初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題輔導(dǎo)-中位線及其應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題輔導(dǎo)中位線及其應(yīng)用例1如圖2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)，△ABC的面積．分析由條件知，EF，EG分別是三角形ABD和三角形ABC的中位線．利用中位線的性質(zhì)及條件中所給出的數(shù)量關(guān)系，不難求出△ABC的高AD及底邊BC的長(zhǎng)．解由已知，E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，所以，EF是△ABD的一條中位線，所以由條件AD+EF=12(厘米)得EF=4(厘米)，從而AD=8(厘米)，由于E，G分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EG是△ABC的一條中位線，所以BC=2EG=2×6=12(厘米)，顯然，AD是BC上的高，所以例2如圖2-54所示．△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．(1)求證：GH∥BC；(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米分析若延長(zhǎng)AG，設(shè)延長(zhǎng)線交BC于M．由角平分線的對(duì)稱性可以證明△ABG≌△MBG，從而G是AM的中點(diǎn)；同樣，延長(zhǎng)AH交BC于N，H是AN的中點(diǎn)，從而GH就是△AMN的中位線，所以GH∥BC，進(jìn)而，利用△ABC的三邊長(zhǎng)可求出GH的長(zhǎng)度．(1)證分別延長(zhǎng)AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG(ASA)．從而，G是AM的中點(diǎn)．同理可證△ACH≌△NCH(ASA)，從而，H是AN的中點(diǎn)．所以GH是△AMN的中位線，從而，HG∥MN，即HG∥BC．(2)解由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．又BC=18厘米BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．從而MN=18-4-9說明(1)在本題證明過程中，我們事實(shí)上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一(即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質(zhì)定理的逆定理：“若三角形一個(gè)角的平分線也是該角對(duì)邊的垂線，則這條平分線也是對(duì)邊的中線，這個(gè)三角形是等腰三角形”．EF＞EG-FG．③由①，②，③例5如圖2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E為BC的中點(diǎn)，AD=DC+AB．求證：DE⊥AE．分析本題等價(jià)于證明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．在E點(diǎn)(即直角三角形的直角頂點(diǎn))是梯形一腰中點(diǎn)的啟發(fā)下，添梯形的中位線作為輔助線，若能證明，該中位線是直角三角形AED的斜邊(即梯形另一腰)的一半，則問題獲解．證取梯形另一腰AD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，所以因?yàn)锳D=AB+CD，所以從而∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的內(nèi)角和等于180°)．從而∠AED=∠2+∠3=90°，所以DE⊥AE．例6如圖2-60所示．△ABC外一條直線l，D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點(diǎn)，AA1，F(xiàn)F1，DD1，EE1都垂直l于A1，F(xiàn)1，D1，E1．求證：AA1+EE1=FF1+DD1．分析顯然ADEF是平行四邊形，對(duì)角線的交點(diǎn)O平分這兩條對(duì)角線，OO1恰是兩個(gè)梯形的公共中位線．利用中位線定理可證．證連接EF，EA，ED．由中位線定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以ADEF是平行四邊形，它的對(duì)角線AE，DF互相平分，設(shè)它們交于O，作OO1⊥l于O1，則OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位線，所以即AA1+EE1=FF1+DD1．練習(xí)十四1．已知△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，AE=2CE，CD，BE交于O點(diǎn)，OE=2厘米．求BO2．已知△ABC中，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)．求證：∠BFE=∠EGD．4．如圖2-61所示．在四邊形ABCD中，AD=BC，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD，BC，分別交FE的延長(zhǎng)線于H，G．求證：∠AHF=∠BGF．5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中點(diǎn)(如圖2-62所示)．求證：∠DEF=∠HFE．6．如圖2-6