高中數(shù)學數(shù)列壓軸題練習及詳解

1.已知數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,其前n項和為,且?,(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)數(shù)列知足,①求數(shù)列的通項公式;②能否存在正整數(shù)m,,使得,,成等差數(shù)列?若存在,求出m,n的值;若不存在,請說明原因.解:(I)設(shè)數(shù)列的公差為d,則由?,,得,計算得出或(舍去).;(Ⅱ)①,,,,即,,,,累加得:,也切合上式.故,.②假定存在正整數(shù)m、,使得,,成等差數(shù)列,則又,,,,即,化簡得:當,即時,,(舍去);當,即時,,切合題意.存在正整數(shù),,使得,,成等差數(shù)列.分析(Ⅰ)直接由已知列對于首項和公差的方程組,求解方程組得首項和公差,代入等差數(shù)列的通項公式得答案;(Ⅱ)①把數(shù)列的通項公式代入,而后裂項,累加后即可求得數(shù)列的通項公式;②假定存在正整數(shù)m、,使得,,成等差數(shù)列,則.由此列對于m的方程,求計算得出答案.在數(shù)列中,已知,求證:數(shù)列為等比數(shù)列;記,且數(shù)列的前n項和為,若為數(shù)列中的最小項,求的取值范圍.解:(1)證明:,又,,,故,是以3為首項,公比為3的等比數(shù)列(2)由(1)知道,,若為數(shù)列中的最小項,則對有恒建立,即對恒建立當時,有;當時,有?;當時,恒建立,對恒建立.令,則對恒建立,在時為單一遞加數(shù)列.即綜上,分析由,整理得:.由,,能夠知道是以3為首項,公比為3的等比數(shù)列;由(1)求得數(shù)列通項公式及前n項和為,由為數(shù)列中的最小項,則對有恒建立,分類分別求適當時和當?shù)娜≈捣秶?當時,,利用做差法,依據(jù)函數(shù)的單一性,即可求得的取值范圍.3.在數(shù)列中,已知,,,設(shè)為的前n項和.求證:數(shù)列是等差數(shù)列;求;(3)能否存在正整數(shù)p,q,,使,,成等差數(shù)列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,說明原因.證明:由,,獲得,則又,,數(shù)列是以1為首項,以-2為公差的等差數(shù)列;由(1)能夠推知:,所以,,所以,①②-②,得,,,所以假定存在正整數(shù)p,q,,使,,成等差數(shù)列.則,即由于當時,,所以數(shù)列單一遞減.又,所以且q起碼為2,所以,①當時,,又,所以,等式不建立.②當時,,所以所以,所以,(數(shù)列單一遞減,解獨一確立).綜上能夠知道,p,q,r的值分別是1,2,3.分析把給出的數(shù)列遞推式,,變形后獲得新數(shù)列,該數(shù)列是以1為首項,以-2為公差的等差數(shù)列;由(1)推出的通項公式,利用錯位相減法從而求得求;依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)獲得,從而推知p,q,r的值.4.已知n為正整數(shù),數(shù)列知足,,設(shè)數(shù)列知足求證:數(shù)列為等比數(shù)列;若數(shù)列是等差數(shù)列,務(wù)實數(shù)t的值;(3)若數(shù)列是等差數(shù)列,前n項和為,對隨意的,均存在,使得建立,求知足條件的全部整數(shù)的值.證明:數(shù)列知足,,?,?,數(shù)列為等比數(shù)列,其首項為,公比為2;(2)解:由(1)可得:?,,數(shù)列是等差數(shù)列,,,計算得出或12.時,,是對于n的一次函數(shù),所以數(shù)列是等差數(shù)列.時,,,不是對于n的一次函數(shù),所以數(shù)列不是等差數(shù)列.綜上可得;(3)解:由(2)得,對隨意的,均存在,使得建立,即有??,化簡可得,當,,,對隨意的,切合題意;當,,當時,,對隨意的,不切合題意.綜上可得,當,,對隨意的,均存在,使得建立.分析依據(jù)題意整理可得,?,再由等比數(shù)列的定義即可得證;(2)運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列中項的性質(zhì),可得,解方程可得t,對t的值,查驗即可獲得所求值;(3)由(2)可得,對隨意的,均存在,使得建立,即有??,議論為偶數(shù)和奇數(shù),化簡整理,即可獲得所求值.已知常數(shù),數(shù)列知足,(1)若,,①求的值;②求數(shù)列的前n項和;(2)若數(shù)列中存在三項,,挨次成等差數(shù)列,求的取值范圍.解:(1)①,,,,,,當時,,當時,,即從第二項起,數(shù)列是以1為首項,以3為公比的等比數(shù)列,數(shù)列的前n項和,,明顯當時,上式也建立,;(2),即單一遞加.當時,有,于是,,若數(shù)列中存在三項,,挨次成等差數(shù)列,則有,即,.所以不建立.所以此時數(shù)列中不存在三項,,挨次成等差數(shù)列.當時,有.此時于是當時,.從而若數(shù)列中存在三項,,挨次成等差數(shù)列,則有,同(i)能夠知道:.于是有,,是整數(shù),.于是,即.與矛盾.故此時數(shù)列中不存在三項,,挨次成等差數(shù)列.當時,有于是此時數(shù)列中存在三項,,挨次成等差數(shù)列.綜上可得:分析①,可得,同理可得,②,,當時,,當時,,即從第二項起,數(shù)列是以1為首項,以3為公比的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的乞降公式即可得出(2),可得,即單一遞加.當時,有,于是,可得,.利用反證法即可得出不存在.當時,有.此時.于是當時,.從而.假定存在,同(i)能夠知道:.得出矛盾,所以不存在.當時,有.于是.即可得出結(jié)論.6.已知兩個無量數(shù)列和的前n項和分別為,,,,對隨意的,都有(1)求數(shù)列的通項公式;若為等差數(shù)列,對隨意的,都有.證明:;(3)若為等比數(shù)列,,,求知足的n值.解:(1)由,得,即,所以由,,能夠知道所以數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列.故的通項公式為,證法一:設(shè)數(shù)列的公差為d,則,由(1)知,由于,所以,即恒建立,所以,即,又由,得,所以所以,得證.證法二:設(shè)的公差為d,假定存在自然數(shù),使得,則,即,由于,所以所以,由于,所以存在,當時,恒建立.這與“對隨意的,都有”矛盾!所以,得證.由(1)知,.由于為等比數(shù)列,且,,所以是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列.所以,則,由于,所以,所以而,所以,即當,2時,式建立;當時,設(shè),則,所以,故知足條件的n的值為1和2.分析運用數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義和通項公式,即可獲得所求;方法一、設(shè)數(shù)列的公差為d,求出,.由恒建立思想可得,求出,判斷符號即可得證;方法二、運用反證法證明,設(shè)的公差為d,假定存在自然數(shù),使得,推理可得,作差,推出大于0,即可得證;(3)運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的乞降公式,求得,,化簡,推出小于3,聯(lián)合等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列的單一性,即可獲得所求值.已知數(shù)列,都是單一遞加數(shù)列,若將這兩個數(shù)列的項按由小到大的次序排成一列(同樣的項視為一項),則獲得一個新數(shù)列(1)設(shè)數(shù)列,分別為等差、等比數(shù)列,若,,,求;(2)設(shè)的首項為1,各項為正整數(shù),,若新數(shù)列是等差數(shù)列,求數(shù)列的前n項和;(3)設(shè)是不小于2的正整數(shù)),,能否存在等差數(shù)列,使得對隨意的,在與之間數(shù)列的項數(shù)老是若存在,請給出一個知足題意的等差數(shù)列;若不存在,請說明原因.解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,依據(jù)題意得,,計算得出或3,因數(shù)列,單一遞加,所以,,所以,,所以,由于,,,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,又,且,所以,所以由于是中的項,所以設(shè),即當時,計算得出,不知足各項為正整數(shù);當時,,此時,只要取,而等比數(shù)列的項都是等差數(shù)列,中的項,所以;當時,,此時,只要取,由,得,是奇數(shù),是正偶數(shù),m有正整數(shù)解,所以等比數(shù)列的項都是等差數(shù)列中的項,所以綜上所述,數(shù)列的前n項和,或存在等差數(shù)列,只要首項,公差下證與之間數(shù)列的項數(shù)為.即證對隨意正整數(shù)n,都有,即建立.由,所以首項,公差的等差數(shù)列切合題意分析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,依據(jù)題意得,,計算得出或3,因數(shù)列,單一遞加,,,可得,,利用通項公式即可得出.設(shè)等差數(shù)列的公差為d,又,且,所以,所以.由于是中的項,所以設(shè),即.當時,計算得出,不知足各項為正整數(shù)當時,當時,即可得出.存在等差數(shù)列,只要首項,公差.下證與之間數(shù)列的項數(shù)為.即證對隨意正整數(shù)n,都有,作差利用通項公式即可得出.對于數(shù)列,稱(此中,為數(shù)列的前k項“顛簸均值”.若對隨意的,,都有,則稱數(shù)列為“趨穩(wěn)數(shù)列”.若數(shù)列1,x,2為“趨穩(wěn)數(shù)列”,求x的取值范圍;若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比,求證:是“趨穩(wěn)數(shù)列”;已知數(shù)列的首項為1,各項均為整數(shù),前k項的和為.且對隨意,,都有,試計算:.解:(1)依據(jù)題意可得,即,兩邊平方可得,計算得出;證明:由已知,設(shè),因且,故對隨意的,,都有,,,因,,,,,,,,,即對隨意的,,都有,故是“趨穩(wěn)數(shù)列”;當時,當時,,同理,,因,,即,所以或所以或由于,且,所以,從而,所以,.分析由新定義可得,解不等式可得x的范圍;運用等比數(shù)列的通項公式和乞降公式,聯(lián)合新定義,運用不等式的性質(zhì)即可得證;由隨意,,都有,可得,由等比數(shù)列的通項公式,可得,聯(lián)合新定義和二項式定理,化簡整理即可獲得所求值.已知首項為1的正項數(shù)列{an}知足+＜an+1an，n∈N*.1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范圍；2）設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}前n項的和，若Sn＜Sn+1＜2Sn，n∈N*，求q的取值范圍；（3）若a1，a2，，ak（k≥3）成等差數(shù)列，且a1+a2++ak=120，求正整數(shù)k的最小值，以及k取最小值時相應(yīng)數(shù)列a1，a2，，ak（k≥3）的公差.解：（1）由題意，an＜an+1＜2an，∴＜x＜3,x＜2x，x∈（2，3）.（2）∵an＜an+1＜2an，且數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，a1=1，n-1n＜2qn-1，∴q＜qn-1(q-)n-1(q-2)＜0，∴q＞0，q∴q∈（，1）.∵Sn＜Sn+1＜2Sn，當q=1時，S2=2S1，不知足題意，當q≠1時，＜＜2?，∴①當q∈（，1）時，，即，∴q∈（，1）.②當q∈（1，2）時，，即，無解，∴q∈（，1）.（3）設(shè)數(shù)列a1，a2，，ak（k≥3）的公差為d.∵an＜an+1＜2an，且數(shù)列a1，a2，，an成等差數(shù)列，∴a1=1，∴[1+(n-1)d]＜1+nd＜2[1+(n-1)d]，n=1，2，，k-1，∴，∴d∈（-，1）.∵a1+a2++ak=120，∴Sk=k2+(a1-)k=k2+(1-)k=120，∴d=，∴∈（-，1），k∈（15，239），k∈N*，∴k的最小值為16，此時公差d=.分析【解題方法提示】剖析題意，對于（1），由已知聯(lián)合完整平方公式可