彈性力學第二章第三節(jié)

彈性力學第二章第三節(jié)第1頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月一.指標表示法1.指標符號

具有相同性質(zhì)的一組物理量，可以用一個帶下標的字母表示：如：位移分量u、v、w表示為u1

、u2、u

3，縮寫為ui（i=1,2,3）坐標x、y、z表示為x1、x2、x3

，縮寫為xi（i=1,2,3）。單位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。第2頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月應力分量：可表示為：縮寫為：同理，應變分量可表示為：第3頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月向量表示為三階線性方程組可表示為縮寫為第4頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月2.愛因斯坦求和約定

在表達式的某項中，某指標重復出現(xiàn)一次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內(nèi)遍歷求和。重復指標稱為啞指標（簡稱啞標）例求和指標j求和指標i非求和指標稱為自由指標第5頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：（1）對于重復次數(shù)大于1的指標，求和約定無效。例：（2）啞標的有效范圍僅限于本項。（3）多重求和可采用不同的啞標表示。例：（4）啞標可局部地成對替換。（5）自由指標必須整體換名。（6）當自由指標恰好在同一項中重復出現(xiàn)一次，為避免混淆，應聲明對該指標不求和。例第6頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月3.求導數(shù)的簡記方法微分算符簡記法例:求和約定第7頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月第8頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月4.克羅內(nèi)克(Kroneker)符號第9頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月具有如下性質(zhì)(1)(2)也稱換名算子同理:第10頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月4.置換符號表示，有２７個分量。定義：１２３１２３２３１１２３３１２３２１２１３１３２有兩個以上的指標相同置換符號用于簡化公式的書寫．第11頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月行列式：第12頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月二.彈性力學方程的指數(shù)表示(1)平衡(運動)微分方程第13頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)幾何方程第14頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)物理方程第15頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)邊界條件力邊界條件:位移邊界條件:第16頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月1.迭加原理:

彈性體受幾組外力同時作用時的解(應力、應變和位移)等于每一組外力單獨作用時對應解的和.§2-8彈性力學的幾個基本定義 (1) 迭加原理成立的條件是微分方程和邊界條件是線性的.說明: (2) 對大變形問題,幾何方程將出現(xiàn)二次非線性項,平衡方程將受到變形的影響,迭加原理不再適用。 (3) 對非線彈性或彈塑性材料,應力應變關系為非線性,迭加原理不成立。 (4) 對非線性邊界條件,迭加原理也失效。第17頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月2.解的唯一性定理：

在給定載荷作用下，處于平衡狀態(tài)的彈性體，其內(nèi)部各點的應力、應變解是唯一的，如物體剛體位移受到約束，則位移解也是唯一的。

無論何方法求得的解，只要能滿足全部基本方程和邊界條件，就一定是問題的真解。第18頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月3.圣維南原理:

提法一：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，則 此力系對物體內(nèi)距該力系作用區(qū)域較遠的部分不產(chǎn)生 影響只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應力和變形。提法二：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，該 力系在物體中引起的應力將隨離力系作用部分的距離 的增大而迅速衰減，在距離相當遠處，其值很小，可 忽略不計。提法三：若作用在物體局部表面上的外力，用一個靜力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，則離此區(qū)域較 遠的部分所受影響可以忽略不計。第19頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月利用圣維南原理可放寬邊界條件，擴大彈性力學的解題范圍。第21頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月