特征值與特征向量高等代數(shù)

特征值與特征向量高等代數(shù)課件第1頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量一、特征值與特征向量二、特征值與特征向量的求法§7.4特征值與特征向量三、特征子空間四、特征多項式的有關(guān)性質(zhì)第2頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量從本節(jié)開始，我們主要討論，如何選擇一組適當(dāng)?shù)幕?，使V的某個線性變換在這組基下的矩陣就是

一個對角矩陣?引入有限維線性空間V中取定一組基后，V的任一線性希望這個矩陣越簡單越好，如對角矩陣.

變換都可以用矩陣來表示.為了研究線性變換性質(zhì)，第3頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的一個線性變換，

則稱為的一個特征值，稱為的屬于特征值一、特征值與特征向量

定義：若對于P中的一個數(shù)存在一個V的非零向量使得的特征向量.

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特征值與特征向量①幾何意義：特征向量經(jīng)線性變換后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的，注：相同或相反時②若是的屬于特征值的特征向量，則也是的屬于的特征向量.但是特征值卻是被特征向量所唯一確定的，即若且，則第5頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量設(shè)是V的一組基，線性變換在這組基下的矩陣為A.

下的坐標(biāo)記為二、特征值與特征向量的求法

分析：設(shè)是的特征值，它的一個特征向量在基則在基下的坐標(biāo)為第6頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量而的坐標(biāo)是于是又從而

又即是線性方程組的解，∴有非零解.

所以它的系數(shù)行列式

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特征值與特征向量以上分析說明：若是的特征值，則反之，若滿足則齊次線性方程組有非零解.

若是一個非零解，特征向量.則向量就是的屬于的一個第8頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量設(shè)是一個文字，矩陣稱為稱為A的特征多項式.1.特征多項式的定義A的特征矩陣，它的行列式

（是數(shù)域P上的一個n次多項式）第9頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量②矩陣A的特征多項式的根有時也稱為A的特征值,注：①若矩陣A是線性變換關(guān)于V的一組基的矩陣，而是的一個特征值，則是特征多項式的根，即的一個特征值.反之，若是A的特征多項式的根，則就是（所以，特征值也稱特征根.）而相應(yīng)的線性方程組的非零解也就稱為A的屬于這個特征值的特征向量.第10頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量

i)在V中任取一組基寫出在這組基下就是的全部特征值.ii)求A的特征多項式在P上的全部根它們2.求特征值與特征向量的一般步驟的矩陣A.iii)把所求得的特征值逐個代入方程組的全部線性無關(guān)的特征向量在基下的坐標(biāo).)并求出它的一組基礎(chǔ)解系.(它們就是屬于這個特征值第11頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量

則就是屬于這個特征值的全部線性無關(guān)的特征向量.

而（其中，不全為零）

就是的屬于的全部特征向量.如果特征值對應(yīng)方程組的基礎(chǔ)解系為：第12頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量對皆有所以，V中任一非零向量皆為數(shù)乘變換K的特征向量.例1.在線性空間V中，數(shù)乘變換K在任意一組基下的矩陣都是數(shù)量矩陣kE，它的特征多項式是故數(shù)乘法變換K的特征值只有數(shù)k，且第13頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量解：A的特征多項式

例2.設(shè)線性變換在基下的矩陣是求特征值與特征向量.故的特征值為：（二重）

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特征值與特征向量

把代入齊次方程組得

即

它的一個基礎(chǔ)解系為：

因此，屬于的兩個線性無關(guān)的特征向量為而屬于的全部特征向量為不全為零

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特征值與特征向量因此，屬于5的一個線性無關(guān)的特征向量為

把代入齊次方程組得

解得它的一個基礎(chǔ)解系為：

而屬于5的全部特征向量為第16頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量三、特征子空間

定義：再添上零向量所成的集合，即設(shè)為n維線性空間V的線性變換，為的一個特征值，令為的屬于的全部特征向量則是V的一個子空間,稱之為的一個特征子空間.第17頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量注：的解空間的維數(shù)，且由方程組(*)得到的屬于的若在n維線性空間V的某組基下的矩陣為A，則即特征子空間的維數(shù)等于齊次線性方程組(*)全部線性無關(guān)的特征向量就是的一組基.第18頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量四、特征多項式的有關(guān)性質(zhì)1.設(shè)則A的特征多項式由多項式根與系數(shù)的關(guān)系還可得

②A的全體特征值的積＝①A的全體特征值的和＝稱之為A的跡,記作trA.第19頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量證:設(shè)則存在可逆矩陣X，使得2.(定理6)

相似矩陣具有相同的特征多項式.于是，第20頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量注：②有相同特征多項式的矩陣未必相似.成是矩陣A的特征值與特征向量.它們的特征多項式都是，但A、B不相似.多項式；而線性變換的特征值與特征向量有時也說因此,矩陣A的特征多項式也說成是線性變換的特征①由定理6線性變換的特征值與基的選擇無關(guān).如

第21頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量設(shè)為A的特征多項式,則證:

設(shè)是的伴隨矩陣，則3.哈密爾頓─凱萊（Hamilton─Caylay）定理都是λ的多項式，且其次數(shù)不超過n－1.又的元素是的各個代數(shù)余子式，它們因此，可寫成零矩陣第22頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量其中，都是的數(shù)字矩陣.再設(shè)則，①而②比較①、②兩式，得第23頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4

特征值與特征向量③以依次右乘③的第一式、第二式、…、第n式、第n＋1式，得④第24頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§7.4