2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)圓錐曲線中的“設(shè)而不求”含答案

2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)圓錐曲線中的“設(shè)而不求”

一、考情分析

研究曲線方程及由方程研究曲線的有關(guān)性質(zhì)問題，是圓錐曲線中的一個(gè)重要內(nèi)容，其特點(diǎn)是代數(shù)的運(yùn)算

較為繁雜，許多學(xué)生會(huì)想而不善于運(yùn)算，往往是列出式子后“望式興嘆”.在解決圓錐曲線問題時(shí)若能恰

當(dāng)使用“設(shè)而不求”的策略,可避免盲目推演造成的無效運(yùn)算,從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速的解題效果.

二、解題秘籍

(-)“設(shè)而不求”的實(shí)質(zhì)及注意事項(xiàng)

1.設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法,其實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和

整體思想的應(yīng)用.設(shè)而不求的靈魂是通過科學(xué)的手段使運(yùn)算量最大限度地減少，通過設(shè)出相應(yīng)的參數(shù),

利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過渡,設(shè)而不求.

2.在運(yùn)用圓錐曲線問題中的設(shè)而不求方法技巧時(shí)，需要做到:①凡是不必直接計(jì)算就能更簡潔地解決問題

的，都盡可能實(shí)施“設(shè)而不求”;②“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參,而設(shè)參的原則是宜少不宜多.

3.“設(shè)而不求”最常見的類型一是涉及動(dòng)點(diǎn)問題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，在運(yùn)算過程中動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)通過四則運(yùn)算消

去，或利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于其他參數(shù)的問題;二是涉及動(dòng)直線問題，把斜率或截距作為參數(shù)，

設(shè)出直線的方程，再通過運(yùn)算消去.

【例1】(2023屆山西省臨汾市等聯(lián)考高三上學(xué)期期中)已知橢圓。:￡+￡=l(a>b>0)的長軸長為4,在「

用為。的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(如仇)(仇力0)在C上運(yùn)動(dòng)，且cosZ^P^的最小值為y.連接PR,并延長

分別交橢圓。于M，N兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)證明：俁幽+攀”上為定值.

^OF2N

【例2】（2023屆江蘇盾連云港市商三上學(xué)期10月或考）已知橢圓中有兩頂點(diǎn)為4（-1,0）,3（1,0）,一個(gè)焦點(diǎn)為

F（0,l）.

（1）若直線I過點(diǎn)R且與橢圓交于C,。兩點(diǎn)，當(dāng)\CD\=釁:時(shí),求直線I的方程：

（2）若直線，過點(diǎn)T（0,￡）（t#0）且與橢圓交于兩點(diǎn)，并與加軸交于點(diǎn)P,直線4。與直線BC交于點(diǎn)

Q,當(dāng)點(diǎn)P異A,B兩點(diǎn)時(shí)，試問前?的是否是定值？若是,請(qǐng)求出此定值，若不是,請(qǐng)說明理由.

（二）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)

在涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)，如何避免求交點(diǎn)，簡化運(yùn)算，是處理這類問題的關(guān)鍵，求解時(shí)常常設(shè)

出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)坐標(biāo)方法即通過設(shè)一些輔助點(diǎn)的坐標(biāo),然后以坐標(biāo)為參數(shù),利用點(diǎn)的特性（條件）建立關(guān)系

（方程）.顯然，這里的坐標(biāo)只是為尋找關(guān)系而作為“搭橋”用的，在具體解題中是通過“設(shè)而不求”與“整體

消元”解題策略進(jìn)行的.

【例3】(2023屆湖南省郴州市南三上學(xué)期質(zhì)量裁測)已知橢圓E：1+m=l(a>b>0)的離心率為誓,過

坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線交橢圓E于P,A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作立軸的垂線，垂足為。，連接AC.當(dāng)

C為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，△PAC的面積為四.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若8為力。的延長線與橢圓E的交點(diǎn)，試問：NAPB是否為定值，若是，求出這個(gè)定值;若不是，說明理

由.

【例4】(2023居江蘇店南通市如皋市赤三上孕期期中)作斜率為的直線I與橢圓C：苧+'=1交于

兩點(diǎn)，且當(dāng)2)在直線I的左上方.

(1)當(dāng)直線，與橢圓。有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，證明直線Z與橢圓。截得的線段AB的中點(diǎn)在一條直線上；

(2)證明：△PAB的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.

(三)設(shè)緘

在求解與動(dòng)直線有關(guān)的定點(diǎn)、定值或最值與范圍問題時(shí)常設(shè)直線方程，因?yàn)閯?dòng)直線方程不確定，需要引入

參數(shù),這時(shí)常引入斜率、截距作為參數(shù).

【例5】(2022屆湖南省英陽市苗三上學(xué)期月考)已知橢圓C：5+素=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為瓦用,

其離心率為烏,P為橢圓。上一動(dòng)點(diǎn),面積的最大值為《.

(1)求橢圓。的方程；

(2)過右焦點(diǎn)月的直線，與橢圓。交于兩點(diǎn)，試問:在7軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得?至為定值？

若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說明理由.

(四)中點(diǎn)弦問題中的設(shè)而不求

與中點(diǎn)弦有個(gè)的問題一般是設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo)P&,幼)，Q(g,他)代入圓錐曲線方程作差，得到關(guān)于

以二絲，刈+出,％+統(tǒng)的關(guān)系式，再結(jié)合題中條件求解.

一電

【例6】中心在原點(diǎn)的雙曲線E焦點(diǎn)在。軸上且焦距為4,請(qǐng)從下面3個(gè)條件中選擇1個(gè)補(bǔ)全條件，并完成后面

問題：

①該曲線經(jīng)過點(diǎn)力(2,3)；

②該曲線的漸近線與圓22一82+娟+4=0相切；

③點(diǎn)P在該雙曲線上,E、居為該雙曲線的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為9時(shí)，恰好PF[±PF2.

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過定點(diǎn)Q(l,l)能否作直線I,使Z與此雙曲線相交于Qi、Q?兩點(diǎn),且Q是弦QiQ?的中點(diǎn)？若存在,求

出Z的方程;若不存在，說明理由.

三、限蹤檢窩

1.(2023居河南唐洛平許濟(jì)商三上學(xué)期質(zhì)量檢測)已知橢圓。點(diǎn)■+’=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,離心

率為■，上頂點(diǎn)為(0,V3).

(1)求橢圓。的方程；

⑵過點(diǎn)F的直線Z與橢圓。交于P,Q兩點(diǎn)，與"軸交于點(diǎn)M,若加=4河,血=〃甘，判斷4+〃是

否為定值？并說明理由.

2.(2023居江百看南曷市金太陽商三上學(xué)期10月聯(lián)考)如圖，長軸長為4的橢圓。:營+%=l(a>b>0)

的左頂點(diǎn)為月，過原點(diǎn)。的直線(與坐標(biāo)軸不重合)與橢圓。交于P,Q兩點(diǎn)，直線PA,QA與9軸分別交

于兩點(diǎn)，當(dāng)直線PQ的斜率為號(hào)時(shí)，|PQ|=2/.

(1)求橢圓。的方程.

(2)試問是否存在定點(diǎn)T,使得NMTN=90°恒成立？若存在，求出定點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在，說明理由.

3.(2023屆黑龍江省大慶線人中學(xué)方三上學(xué)期月才)已知橢圓r=l(a>b>0)的離心率為y,橢

2

圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線手7=1的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)F(4,0)且不垂直于0軸的直線，與橢圓相交于A,B

兩點(diǎn).

(1)求橢圓。的方程；

(2)若點(diǎn)B關(guān)于立軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,證明:直線AE與，軸交于定點(diǎn).

22

4.(2023屆江西瘠?州厚德外國語學(xué)校、豐城中學(xué)高三上學(xué)期10月聯(lián)才)已知雙曲線C：氣一方=1經(jīng)過點(diǎn)

(2,-3),兩條漸近線的夾角為60。,直線Z交雙曲線于4B兩點(diǎn).

(1)求雙曲線。的方程.

(2)若動(dòng)直線/經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)用，是否存在立軸上的定點(diǎn)M(a,0),使得以線段AB為直徑的圓恒過

M點(diǎn)?若存在，求實(shí)數(shù)小的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

5.(2023屆內(nèi)米古自治區(qū)赤蜂市商三上學(xué)期月才)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到定直線c=4的距離，是它與定點(diǎn)

F(l,0)的距離的兩倍.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程。；

(2)過F點(diǎn)作兩條互相垂直的直線。，為(直線h不與x軸垂直).其中，直線(交曲線。于A,B兩點(diǎn)，直線12

交曲線。于E,N兩點(diǎn)，直線為與直線H=7n(m>2)交于點(diǎn)若直線MB,MR,M4的斜率kMB,kMF，

心《構(gòu)成等差數(shù)列，求館的值.

6.(2023屆稻建省福州華僑中學(xué)高三上學(xué)期才試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F(2,0)，直線。=],

點(diǎn)M到I的距離為d,若點(diǎn)M滿足|MF|=2d,記”的軌跡為C.

(1)求。的方程；

(2)過點(diǎn)F(2,0)且斜率不為0的直線與。交于P,Q兩點(diǎn)，設(shè)4—L0)，證明：以P，Q為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)

A.

7.(2023居河南省安府市商三上學(xué)期10月月才)已知橢圓M：/+/=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

回，凡，國￡|=2,面積為竽的正方形ABCD的頂點(diǎn)都在M上.

(1)求河?的方程；

(2)已知P為橢圓M：盧r+:&=1上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作M的兩條切線6和勾，若6，勾的斜率分別為島，后,

2a-2b'

求證：k也為定值.

22

8.(2023居浙江瘠淅里卷天下高三上孕期10月測試)已知同分別為橢圓。專+方=l(a>b>0)的左、

右焦點(diǎn)，過點(diǎn)四(一1,0)且與多軸不重合的直線與橢圓。交于4B兩點(diǎn)，月的周長為8.

(1)若△ABE的面積為專2，求直線AB的方程：

⑵過兩點(diǎn)分別作直線c=-4的垂線，垂足分別是E,F,證明：直線EB與4R交于定點(diǎn).

22

9.(2023居江蘇看南京市六校高三上學(xué)期10月聯(lián)考)已知雙曲線r：^--1r=l(a>0,b>0)的焦距為4,

且過點(diǎn)P(2,空)

(1)求雙曲線「的方程；

(2)過雙曲線「的左焦點(diǎn)F分別作斜率為用，向的兩直線4與g直線A交雙曲線「于AB兩點(diǎn)，直線Z.2交

雙曲線「于C,。兩點(diǎn)，設(shè)M,N分別為AB與CD的中點(diǎn)，若%e=T，試求4OMN與△FMN的面積之

比.

2Q?

10.(2022屆北京市海淀區(qū)龍三上學(xué)期期末)已知點(diǎn)40,—1)在橢圓。：專+方=1上.

(1)求橢圓。的方程和離心率；

(2)設(shè)直線2：a=Mz-D(其中與橢圓。交于不同兩點(diǎn)E，F(xiàn)，直線4E,A尸分別交直線7=3于點(diǎn)

M,N.當(dāng)△⑷W的面積為3V3吐求k的值.

.)2

11.(2022屆天津市第二中學(xué)高三上學(xué)期12月月才)已知橢圓點(diǎn)+方=1(&>6>0)的長軸長是4,且過點(diǎn)

3(0,1).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線k沙=乂2+2)交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)3始終在以PQ為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

9

12.(2022屆廣東居華南岬篦大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期1月模構(gòu)已知橢圓。吟+g=l(a>b>0)的右頂

點(diǎn)與拋物線Q：婿=2pMp>0)的焦點(diǎn)重合，橢圓G的離心率為十,過橢圓a的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸

的直線截拋物線所得弦的長度為4V2.

(1)求橢圓G和拋物線G的方程.

(2)過點(diǎn)4—4,0)的直線Z與橢圓G交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)河關(guān)于c軸的對(duì)稱點(diǎn)為E.當(dāng)直線I繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)

時(shí)，直線EN是否經(jīng)過一定點(diǎn)？請(qǐng)判斷并證明你的結(jié)論.

13.(2022居河北看商三上學(xué)期看做聯(lián)測)已知橢圓P焦點(diǎn)分別是尸1(0,一四)和田(0,4),直線片遍與橢

圓P相交所得的弦長為L

(1)求橢圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)將橢圓P繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到橢圓Q,在橢圓Q上存在A,B,C三點(diǎn),且坐標(biāo)原點(diǎn)為△43。的

重心,求△A3。的面積.

14.(2022屆廣東盾佛山市南三上學(xué)期期末)已知雙曲線。的漸近線方程為9=±苧2,且過點(diǎn)P(3,2).

(1)求。的方程；

(2)設(shè)Q(l,0),直線。=i(t6R)不經(jīng)過P點(diǎn)且與C相交于AB兩點(diǎn),若直線BQ與。交于另一點(diǎn)。,求

證:直線AD過定點(diǎn).

15.(2022屆江蘇省掛城市、南京市高三上學(xué)期1月模擬)設(shè)雙曲線。:5—菅=l(a,b>0)的右頂點(diǎn)為A,虛

軸長為蓼,兩準(zhǔn)線間的距離為莘.

O

(1)求雙曲線。的方程；

(2)設(shè)動(dòng)直線，與雙曲線。交于RQ兩點(diǎn)，已知AP±AQ,設(shè)點(diǎn)A到動(dòng)直線I的距離為d,求d的最大值.

16.(2022屆浙江居普通高中鍛暮耗一高三上學(xué)期統(tǒng)測)如圖，已知橢圓G：亨+￥=1,橢圓G普+苧=

1,4(一2,0)、3(2,0).。為橢圓。2上動(dòng)點(diǎn)且在第一象限，直線P4、P3分別交橢圓G于E、F兩點(diǎn)，連接

EF交工軸于Q點(diǎn).過B點(diǎn)作3H交橢圓G于G，且BH//PA.

⑴證明：心廣心。為定值：

(2)證明直線G尸過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；

(3)若記P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為如、xQ,證明：窈項(xiàng)為定值.

17.(2022屆湖北省昔高考展才博作體高三上學(xué)期12月聯(lián)考)已知圓。：/+力=2,橢圓C：5+￡■

的離心率為乎產(chǎn)是。上的一點(diǎn),4是圓。上的一點(diǎn),|PA|的最大值為傷+血.

(1)求橢圓。的方程；

(2)點(diǎn)M是。上異于P的一點(diǎn),與圓O相切于點(diǎn)M證明：\PO\2=\PM\-\PN\.

18.已知雙曲線C：弓---4—l(a>0,6>0)的實(shí)軸長為8,離心率e=[".

ab4

(1)求雙曲線。的方程：

(2)直線，與雙曲線。相交于P,Q兩點(diǎn)，弦PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為4(8,3),求直線I的方程.

B）雄曲線中的“設(shè)而不求”

一、考情分析

研究曲線方程及由方程研究曲線的有關(guān)性質(zhì)問題，是圓錐曲線中的一個(gè)重要內(nèi)容，其特點(diǎn)是代數(shù)的運(yùn)算

較為繁雜，許多學(xué)生會(huì)想而不善于運(yùn)算，往往是列出式子后“望式興嘆”.在解決圓錐曲線問題時(shí)若能恰

當(dāng)使用“設(shè)而不求”的策略，可避免盲目推演造成的無效運(yùn)算,從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速的解題效果.

二、解題秘籍

（一）“設(shè)而不求”的實(shí)質(zhì)及注意事項(xiàng)

i.設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和

整體思想的應(yīng)用.設(shè)而不求的靈魂是通過科學(xué)的手段使運(yùn)算量最大限度地減少，通過設(shè)出相應(yīng)的參數(shù),

利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過渡,設(shè)而不求.

2.在運(yùn)用圓錐曲線問題中的設(shè)而不求方法技巧時(shí)，需要做到:①凡是不必直接計(jì)算就能更簡潔地解決問題

的，都盡可能實(shí)施“設(shè)而不求”;②“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參,而設(shè)參的原則是宜少不宜多.

3.“設(shè)而不求”最常見的類型一是涉及動(dòng)點(diǎn)問題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，在運(yùn)算過程中動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)通過四則運(yùn)算消

去，或利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于其他參數(shù)的問題；二是涉及動(dòng)直線問題，把斜率或截距作為參數(shù)，

設(shè)出直線的方程，再通過運(yùn)算消去.

【例11（2023居山西盾柱汾市等聯(lián)才商三上學(xué)期期中）己知橢圓C：專+￡=l（a>b>0）的長軸長為4,Flt

用為。的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（小仇）（"0）在C上運(yùn)動(dòng)，且cos/RFK的最小值為y.連接PR,P片并延長

分別交橢圓。于M,N兩點(diǎn)."

（1）求。的方程；

（2）證明：俁以+善上為定值./

S^OMFiS^OF2N

【解析】（1）由題意將。=2,

設(shè)啟鳥|的長分別為m,n,m-^n=2a=4

則”朋=叫痣（m+n）2-4c2—2mn

■y—1=絲—1,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào),

（m產(chǎn)）2/二…

從而絲—]=）,得與=斗,fe2=3,

arzQ-4

92

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為與+4-=1;

⑵由⑴得回（-1,0）,網(wǎng)（1,0）,

設(shè)2（船,幼），N（g,他），

設(shè)直線PM的方程為工=電生沙一1,直線PN的方程為7=

9+1,

犬*尤=

一9需一9-瑞一3鬲

則為陰=

3（例+1）23（而+1尸+4必3麓+4編+6網(wǎng)+32%+5

9r4

.u二-3渙

"y,2而+5'

同理可得.恚

s△嘰S&OPN*。盟明

所以----------1-----------=----------------

SAMSAOEW±|O^||y,|

'yo,y。[?[=13

-3%—3y&3

I2x(i+55—2x()>

SZSAOPR.SM)PN上戶.]七13

所以下----+p-----為定值—

^△OAfFj-OF小J

【例2】（2023屆江蘇省連云港市高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓中有兩頂點(diǎn)為4（-1,0）,6（1,0）,一個(gè)焦點(diǎn)為

F（0,l）.

（1）若直線I過點(diǎn)F且與橢圓交于。，。兩點(diǎn)，當(dāng)\CD\=挈時(shí),求直線I的方程；

（2）若直線1過點(diǎn)T（0,￡）（t#0）且與橢圓交于。，。兩點(diǎn)，并與z軸交于點(diǎn)P,直線A。與直線BC交于點(diǎn)

Q,當(dāng)點(diǎn)P異A,B兩點(diǎn)時(shí)，試問前?的是否是定值？若是,請(qǐng)求出此定值，若不是,請(qǐng)說明理由.

【解析】（1）橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+yr=l（a>b>0）,

arb

由已知得6=1,c=l,所以a

9

橢圓的方程為g+/=1,

當(dāng)直線Z與工軸垂直時(shí)與題意不符，

設(shè)直線/的方程為y=kx+l,C（xbyi）,D（g,納），

將直線，的方程代入橢圓的方程化簡得（爐+2）/+2kr—1=0,

則…=-f

?e-ICD\=V1+k??J（力i+g）2—4為g=V1+k2-J+4?工二歹=2f"=岑?,解得

FC=±A/2.

/.直線，的方程為y=±\/2x+1;

⑵當(dāng)，/軸時(shí)，AC//BD,不符合題意，

當(dāng)/與n軸不垂直時(shí)，設(shè)=+K則F（—1；,0）,

y=kx+1

2222

設(shè)（7（如劭），。（如如），聯(lián)立方程組（9y（2+fc）x4-2ktx-I-f—2=0,

①+號(hào)=1

.,2ktt2-2

??+3b=——----rr,勿1?）=-----ry,

2+fc22+奴

又直線4。：夕=1"當(dāng)了3+1）,直線3。：y=--^（x-l）,

%2十[1]]

由廠守(E)可得辭丑+1)=為(LD,即答*+D=解芋(…),

(kx2+t)(a;j—()3+1)=(fcti+t)(3?2+1)(1—1)，

(人力煙—kx2+tXi—t)(x+1)=(kXiX-2+kxi+切2+(重—1),

[k（Ni+g）+￡（g—電）+2t]x=2kx}x>-k（x>—xj+t（1i+g）,

k?二?：2+±（色一孫）+2zlx=2k?:mz-Mg-刈）+￡?既2，

￡tKt」Z?A?N十AC

-4k

君+-%）卜二一k（g-為），即方2+（g—%）]立=-q3+（gi）],得a

2+k?

k_

7，

???Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q（一■1，W）,

.-.OP-OQ^（-1.O）-（一冬火）=?（4）+0做=1,

所以O(shè)P,OQ=1為定值.

（二）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)

在涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)，如何避免求交點(diǎn)，簡化運(yùn)算，是處理這類問題的關(guān)鍵，求解時(shí)常常設(shè)

出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)坐標(biāo)方法即通過設(shè)一些輔助點(diǎn)的坐標(biāo),然后以坐標(biāo)為參數(shù),利用點(diǎn)的特性（條件）建立關(guān)系

（方程）.顯然，這里的坐標(biāo)只是為尋找關(guān)系而作為“搭橋”用的，在具體解題中是通過“設(shè)而不求”與“整體

消元”解題策略進(jìn)行的.

【例31（2023屆湖南盾郴州市方三上學(xué)期質(zhì)量量測）已知橢圓E：《+$=l（a>b>0）的離心率為坐，過

坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線交橢圓E于P,4兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作工軸的垂線，垂足為C,連接AC當(dāng)

C為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，八?/1。的面積為2.

⑴求橢圓石的方程；

（2）若8為4。的延長線與橢圓石的交點(diǎn),試問：NAPS是否為定值，若是，求出這個(gè)定值;若不是，說明理

由.

【解析】（1）橢圓離心率e=-^=￥^,c2=-ya2,則b』/一?5/

當(dāng)。為橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，|PC|=^=}a;

???SzjjMcuZSapocuZxjc?《a=解得：a2=4,：,b2=2,

ZZZ4

o2

工橢圓E的方程為:號(hào)~+與=1.

⑵由題意可設(shè)直線力P：g=kc（k>0）,F（的,fcrj,夙孫幼），

則A（-x-kx）,。（），k=

0f030,AC囚）+y,二直線AC：y=

寺（2一的）;

y=-y（x-x（,）

由.少■?得：（k2+2）/—2k%居+上2福一8=0,

x'-,y_]

丁+五一1

2k2x（）.2k2%o

???一為+的=總工2，則電=+6,

奴+20

23

,_k（xA：/2k2m-（2kx0fcx\

??夕i-彳⑶—工°）—"2'\^.22十%（）一D+廝￥7o1）；

好+2'I爐+2

???兩=（豁，一港），又港=（一2g「2上），

\Ar+2fc-H-2/

：.PA-PB^—2g?+（-2te）?=0,則/<4J_PB,

rvIZ0十/

AAPB為定值90".

【例4】（2023居江蘇盾南通市如皋市寄三上季期期中）作斜率為1的直線I與橢圓C：與+普=1交于4B

兩點(diǎn)，且P（2,挈）在直線/的左上方.

（1）當(dāng)直線，與橢圓。有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，證明直線/與橢圓。截得的線段AB的中點(diǎn)在一條直線上；

（2）證明：△PAB的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.

q

【解析】⑴設(shè)4（電,劭），33,例），A3中點(diǎn)坐標(biāo)為（廝物）,AB:y=^x+m

武+之=1

439,得9"++2m2-18=0,得A=（6m）2-4x9（2m2—18）

y=+m

n

>0,得m?V18,由韋達(dá)定理可知為+g=一^^,x}x2=③9"，所以小+如=-1-^i-Fm++m=

r_m

Q期）-qo

'y（21+g）+2m=m,所以<，化簡得：渙=一字如，所以線段AS的中點(diǎn)在直線y=一半r上.

1%=號(hào)22

3血3V2

yi9y-2-2~~僅一2

⑵由題可知產(chǎn)只，P8的斜率分別為k=丁,k=―后-,所以kpA+kpB=+

PAPl3g—“2Xj-V2

為一制2（小_制2）（電一0）+（明一百2）（皿一方）33

------k=-----------------后~~匕三----------，因?yàn)?=^X\+m,y-,=^x-2+m得kPA+kPB

g—M2X\X2—v2（X]+arj4-2/乙

311g+（m—3V2）+ii）—2V2m4-6

X\Xi一V2（X|+X\）+2

由（1）可知為+12=一當(dāng)"/避2=27nlc—,所以k/3+kpi3=

在直線2的左上方，所以

Z.APB的角平分線與y軸平行，所以△PAR的內(nèi)切圓的圓心在a;=V2這條直線上.

（三）設(shè)#?

在求解與動(dòng)直線有關(guān)的定點(diǎn)、定值或最值與范圍問題時(shí)常設(shè)直線方程，因?yàn)閯?dòng)直線方程不確定，需要引入

參數(shù),這時(shí)常引入斜率、截距作為參數(shù).

[^151（2022屆湖南霍JL陽市高三上學(xué)期月#）已知橢圓。:鑫+左=l（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為此心

其離心率為坐,P為橢圓。上一動(dòng)點(diǎn),△EPE面積的最大值為四.

（1）求橢圓。的方程；

（2）過右焦點(diǎn)F2的直線I與橢圓。交于43兩點(diǎn),試問：在x軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得QA-QB為定值？

若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說明理由.

【解析】⑴設(shè)橢圓C的半焦距為c,因離心率為乎，則/■=手，由橢圓性質(zhì)知，橢圓短軸的端點(diǎn)到直線

月月的距離最大，

則有（S^p^）,nax=-1--2c-b=fee,于是得bc=J5\又。2=〃+，2,聯(lián)立解得Q=2,b=l,c=，^,

r2

所以橢圓。的方程為：—+?/-=1.

（2）由（1）知，點(diǎn)用（一,0）,

當(dāng)直線斜率存在叱不妨設(shè)l：y=fc（x—仇），

由卜牛，/，消去g并整理得,（］+以2謬一+12k2—4=o,Ci+0i=R"3，Ng=

I①-+4g/=4l+4fc-

12k2-4

1+4/'

假定在x-軸上存在定點(diǎn)。滿足條件，設(shè)點(diǎn)Q（KO）,

則QA?QB=（e—t）（x2一±）+y\y）=。避2—±3+g）+,+融（電-A/3）（x2—V3）

=（1+k2）xixi-（V3fc2+1）（N［+xj+y+3k?=（1+fc2）,,—（V3fe2+1）?&瓜卜+/+3fc2

1+4fc-14-4fc-

_（4t2-8V3t4~ll）fc2-I-12-4

~~1+4股，

2

當(dāng)f2_4=4t-8V3t+ll即6=挈時(shí),方=/一4=一導(dǎo)，

4o04

當(dāng)直線，斜率不存在時(shí)，直線，：工=-V3與橢圓。交于點(diǎn)A8由對(duì)稱性不妨令4",4）,B（倔一4）,

當(dāng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（岑&,0）時(shí),（一§,5）,怎=（一?！?-5）,QX?Q^=（一令，4）.（一尋，一4）

=_13

~~64,

所以存在定點(diǎn)Q（啥,0）,使得@5?◎行為定值一普.

（四）中點(diǎn)弦問題中的設(shè)而不求

與中點(diǎn)弦有個(gè)的問題一般是設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo)P⑶,加），Q（如如代入圓錐曲線方程作差，得到關(guān)于

義二五，電++他的關(guān)系式,再結(jié)合題中條件求解.

X［一力2

【例6】中心在原點(diǎn)的雙曲線E焦點(diǎn)在劣軸上且焦距為4,請(qǐng)從下面3個(gè)條件中選擇1個(gè)補(bǔ)全條件，并完成后面

問題：

①該曲線經(jīng)過點(diǎn)4（2,3）；

②該曲線的漸近線與圓/—8。+娟+4=0相切；

③點(diǎn)P在該雙曲線上，片、居為該雙曲線的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y時(shí)，恰好PR±PF2.

（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過定點(diǎn)Q（l,l）能否作直線I,使Z與此雙曲線相交于Qi、Q?兩點(diǎn),且Q是弦Q?2的中點(diǎn)？若存在,求

出Z的方程;若不存在，說明理由.

【解析】（1）設(shè)雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為M-萼=l（a>b>0）.

Q-O-

選①：由題意可知，雙曲線后的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為E（—2,0）、凡（2,0）,

22

由雙曲線的定義可得2a=\\AF}\—\AF2\\=|A/44-3-3|=2,則a=1,七攵b=Yd”一心=/,

所以，雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為小一去=1.

選②：圓/—8?+婿+4=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（1一4）2+娟=12,圓心為（4,0）,半徑為2/5,

4b

雙曲線E的漸近線方程為y=±立c,由題意可得一了一曳，丁=2/W,解得包=心,

0Jl+但）

即b=V3a,因?yàn)閏=va2+b2=2Q=2,則Q=1,b=V3,

2

因此，雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為?2—4-=1.

KJ

選③:由勾股定理可得|產(chǎn)EF+|P劇2=女2=16=仍列一|P理F+2|PE|?|P同=4〃+2|尸同?|P同,

所以,|PE1|P瑪|=2（c2—a2）=2b2,則S阻肛=?|刊引=/=/x方x4,則b=V3,故<1=

Vc2-62=1,

2

所以，雙曲線后的標(biāo)準(zhǔn)方程為①2—4~=1.

o

⑻+%2=2

（2）假設(shè)滿足條件的直線/存在，設(shè)點(diǎn)a（跖幼）、Q?（出演），則

汕+仍=2

由題意可得卜3,1,兩式作差得（的一g）（電+3=2）=（仍—嗎物+佻）,

【誠-號(hào)=1

所以，直線/的斜率為k=—~—=3,所以，直線，的方程為y—1=3（rr—1）,即y=3工一2.

Xj-X-2

y=3x—2

2

聯(lián)立《9V，整理可得6"—126+7=O,A=122—4X6X7V0,

rT=1

因此，直線/不存在.

三、跟蹤檢涮

1.（2023居河南霍洛平許濟(jì)商三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知橢圓。:5+m=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F,離心

率為■，上頂點(diǎn)為（0.V3）.

（1）求橢圓。的方程；

（2）過點(diǎn)F的直線Z與橢圓。交于P,Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M,若稱=入即，破=〃Q聲，判斷4+〃是

否為定值？并說明理由.

b=V3（a=2

【解析】⑴由題意可得卜=3=}，解得Q=?

a2=&2+c21c=l

故橢圓。的方程耳+邛=1.

4o

（2）1+〃為定值一I-,理由如下：

由⑴可得9（1,0）,

由題意可知直線I的斜率存在,設(shè)直線z：沙=k（①一1）,。（如幼）,Q（N2，?/2）,則M（o,—fc）,

y=k（x—1）

聯(lián)立方程（/才，消去g得（4/^+3）/—8k%+4奴—12=0,

IT+T=1

則△=（一8奴）2—4（4爐+3）（4爐一⑵=144（后+1）>0,%+g=呼，電%二T，

4fc~+34k+3

MP=（.Xi,y}+k\PF=（l-xlf-y1\MQ=（x2fy2^-k\QF=（1-%-納），

?.?而5=師，礪=〃輛則卜”d，可得，;刈，

32=〃（1一42）〃=的

I"1-X2

蝴2（4，一⑵

%2（4+的）-2，遇2=4k2+34奴+3

/I+〃=4-=一申定值）.

l—Xi1—g1—（Xi+x-y）+XiX-y]_8k’,4fc2—12

-4-+34-+3

22

2.（2023居江段看南曷市會(huì)太陽高三上學(xué)期10月聯(lián)考）如圖，長軸長為4的橢圓。:和+*=l（a>b>0）

的左頂點(diǎn)為A,過原點(diǎn)O的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓。交于P,Q兩點(diǎn)，直線PA,QA與夕軸分別交

于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PQ的斜率為號(hào)時(shí)，|PQ|=2/.

（1）求橢圓。的方程.

（2）試問是否存在定點(diǎn)T,使得ZMTN=90°恒成立？若存在，求出定點(diǎn)T的

坐標(biāo);若不存在，說明理由.

22

【解析】（1）由題意可知2a=4,a=2,則橢圓方程。:蕓+?7=l（a>b>0）

a~b~

x1y2

即拳+言=1,

當(dāng)直線PQ的斜率為學(xué)時(shí)，|PQ|=2一,

故設(shè)P（3,Xp+（^^雨）=3，解得%=2,

將P（如哈姆代入+3=l得普+券j即看+景j

-y2

故b-=2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為T彳+卞=1；

（2）設(shè)P（w,劭），的E[—2,2],則Q（一廝一物），

則與+粵=L???曷+2蟾=4,

92

由橢圓方程?+q=1可得4~2,0）,/.直線PA方程為：y—吆。（力+2）,

4ZX（）十/

令戶?？傻谩埃?,含），

直線QA方程為：y=―絲方（。+2），令1=0得N（0,一烏,

x（i一乙'x（i-/

假設(shè)存在定點(diǎn)T,使得2MTN=90°,則定點(diǎn)T必在以MN為直徑的圓上,

16瑞

以MN為直徑的圓為一+（y--2：出：

\341-4一（就一4尸，

日。2I24電）網(wǎng)4g6

即爐+才一___-y-h——-=n0,

而一4傷一4

???就+2褶=4,即曷-4二一2甚

:./+才+—2=0,

l/o

令g=0，則/一2=0，解得i=±V2,

???以MN為直徑的圓過定點(diǎn)（±2,0）,即存在定點(diǎn)T（土方,0）,使得乙MTN=90°.

221

3.（2023屆黑龍江省大慶筑人中學(xué)方三上學(xué)期月才）已知橢圓。專+卷=l（a>b>0）的離心率為堂，橢

2

圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線等一i=i的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)p（4,o）且不垂直于2軸的直線，與橢圓相交于

兩點(diǎn).

(1)求橢圓。的方程；

(2)若點(diǎn)B關(guān)于立軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,證明:直線AE與立軸交于定點(diǎn).

【解析】(1)由雙曲線等-d=i得焦點(diǎn)(0,±-)，得b=

7)=V3

由題意可得,解得a=2,c=],

6=且=4

Ia2

故橢圓。的方程為；+日~=1.

4?j

(2)設(shè)直線l：y=k(x-4)，點(diǎn)A(勤，幼),8(物統(tǒng)),則點(diǎn)后㈤,一%).

=—4)

/娟_,得(4fc2+3)/—32收1+6狄2—12=0,A=(32fc2)2-4(4fc2+3)(64好一12)>0,解得

丁+亍=1

--I"Vk〈十，

“匚，32收64k2-12

從而為

直線AE的方程為y_y、=助+"(z一皿)，令y=0得工=,

斯—x2幼+V1

又,?*V\=—4),y-2—fc(x2—4),

22

?64fc-12432fc

22

nI加E](g-4)+kg(Z]—4)2gg—4(為+g)日「4fc+34fc+31

則0=而「4)+機(jī)廠4)=⑶+電)一8'即,二--------法「------=1，

4^3-8

故直線AE與w軸交于定點(diǎn)(1,0).

?2”2

4.(2023居江西省?州厚穩(wěn)外國語學(xué)校、豐城中學(xué)方三上學(xué)期10月聯(lián)考)已知雙曲線叫-匕=\經(jīng)過點(diǎn)

(2,—3),兩條漸近線的夾角為60°,直線/交雙曲線于AB兩點(diǎn).

(1)求雙曲線。的方程.

(2)若動(dòng)直線Z經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)用，是否存在立軸上的定點(diǎn)河(山,0),使得以線段AB為直徑的圓恒過

M點(diǎn)?若存在，求實(shí)數(shù)m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【解析】(1)：兩條漸近線的夾角為60°,/.漸近線的斜率±a=+V3或土噂^,即h=V3a或.b=

ClOJ

2

當(dāng)b=V3a時(shí)，由二一2=1得：a'2=i,〃=3,.?.雙曲線C的方程為：/一/=]；