山西省忻州市修遠中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

山西省忻州市修遠中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（﹣x），當(dāng)時，f（x）=log2（x+1），則f（x）在區(qū)間內(nèi)是（）A．減函數(shù)且f（x）＞0 B．減函數(shù)且f（x）＜0 C．增函數(shù)且f（x）＞0 D．增函數(shù)且f（x）＜0參考答案：B【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】令x∈，利用已知表達式及函數(shù)的奇偶性知f（x）=﹣log2x，從而可得答案．【解答】解：設(shè)x∈，則x﹣1∈，根據(jù)題意，f（x）=f（﹣x+1）=﹣f（x﹣1）=﹣log2（x﹣1+1）=﹣log2x，故選：B．2.（5分）（2015?萬州區(qū)模擬）設(shè)復(fù)數(shù)z=（a∈R，i為虛數(shù)單位），若z為純虛數(shù)，則a=（）A．﹣1B．0C．1D．2參考答案：【考點】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．【分析】：根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運算，即可得到結(jié)論．【解答】：z===，若z為純虛數(shù)，則且，解a=1，故選：C【點評】：本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，利用復(fù)數(shù)的基本運算先化簡是解決本題的關(guān)鍵．3.若，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C∵，∴，故選：C．4.已知，，是同一平面內(nèi)的三個向量，設(shè)是單位向量，若，則的最小值為（

）A.0 B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算得到，再整體換元求最值即可．【詳解】設(shè)，，則，∴（其中是向量，的夾角，是向量，的夾角），設(shè)，則，∴，此時，，即與反向.故選：B【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積的運算，考查了向量夾角定義和二次函數(shù)求最值的方法，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.5.若點P是曲線y=x2﹣lnx上任意一點，則點P到直線y=x﹣2的最小距離為(

)A． B．1 C． D．2參考答案：C【考點】點到直線的距離公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由題意知，當(dāng)曲線上過點P的切線和直線y=x﹣2平行時，點P到直線y=x﹣2的距離最?。蟪銮€對應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得切點的坐標，此切點到直線y=x﹣2的距離即為所求．【解答】解：點P是曲線y=x2﹣lnx上任意一點，當(dāng)過點P的切線和直線y=x﹣2平行時，點P到直線y=x﹣2的距離最?。本€y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx，得y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），故曲線y=x2﹣lnx上和直線y=x﹣2平行的切線經(jīng)過的切點坐標為（1，1），點（1，1）到直線y=x﹣2的距離等于，∴點P到直線y=x﹣2的最小距離為，故選：C．【點評】本題考查點到直線的距離公式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法及導(dǎo)數(shù)的意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．6.設(shè)集合An={x|（x﹣1）（x﹣n2﹣4+lnn）＜0}，當(dāng)n取遍區(qū)間（1，3）內(nèi)的一切實數(shù)，所有的集合An的并集是(

) A．（1，13﹣ln3） B．（1，6） C．（1，+∞） D．（1，2）參考答案：A考點：函數(shù)的值域；并集及其運算．專題：函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：先求不等式的解集，再構(gòu)造函數(shù)求出所有函數(shù)的值域再求值域的并集就可以了．解答： 解：（x﹣1）（x﹣n2﹣4+lnn）=0的兩根為x1=1，，又n2+4﹣lnn＞1，∴，設(shè)f（n）=n2+4﹣lnn，n∈（1，3），則，在n∈（1，3）時f′（n）＞0，∴f（n）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞增，即f（n）＜f（3）=13﹣ln3，所以集合An的并集為（1，13﹣ln3）．故選：A．點評：本題利用構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的值域，注意先要求出不等式的解集，再求解集的并集．本題對初學(xué)者來講有一定的難度，屬于中檔題．7.已知為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖像是（

）

參考答案：A易知：，易知是奇函數(shù)，所以B、D排除；又，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，因此選A。8.已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，則a=

A．—2

B．—i

C．1

D．2參考答案：D略9.若函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍為(

)A. B. C.(0,+∞) D.參考答案：D【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上的單調(diào)性，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，且，即可判斷其沒有零點，不符合條件；當(dāng)時，在上先減后增，有最小值且小于零，再結(jié)合冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長速度大小關(guān)系，即可判斷當(dāng)趨于時，趨于，由零點存在性定理即可判斷其必有零點，符合題意，從而確定的范圍.【詳解】因為函數(shù)，所以令，因為，當(dāng)時，，所以所以在上為增函數(shù)，則，當(dāng)時，，所以，所以在上為增函數(shù)，則，所以在上沒有零點.當(dāng)時，即，因為在上為增函數(shù)，則存在唯一的，使得，且當(dāng)時，，當(dāng)時，；所以當(dāng)時，，為減函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，因為，當(dāng)趨于時，趨于，所以在內(nèi)，一定存在一個零點.所以，故答案選D.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點存在性問題中的應(yīng)用，屬于難題.對于零點存在性問題，有兩種思考方向：（1）直接利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，討論函數(shù)零點的情況；（2）先將函數(shù)零點問題等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題，再利用導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合函數(shù)圖像討論兩函數(shù)交點情況，從而確定函數(shù)零點的情況.10.若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=﹣1，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞k＞1，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【專題】創(chuàng)新題型；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念得出＞k＞1，用x=代入可判斷出f（）＞，即可判斷答案．【解答】解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，當(dāng)x=時，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出錯，故選：C．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念，不等式的化簡運算，屬于中檔題，理解了變量的代換問題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面上，，且，，．若，則的取值范圍是

．參考答案：分別以、為、軸建立直角坐標系，設(shè)，由得.設(shè)，由得，即，，,即的取值范圍是.另，可看作直線上動點與定點的距離，通過數(shù)形結(jié)合，明顯.12.有下列四個命題：

①若，則函數(shù)的最小值為；

②已知平面，，直線，，若，，，則∥；

③在△ABC中，和的夾角等于；④等軸雙曲線的離心率為2。其中所有真命題的序號是

。參考答案：③①錯當(dāng)，得（0，1]，函數(shù)的最小值不是；②錯，∥或與異面或與相交均有可能；③正確；④錯，等軸雙曲線的離心率為。13.已知點A(，)在拋物線C：y2=2px(p>0)的準線上，點M、N在拋物線C上，且位于x軸的兩側(cè)，O是坐標原點，若=3，則點A到動直線MN的最大距離為

．參考答案：14.住在狗熊嶺的7只動物，它們分別是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，蘿卜頭，圖圖.為了更好的保護森林，它們要選出2只動物作為組長，則熊大，熊二至少一只被選為組長的概率為______.參考答案：【分析】先求出任選2只動物的方法數(shù)，然后再求出熊大，熊二至少一只被選出的方法數(shù)，最后由古典概型概率公式計算概率．【詳解】從7只動物中任選2人的方法數(shù)為，熊大，熊二至少一只被選中的方法數(shù)為，∴所求概率為．故答案為．【點睛】本題考查古典概型概率公式，解題關(guān)鍵是確定基本事件的個數(shù)．15.如圖，PC、DA為的切線，A、C為切點，AB為⊙O的直徑，若D，則AB=

。參考答案：略16.已知O為△ABC的外心，AB=2，AC=4，cos∠BAC=.若，則x+y=

參考答案：17.已知集合A=，則A∩B=．參考答案：（2，3]【考點】交集及其運算．【專題】計算題；集合．【分析】求出A與B中不等式的解集確定出A與B，找出兩集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：2﹣1≤2x≤23，即﹣1≤x≤3，∴A=（﹣1，3），由B中不等式變形得：log2（x2﹣x）＞1=log22，即x2﹣x＞2，分解得：（x﹣2）（x+1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞2，即B=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），則A∩B=（2，3]，故答案為：（2，3]【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和為，證明：當(dāng)時，（1）；（2）；（3）.參考答案：證明：（1）由于，則.若，則，與矛盾，從而，，又，與同號，又，則，即.（2）由于，則.即，，當(dāng)時，從而當(dāng)時，，從而.（3），疊加：.19.設(shè)函數(shù)f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若?x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）利用零點分區(qū)間討論去掉絕對值符號，化為分段函數(shù)，在每一個前提下去解不等式，每一步的解都要和前提條件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后結(jié)果找并集得出不等式的解；（2）根據(jù)第一步所化出的分段函數(shù)求出函數(shù)f（x）的最小值，若?x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m成立，只需4m﹣2m2＞fmin（x），解出實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）①當(dāng)x＜﹣2時，f（x）=1﹣2x+x+2=﹣x+3，令﹣x+3＞0，解得x＜3，又∵x＜﹣2，∴x＜﹣2；②當(dāng)﹣2≤x≤時，f（x）=1﹣2x﹣x﹣2=﹣3x﹣1，令﹣3x﹣1＞0，解得x＜﹣，又∵﹣2≤x≤，∴﹣2≤x＜﹣；③當(dāng)x時，f（x）=2x﹣1﹣x﹣2=x﹣3，令x﹣3＞0，解得x＞3，又∵x，∴x＞3．綜上，不等式f（x）＞0的解集為（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．（Ⅱ）由（I）得f（x）=，∴fmin（x）=f（）=﹣．∵?x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，∴4m﹣2m2＞﹣，整理得：4m2﹣8m﹣5＜0，解得：﹣＜m＜，∴m的取值范圍是（﹣，）．20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在的最大值為，求的值.參考答案：(1)

……….1分其判別式，因為，所以，，對任意實數(shù)，恒成立，Ks5u所以，在上是增函數(shù)……….4分（2）當(dāng)時，由（1）可知，在上是增函數(shù)，所以在的最大值為，由，解得（不符合，舍去）……………6分當(dāng)時，，方程的兩根為，，………8分圖象的對稱軸因為

（或）,所以

由解得①當(dāng)，，因為，所以時，,在是減函數(shù)，在的最大值，由，解得（不符合，舍去）.………………….………12分②當(dāng)，，，，在是減函數(shù)，

當(dāng)時，，在是增函數(shù).所以在的最大值或，由，，解得（不符合，舍去），……14分綜上所述21.（本小題滿分10分）設(shè)銳角△ABC的三內(nèi)角的對邊長分別為a、b、c，已知b是a、c的等比中項，且.(1)求角的大??；(2)若，求函數(shù)的值域.參考答案：解:（Ⅰ）因為a、b、c成等比數(shù)列，則.由正弦定理得.又，所以.而sinB＞0，則.因，故B＝.5分

（Ⅱ）因為，則.，則，所以.

故函數(shù)的值域是.

------------------------------------------------------------10分22.（本小題滿分12分）某商場為吸引顧客消費推出一項優(yōu)惠活動，活動規(guī)則如下：消費額每滿100元可轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應(yīng)金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置.若指針停在區(qū)域返券60元；停在區(qū)域返券30元；停在區(qū)域不返券.例如：消費218元，可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和.（1）若某位顧客消費128元，求返券金額不低于30元