特征理論偏微分方程組

特征理論偏微分方程組第1頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組例子

考慮弦振動方程則不是古典解，但它是弱間斷解。第2頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組7.1.2特征方程與特征曲面

設(shè)光滑曲面

是方程（7.1.1)的弱間斷面?？梢酝瞥鏊鼞?yīng)滿足的條件為下式在上處處成立。第3頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組方程特征曲面的例子第4頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組7.2方程組的特征理論第5頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組7.2.1弱間斷解與特征線第6頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組第7頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組第8頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組7.2.2狹義雙曲型方程組的標(biāo)準(zhǔn)型第9頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組將狹義雙曲型方程化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法：1.求向量方程的解。

2.令，用T左乘（7.2.2）式得：第10頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組3.第11頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組7.3雙曲型方程組的Cauchy問題

首先指出，并非對一切類型的方程組都可以Cauchy問題，有例子表明，當(dāng)特征方程（7.2.6)有復(fù)根時(shí)，方程組（7.2.1)的Cauchy問題的解是不穩(wěn)定的。所以我們僅限于討論雙曲型方程組的Cauchy問題。為便于理解和敘述，這里僅討論兩個(gè)自變量的對角型方程組的Cauchy問題。第12頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組7.3.1解的存在性和唯一性第13頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組第14頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組7.3.2解的穩(wěn)定性第15頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組7.4定理第16頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組第17頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組7.4.2Cauchy問題的化簡

首先，把高階非線性C-K型組Cauchy問題化為一個(gè)與其等價(jià)的一階非線性C-K型組的Cauchy問題。其次，我們可以把一個(gè)一階非線性C-K型組Cauchy問題化為一個(gè)與其等價(jià)的一階擬線性C-K型組的Cauchy問題。方法是將所有對空間變量的微商取作新的未知函數(shù)，然后這些新的未知函數(shù)對時(shí)間變量求微商，并利用已知方程式即得。

Cauchy問題(7.4.2)化為如下的一階擬線性C-K型方程組的Cauchy問題:第18頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組

于是，C-K定理7.4.1可等價(jià)地?cái)⑹鰹?/p>

C-K型定理的證明用的是強(qiáng)函數(shù)的方法，即用一個(gè)明顯可解出的問題與所考慮的問題相比較，故須要介紹強(qiáng)函數(shù)的概念。第19頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組7.4.3強(qiáng)函數(shù)第20頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第7章特征理論偏微分方程組7.4.4C-K定理的證明（1）唯一性（冪級數(shù)解法）。（2）存在性（強(qiáng)函數(shù)方法）。附注1該定理斷言解析解的局部存在唯一性，并沒有保證整體解的存在性。附注2由證明知，若方程右端及Cauchy數(shù)據(jù)是各自變量的解析函數(shù)，則在初始平面上任意點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)都存在一個(gè)解析解。再由解的唯一