間觀測記錄被稱為樣本記錄。相頻譜——是指周期信號各諧波分量的初相與頻率之間的關(guān)系。準(zhǔn)周期信號：由有限個(gè)周期信號合成的，但各周期分量之間無法找到公共周期，因而無法按某一時(shí)間間隔周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)。該周期性的傅立葉級數(shù)展開為

各頻率分量的幅值

各頻率分量的相位

該周期性三角波信號的頻譜圖如圖2-7所示。從幅頻圖上可見諧波的幅值是以的規(guī)律收斂。例畫出余弦、正弦函數(shù)的頻譜圖。解：根據(jù)式11-12得余弦函數(shù)只有實(shí)頻譜圖，且與軸偶對稱；正弦函數(shù)只有虛頻譜圖，且與軸奇對稱；周期信號的頻域描述小結(jié)一）幅頻譜幅頻譜——是指周期信號各諧波分量的幅值與頻率或角頻率之間的關(guān)系例如單邊幅頻譜圖An——ω

雙邊幅頻譜圖│Cn│——ω

實(shí)頻譜圖CnR——ω

虛頻譜圖CnI——ω二）相頻譜相頻譜——是指周期信號各諧波分量的初相與頻率之間的關(guān)系。如 單邊相頻譜雙邊相頻譜

φn——ω40周期信號的強(qiáng)度以峰值、絕對均值、有效值和平均功率來表述。第二節(jié)周期信號與離散頻譜三、周期信號的強(qiáng)度表述周期信號的強(qiáng)度描述（時(shí)域描述）周期信號的強(qiáng)度描述主要以峰值、絕對均值和平均功率來描述1、峰值xp

峰值xp是信號可能出現(xiàn)的最大瞬時(shí)值峰—峰值xp-p是在一個(gè)周期中最大瞬時(shí)值與最小瞬時(shí)值之差。對信號的峰值和峰—峰值應(yīng)有足夠的估計(jì)，以便確定測量系統(tǒng)的動態(tài)c測量范圍。一般希望信號的峰-峰值在測量系統(tǒng)的線性區(qū)域內(nèi)，使所觀測(記錄)到的信號正比于被測量的變化狀態(tài)。如果進(jìn)入非線性區(qū)域，則信號將發(fā)生畸變，結(jié)果不但不能正比于被測信號的幅值，而且會增生大量諧波。2、周期信號的均值、絕對均值周期信號的均值表示信號的常值分量也就是信號的直流分量周期信號全波整流后的均值就是絕對均值

3、周期信號的有效值（均方根值）、平均功率有效值是信號的均方根值xrms，即有效值的平方——均方值就是信號的平均功率Pav，即反映了信號功率的大小。表1-2中幾種典型周期信號上述各值之間的數(shù)量關(guān)系。從表中可見，信號的均值、絕對均值、有效值和峰值之間的關(guān)系隨波形的不同而異。

信號的峰值xp、絕對均值

和有效值xrms。可用三值電壓表來測量，也可用普通的電工儀表來測量。峰值：用能記憶瞬峰示值的儀表或示波器來測量，也可根據(jù)波形折算。均值：用直流電壓表測量。因?yàn)樾盘柺侵芷诮蛔兊?，如果交流頻率較高，交流成分只影響表．針的微小晃動，不影響均值讀數(shù)。當(dāng)頻率低時(shí)，表針將產(chǎn)生擺動，影響讀數(shù)。這時(shí)可用一個(gè)電容器與電壓表并接將交流分量旁路，但應(yīng)注意這個(gè)電容器對被測電路的影響（1）評定機(jī)器振動烈度用時(shí)域描述還是頻域描述？故知時(shí)域的δ函數(shù)具有無限寬廣頻帶的頻譜，而且在所有的頻段上都是等強(qiáng)度，這種頻譜常稱為“均勻譜”離散信號：若獨(dú)立變量取離散值隨機(jī)信號是不能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述的，不能預(yù)測其未來的任何瞬時(shí)值。直接測試或記錄到的信號，一般是以時(shí)間為獨(dú)立變量的，稱其為信號的時(shí)域描述。因此為了研究信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值、相位關(guān)系，應(yīng)對信號進(jìn)行頻譜分析，把信號的時(shí)域描述通過適當(dāng)方法變成信號的時(shí)域描述，即以頻率為獨(dú)立變量來表示信號。故知時(shí)域的δ函數(shù)具有無限寬廣頻帶的頻譜，而且在所有的頻段上都是等強(qiáng)度，這種頻譜常稱為“均勻譜”因?yàn)樾盘柺侵芷诮蛔兊?，如果交流頻率較高，交流成分只影響表．針的微小晃動，不影響均值讀數(shù)。根據(jù)傅里葉變換的對稱性質(zhì)和時(shí)移、頻移性質(zhì)，可以得到下列傅里葉變換對：周期信號的強(qiáng)度描述主要以峰值、絕對均值和平均功率來描述第二項(xiàng)中

稱為諧波，An是n次諧波的振幅，φn是其初相角。3、各頻率分量的譜線的高度表示該諧波的幅值。若x(t)?X(?)，則在時(shí)域中信號沿時(shí)間軸平移一常值t0，則（時(shí)移）一般X(f)是實(shí)變量f的復(fù)變函數(shù)。三、周期信號的強(qiáng)度表述離散信號：若獨(dú)立變量取離散值1、瞬變非周期周期信號的頻譜是連續(xù)的——連續(xù)性。這時(shí)可用一個(gè)電容器與電壓表并接將交流分量旁路，但應(yīng)注意這個(gè)電容器對被測電路的影響例：單邊指數(shù)衰減函數(shù)的頻譜信號持續(xù)時(shí)間壓縮k倍(k>1)，則信號的頻寬擴(kuò)寬k倍，而幅值變?yōu)樵瓉淼?/k。有效值：雖然一般的交流電壓表均按有效值刻度，但其輸出量(例如指針的偏轉(zhuǎn)角)并不一定和信號的有效值成比例，而是隨著電壓表的檢波電路的不同，其輸出量可能與信號的有效值成正比例，也可能與信號的峰值或絕對均值成比例。不同檢波電路的電壓表上的有效值刻度，都是依照單一簡諧信號來刻度的。這保證了用各種電壓表在測量單一簡諧信號時(shí)都能正確測得信號的有效值，獲得一致的讀數(shù)。然而，由于刻度過程實(shí)際上相當(dāng)于把檢波電路輸出和簡諧信號有效值的關(guān)系“固化”在電壓表中。這種關(guān)系不適用于非單一簡諧信號，因?yàn)殡S著波形的不同，各類檢波電路輸出和信號有效值的關(guān)系已經(jīng)改變了，從而造成電壓表在測量復(fù)雜信號有效值時(shí)的系統(tǒng)誤差。這時(shí)應(yīng)根據(jù)檢波電路和波形來修正有效值讀數(shù)。46第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜通常所說的非周期信號是指瞬變非周期信號如圖1-11所示。圖1-11a為矩形脈沖信號，圖1-11b為指數(shù)衰減信號，圖1-11c為衰減振蕩，圖1-11d為單一脈沖。一、傅里葉變換

圖1-11非周期性信號瞬變非周期信號的譜密度與傅立葉變換一）公式推導(dǎo)一個(gè)非周期函數(shù)x(t)可以看成是某一周期函數(shù)xT(t)，當(dāng)周期無限大時(shí)轉(zhuǎn)化而來的?，F(xiàn)設(shè)周期為T0的函數(shù)xT(t)，使其在[-T0/2，T0/2]區(qū)間內(nèi)等于x(t)，而在[-T0/2，T0/2]區(qū)間外，按周期T0延拓，如圖a、b、c所示。顯然，T0越大，xT(t)與x(t)相等的區(qū)間就越大，當(dāng)T0→∞時(shí)，周期函數(shù)xT(t)就轉(zhuǎn)化為非周期函數(shù)x(t)了，即

將上式代入周期信號傅立葉復(fù)指數(shù)展開式中(1-X1)因ω0=2π/T0，當(dāng)n取整數(shù)時(shí)，nω0所對應(yīng)的點(diǎn)便均勻地分布在整個(gè)數(shù)軸上，兩相鄰點(diǎn)之間的距離Δω，即

Δω=nω0－(n-1)ω0=2π/T0當(dāng)T0→∞時(shí)，Δω→0（即ω0→0），以T0=2π/Δω代入式（1-X1）得由于ω0→0，所以nω0所對應(yīng)的點(diǎn)連續(xù)分布在整個(gè)數(shù)軸上，成為連續(xù)變量ω，以致離散譜線的頂點(diǎn)最后演變成一條連續(xù)曲線。所以瞬變非周期信號的頻譜是連續(xù)的。

由于π/Δω→∞，xT(t)→x(t)，則上式可寫成

若令

代入上式，當(dāng)Δω→0，根據(jù)積分定義，則傅里葉變換，傅里葉逆變換，兩者互稱傅里葉變換對。

把ω=2πf代人式中，消去1/2

這樣就避免了在傅里葉變換中出現(xiàn)1/2π的常數(shù)因子，使公式形式簡化，其關(guān)系是

一般X(f)是實(shí)變量f的復(fù)函數(shù)：

式中┃X(f)┃為信號x(t)的連續(xù)幅值譜，(f)為信號x(t)的連續(xù)相位譜。由于當(dāng)周期無限增長時(shí)，各頻率分量的幅度也都趨近于無窮小，因此┃X(f)┃不是頻率為f的分量的幅值，而是f分量鄰近單位頻寬上的幅值，量綱是單位頻率的幅值。它類似于物質(zhì)的密度定義，故稱┃X(f)┃為頻譜密度。為了方便，仍稱┃X(f)┃為頻譜。頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)，它具有單位頻帶振幅的量綱小結(jié):

把非周期信號：周期T0

→∞的周期信號周期信號x(t)，周期為T0，則其頻譜是離散譜，而相鄰諧波之間的頻率間隔為?ω=ω0=2π/T0。當(dāng)T0→∞，則ω0=?ω→0，信號頻譜譜線間隔?ω=ω0→0，無限縮小，相鄰諧波分量無限接近，離散參數(shù)nω0可用連續(xù)變量ω來代替，離散頻譜變成了連續(xù)頻譜，求和運(yùn)算可用積分運(yùn)算來取得，所以非周期信號的頻譜是連續(xù)的。

例：求矩形窗函數(shù)w(t)的頻譜。解：函數(shù)w(t)(圖2-12)的表達(dá)式為常稱為矩形窗函數(shù)，其頻譜為將代入上式得該周期性三角波信號的頻譜圖如圖2-7所示。若x(t)為實(shí)偶函數(shù)，則ImX(?)=0，而X(?)是實(shí)偶函數(shù)，即X(?)=ReX(?)；常見的四種隨機(jī)信號如圖1-23所示。實(shí)際上只能從其中截取有限時(shí)間的樣本記錄來計(jì)算出相應(yīng)的特征參數(shù)(稱為樣本參數(shù))，并用它們來作為隨機(jī)信號特征參數(shù)的估計(jì)值。第二項(xiàng)中

稱為諧波，An是n次諧波的振幅，φn是其初相角。當(dāng)ε→0時(shí)，Sε(t)的極限就稱為單位脈沖函數(shù)，記作δ(t)，即（單位脈沖函數(shù)）。信號持續(xù)時(shí)間壓縮k倍(k>1)，則信號的頻寬擴(kuò)寬k倍，而幅值變?yōu)樵瓉淼?/k。其中第一項(xiàng)a0是常值項(xiàng)，它是周期信號中所包含的直流分量；相鄰諧波分量無限接近，當(dāng)脈沖函數(shù)為δ(t±t0)時(shí)，與函數(shù)x(t)的卷積雙邊幅頻譜圖│Cn│——ω各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程：在平穩(wěn)隨機(jī)過程中，任一單個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均統(tǒng)計(jì)特征等于該過程的集合平均統(tǒng)計(jì)特征信號的時(shí)域和頻域描述依靠傅里葉變換來確立彼此一一對應(yīng)的關(guān)系該信號在信號分析中很有用，它有很多名稱，采樣函數(shù)、抽樣函數(shù)、濾波函數(shù)、內(nèi)插函數(shù)等。若x1(t)?X1(?)，x2(t)?X2(?)，則將上式代入周期信號傅立葉復(fù)指數(shù)展開式中第二節(jié)周期信號與離散頻譜矩形窗函數(shù)利用歐拉公式這里定義森克函數(shù)57求矩形窗函數(shù)的頻譜，函數(shù)如圖1-12所示。圖1-12

W(f)函數(shù)只有實(shí)部，沒有虛部。其相位譜視sinc(πfT)的符號而定。當(dāng)sinc(πfT)為正值時(shí)相角為零，當(dāng)sinc(πfT)為負(fù)值時(shí)相角為π。該信號在信號分析中很有用，它有很多名稱，采樣函數(shù)、抽樣函數(shù)、濾波函數(shù)、內(nèi)插函數(shù)等。特點(diǎn)：1.以2π為周期，隨自變量增大而做衰減振蕩。2.sinc函數(shù)為偶函數(shù)3.時(shí)域有限，頻域無限4.值為窗的面積；頻譜的第一個(gè)過零點(diǎn)為窗長的倒數(shù)這里定義森克函數(shù)59

sincθ的圖像例：單邊指數(shù)衰減函數(shù)的頻譜周期和非周期信號幅值譜的區(qū)別

|X(?)|為連續(xù)頻譜，而|Cn|為離散頻譜；|Cn|的量綱和信號幅值的量綱一致，即cm(振幅)，而|X(j?)|的量綱相當(dāng)于|Cn|/?，為單位頻寬上的幅值，即“頻譜密度函數(shù)”，cm/Hz（振幅/頻率）。

非周期函數(shù)它包含了從零到無窮大的所有頻率分量（連續(xù)譜），各頻率分量的幅值為X(f)df——是無窮小量，所以非周期信號頻譜不能再用幅值表示，而必須用頻譜密度函數(shù)X(f)描述。621.奇偶虛實(shí)性二、傅里葉變換的主要性質(zhì)

一般X(f)是實(shí)變量f的復(fù)變函數(shù)。它可以寫成一個(gè)信號的時(shí)域描述和頻域描述依靠傅里葉變換來確立彼此一一對應(yīng)的關(guān)系。當(dāng)T0→∞時(shí)，Δω→0（即ω0→0），以T0=2π/Δω代入式（1-X1）得當(dāng)sinc(πfT)為正值時(shí)相角為零，當(dāng)sinc(πfT)為負(fù)值時(shí)相角為π。求矩形窗函數(shù)的頻譜，函數(shù)如圖1-12所示。2）每條頻譜只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)。若x(t)是實(shí)函數(shù)，則X(?)是復(fù)函數(shù)；時(shí)域中，幅值為1頻域中，幅值為1/Ts信號持續(xù)時(shí)間壓縮k倍(k>1)，則信號的頻寬擴(kuò)寬k倍，而幅值變?yōu)樵瓉淼?/k。余弦函數(shù)只有實(shí)頻譜圖，且與軸偶對稱；平穩(wěn)隨機(jī)過程：指其統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)不隨時(shí)間而變化的隨機(jī)過程；直接測試或記錄到的信號，一般是以時(shí)間為獨(dú)立變量的，稱其為信號的時(shí)域描述。若x(t)是實(shí)函數(shù)，則X(?)是復(fù)函數(shù)；這時(shí)實(shí)際上也是將信號中的各頻率成分按序排列，故稱之為信號的“頻譜”。一、傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式顯然，T0越大，xT(t)與x(t)相等的區(qū)間就越大，當(dāng)T0→∞時(shí)，周期函數(shù)xT(t)就轉(zhuǎn)化為非周期函數(shù)x(t)了，即所以非周期信號的頻譜是連續(xù)的。若:(時(shí)域信號)x(t)?X(?)(頻域信號)，則式中，Ts—周期，n—整數(shù)，準(zhǔn)周期信號：由有限個(gè)周期信號合成的，但各周期分量之間無法找到公共周期，因而無法按某一時(shí)間間隔周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)。若x(t)?X(?)，則在時(shí)域中信號沿時(shí)間軸平移一常值t0，則（時(shí)移）一、傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式二。傅立葉變換的主要性質(zhì)若x(t)是實(shí)函數(shù)，則X(?)是復(fù)函數(shù)；若x(t)為實(shí)偶函數(shù)，則ImX(?)=0，而X(?)是實(shí)偶函數(shù)，即X(?)=ReX(?)；若x(t)為實(shí)奇函數(shù)，則ReX(?)=0，而X(?)是虛偶函數(shù)，即X(?)＝－

ImX(?)＝－X(-?)；若x(t)為虛偶函數(shù)，則ReX(?)=0，而X(?)是實(shí)奇函數(shù)；若x(t)為虛奇函數(shù)，則ImX(?)=0，而X(?)是虛奇函數(shù)。(1).奇偶虛實(shí)性信號的時(shí)域和頻域描述依靠傅里葉變換來確立彼此一一對應(yīng)的關(guān)系(2).對稱互易性若:(時(shí)域信號)x(t)?X(?)(頻域信號)，則X(t)?x(-?)

(3).尺度特性若x(t)?X(?)，則

x(kt)?

1/|k|·X(?/k)

信號持續(xù)時(shí)間壓縮k倍(k>1)，則信號的頻寬擴(kuò)寬k倍，而幅值變?yōu)樵瓉淼?/k。

T為窗的寬度

k=1k=3(4).時(shí)移、頻移特性若x(t)?X(?)，則在時(shí)域中信號沿時(shí)間軸平移一常值t0，則（時(shí)移）

如果信號在時(shí)域中延遲了時(shí)間t0，其頻譜幅值不會改變，而相頻譜中各次諧波的相移-2π?t0，與頻率成正比在頻域中信號沿頻率軸平移一常值?0，則（頻移）(5).卷積特性對于任意兩個(gè)函數(shù)x1(t)和x2(t)，定義它們的卷積為：

若x1(t)?X1(?)，x2(t)?X2(?)，則 1.兩個(gè)函數(shù)在時(shí)域中的卷積，對應(yīng)于頻域中的乘積2.兩個(gè)函數(shù)在時(shí)域中的乘積，對應(yīng)于頻域中的卷積

x1(t)*x2(t)?X1(?)X2(?)x1(t)x2(t)?X1(?)*X2(?)推導(dǎo)時(shí)域卷積定理的證明因此所以交換積分次序時(shí)移性質(zhì)返回卷積定義(7).積分特性(6).微分特性復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（ω從-∞到+∞），三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜（ω從0到+∞）幾點(diǎn)結(jié)論：收斂性：一般周期信號展開成傅立葉級數(shù)后，在頻域上是無限的，但從總體上看，其諧波幅值隨諧波次數(shù)的增高而減小。周期信號的頻譜特點(diǎn)：離散性：周期信號的頻譜是離散譜；諧波性：每個(gè)譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)；瞬變非周期信號幅頻譜具有三個(gè)特點(diǎn)1、瞬變非周期周期信號的頻譜是連續(xù)的——連續(xù)性。2、因?yàn)榛闊o窮小譜線是連續(xù)的出現(xiàn)在任何頻率上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)——非諧波性。3、各頻率分量的譜線的高度表示該諧波的幅值。其諧波幅值總的趨勢是隨諧波次數(shù)的增高而減少——收斂性。如圖所示。三.幾種典型信號的頻譜1.矩形窗函數(shù)的頻譜三.幾種典型信號的頻譜在ε時(shí)間內(nèi)激發(fā)矩形脈沖Sε(t)（或三角脈沖、雙邊指數(shù)脈沖，鐘形脈沖）所包含的面積為1；2單位脈沖函數(shù)δ(t)及其頻譜各種單位面積為1的脈沖矩形脈沖到δ函數(shù)當(dāng)ε→0時(shí)，Sε(t)的極限就稱為單位脈沖函數(shù)，記作δ(t)，即（單位脈沖函數(shù)）。

(1).δ(t)的定義從極限角度:(2).δ(t)的特性從面積角度:矩形脈沖到δ函數(shù)(3).δ(t)乘積性和積分性<1>乘積性<2>積分性(4).δ(t)的采樣性以上表示δ函數(shù)的采樣性質(zhì)：任何函數(shù)x(t)和δ(t-t0)的乘積是一個(gè)強(qiáng)度為x(t0)的δ函數(shù)δ(t-t0)，而該乘積在無限區(qū)間的積分則是x(t)在t=t0時(shí)刻的函數(shù)值x(t0)。這個(gè)性質(zhì)是連續(xù)信號離散采樣的依據(jù)。(5).δ(t)與其它信號的卷積

結(jié)果：x(t)與δ(t)的卷積等于x(t)。

δ函數(shù)的卷積特性1結(jié)果：δ(t±t0)時(shí)卷積，就是將函數(shù)x(t)在發(fā)生脈沖函數(shù)的坐標(biāo)位置上重新作圖，或可以說平移至t0當(dāng)脈沖函數(shù)為δ(t±t0)時(shí)，與函數(shù)x(t)的卷積

δ函數(shù)的卷積特性2(6).δ(t)的頻譜逆變換：

δ(t)?1

即：1?δ(?)

δ函數(shù)的頻譜直流分量的頻譜δ(t-t0)ej2π?0tδ(t)?1

1?δ(?)

δ函數(shù)的頻譜根據(jù)時(shí)移和頻移特性

：?1·e-j2π?to?δ(?-?0)

故知時(shí)域的δ函數(shù)具有無限寬廣頻帶的頻譜，而且在所有的頻段上都是等強(qiáng)度，這種頻譜常稱為“均勻譜”根據(jù)傅里葉變換的對稱性質(zhì)和時(shí)移、頻移性質(zhì)，可以得到下列傅里葉變換對：863、正、余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)由于正、余弦函數(shù)不滿足絕對可積條件，因此不能直接進(jìn)行傅里葉變換，而需在傅里葉變換時(shí)引入δ函數(shù)。

根據(jù)歐拉公式正、余弦函數(shù)可以寫成可認(rèn)為正、余弦函數(shù)是把頻域中的兩個(gè)δ函數(shù)向不同方向頻移后之差或和的傅里葉逆變換。根據(jù)ej2π?0t?δ(?-?0)

正弦函數(shù)的頻譜7.3周期單位脈沖序列的頻譜

相等間隔的周期單位脈沖序列，常稱為梳狀函數(shù)式中，Ts—周期，n—整數(shù)，n=0,±1,±2,±3,…。

為周期函數(shù)，而?s=1/Ts，用傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式表示：

因?yàn)樵?-Ts/2，Ts/2)區(qū)間內(nèi)，只有一個(gè)δ函數(shù)δ，而當(dāng)t=0時(shí)，

，所以因?yàn)檫@樣，可寫成于是comb(t,Ts)的頻譜，comb(f,fs)，也是梳狀函數(shù)時(shí)域中，序列的周期為Ts，頻域中，序列的周期為1/Ts。時(shí)域中，幅值為1

頻域中，幅值為1/Ts

由圖可見，時(shí)域周期單位脈沖序列的頻譜也是周期脈沖序列。若時(shí)域周期為Ts，則頻域脈沖序列的周期為1/Ts；時(shí)域脈沖強(qiáng)度為1，頻域中強(qiáng)度為1/Ts。矩形窗函數(shù)和常值函數(shù)的頻譜7.5指數(shù)函數(shù)的頻譜1、雙邊指數(shù)衰減函數(shù)的頻譜

2、單邊指數(shù)衰減函數(shù)的頻譜

95第四節(jié)隨機(jī)信號一、概述隨機(jī)信號是不能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述的，不能預(yù)測其未來的任何瞬時(shí)值。任何一次觀測值只代表在其變動范圍中可能產(chǎn)生的結(jié)果之一，但其值的變動服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)過程與樣本函數(shù)如圖1-21所示。圖1-21樣本函數(shù)——對隨機(jī)信號按時(shí)間歷程所作的各次長時(shí)間觀測記錄被稱為樣本函數(shù)。樣本記錄——對隨機(jī)信號按時(shí)間歷程所作的各次有限長時(shí)間觀測記錄被稱為樣本記錄。隨機(jī)過程——在同一試驗(yàn)條件下，全部樣本函數(shù)的集合（總體）就是隨機(jī)過程。{x(t)}={x1(t),x2(t),…,xi(t),…}集合平均——隨機(jī)過程的各種均值（均值、方差、均方值和均方根值）的計(jì)算是將集合中所有樣本函數(shù)對同一時(shí)刻的觀測值取平均。時(shí)間平均——隨機(jī)過程的各種均值（均值、方差、均方值和均方根值）的計(jì)算如果是按某單個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間歷程進(jìn)行平均的計(jì)算叫作時(shí)間平均。根據(jù)集合平均和時(shí)間平均的關(guān)系不同可對隨機(jī)過程進(jìn)行分類。隨機(jī)過程分類：平穩(wěn)隨機(jī)過程和非平穩(wěn)隨機(jī)過程。平穩(wěn)隨機(jī)過程：指其統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)不隨時(shí)間而變化的隨機(jī)過程；否則為非平穩(wěn)隨機(jī)過程。而平穩(wěn)隨機(jī)信號又分為各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)過程和非各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程：在平穩(wěn)隨機(jī)過程中，任一單個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均統(tǒng)計(jì)特征等于該過程的集合平均統(tǒng)計(jì)特征

一般的隨機(jī)過程需要足