高中數(shù)學(xué)第二章圓柱圓錐與圓錐曲線2.2.3圓錐面及其內(nèi)切球課件新人教B版選修4-

2.2.3圓錐面及其內(nèi)切球1.掌握?qǐng)A錐面、雙曲線、拋物線的定義.2.掌握垂直截面、一般截面與圓錐面的交線形狀.3.通過(guò)Dandelin雙球探求雙曲線的性質(zhì),理解這種證明問(wèn)題的方法.1.圓錐面(1)如圖,取直線l為軸,直線l'與l相交于點(diǎn)O,其夾角為θ(0°<θ<90°),l'繞l旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn),l'為母線的圓錐面.(2)圓錐面有以下的一些基本性質(zhì):性質(zhì)1:圓錐面的軸線和每一母線的夾角相等.性質(zhì)2:如果一平面垂直于圓錐面的軸線,則其截圓錐面所得的截線是圓.【做一做】

直線l1與l2相交于點(diǎn)P,則l2繞l1旋轉(zhuǎn)一周得到的是(

)A.圓柱面

B.圓錐面C.平面

D.圓錐面或平面答案:D2.圓錐面的內(nèi)切球及性質(zhì)如圖,設(shè)圓錐面S的母線與軸線的夾角為α,在圓錐面S的軸線上任取一個(gè)與頂點(diǎn)S不同的點(diǎn)O,設(shè)SA為任一條母線,作OH⊥SA于點(diǎn)H,則OH=SOsinα.由此可知,點(diǎn)O到圓錐面S每一條母線的距離都相等.以O(shè)為球心,OH為球的半徑作球O,則每一條母線都與球O相切.于是,從S出發(fā)的每一條切線長(zhǎng)相等,切點(diǎn)在軸上的正投影都落在同一點(diǎn)C,所有切點(diǎn)與點(diǎn)C的距離相等,并且在通過(guò)點(diǎn)C且垂直于軸線的同一平面上,所以圓錐面S的每一條母線與球O相切的切點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.這個(gè)圓通常稱做切點(diǎn)圓,球O叫做圓錐面S的內(nèi)切球.由以上分析可知,圓錐面與內(nèi)切球的交線是一個(gè)圓,并且該圓所在平面垂直于該圓錐面的軸線.3.圓錐面的平面截線(1)雙曲線:如圖,平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1和F2的距離差的絕對(duì)值為常數(shù)(常數(shù)小于兩定點(diǎn)間的距離).我們稱動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線,其中F1和F2稱為雙曲線的焦點(diǎn).(2)拋物線:如圖,平面內(nèi)到定點(diǎn)F及定直線m的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線,其中F稱為拋物線的焦點(diǎn),直線m稱為拋物線的準(zhǔn)線.名師點(diǎn)撥拋物線定義中的定點(diǎn)F不在定直線m上,否則點(diǎn)P的軌跡不是拋物線,是過(guò)點(diǎn)F垂直于m的直線.(3)定理:在空間給定一個(gè)圓錐面S,軸線與母線的夾角為α,任取一個(gè)不通過(guò)S的頂點(diǎn)的平面δ,設(shè)其與軸線的夾角為β(δ與軸線平行時(shí),規(guī)定β=0),則①當(dāng)β>α?xí)r,平面δ與圓錐面的交線為橢圓;②當(dāng)β=α?xí)r,平面δ與圓錐面的交線為拋物線;③當(dāng)β<α?xí)r,平面δ與圓錐面的交線為雙曲線.圓錐曲線剖析用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面,得到的交線就稱為圓錐曲線.通常提到的圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線,但嚴(yán)格來(lái)講,它還包括一些退化情形.具體而言:(1)當(dāng)平面與圓錐面的母線平行,且不過(guò)圓錐面的頂點(diǎn)時(shí),交線為拋物線.(2)當(dāng)平面與圓錐面的母線平行,且過(guò)圓錐面的頂點(diǎn)時(shí),交線退化為一條直線.(3)當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交,且不過(guò)圓錐面的頂點(diǎn),與圓錐面的軸線不垂直時(shí),交線為橢圓.(4)當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交,且不過(guò)圓錐面的頂點(diǎn),并與圓錐面的軸線垂直時(shí),交線為圓.(5)當(dāng)平面與圓錐面兩側(cè)都相交,且不過(guò)圓錐面的頂點(diǎn)時(shí),交線為雙曲線.(6)當(dāng)平面與圓錐面兩側(cè)都相交,過(guò)圓錐面的頂點(diǎn)且不與母線平行時(shí),交線為兩條相交直線.(7)當(dāng)平面與軸線的夾角大于母線與軸線的夾角,且過(guò)圓錐面的頂點(diǎn)時(shí),交線為一個(gè)點(diǎn).題型一題型二【例1】

如圖,雙曲線的焦點(diǎn)為F1,F2,過(guò)F1作直線交雙曲線的左支于A,B兩點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2a,且AB=m,求△ABF2的周長(zhǎng).分析本題中AF1,AF2,BF1,BF2都是焦半徑,而△ABF2的周長(zhǎng)恰好是這四條焦半徑之和,應(yīng)用雙曲線的定義便可得.∴AF2+BF2-(AF1+BF1)=4a.又AF1+BF1=AB=m,∴AF2+BF2=4a+m,∴△ABF2的周長(zhǎng)為AF2+BF2+AB=(4a+m)+m=4a+2m.題型一題型二反思雙曲線的定義是解決雙曲線問(wèn)題的核心,當(dāng)已知條件中出現(xiàn)焦半徑(圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線)時(shí),常常利用雙曲線的定義來(lái)解決問(wèn)題.題型一題型二【例2】

如圖,圓C的半徑r=1,圓心C到直線l的距離為3,動(dòng)圓M與圓C外切,且與直線l相切,試判斷動(dòng)圓圓心M的軌跡.分析利用圓M和圓C外切,與直線l相切來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與動(dòng)點(diǎn)M到直線l的距離之間的關(guān)系.題型一題型二解:如圖,設(shè)直線l'與直線l的距離為1,且直線l'與點(diǎn)C位于直線l的兩側(cè),動(dòng)圓M的半徑為r',直線l與圓M相切于點(diǎn)A,連接MC,MA并延長(zhǎng)MA交l'于點(diǎn)B,則MB⊥l'.∵動(dòng)圓M與圓C外切,∴MC=1+r'.∵動(dòng)圓M與直線l相切,∴MA=r',∴MB=1+r',∴MC=MB,即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)C的距離和到定直線l'的距離相等,∴動(dòng)圓圓心M的軌跡是以C為焦點(diǎn),以直線l'為準(zhǔn)線的拋物線.反思與橢圓和雙曲線相比,拋物線是用一個(gè)點(diǎn)和一條直線來(lái)定義的,因此已知條件中出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線時(shí),常利用拋物線的定義來(lái)判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡.123451.已知拋物線C的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2,P是拋物線上任意一點(diǎn),則PF的最小值是(

)解析:如圖,過(guò)F作準(zhǔn)線l的垂線,垂足為K,交拋物線于點(diǎn)O,過(guò)P作準(zhǔn)線l的垂線,垂足為M,又PF=PM,則PF的最小值等于OK的長(zhǎng),為1.答案:B123452.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,實(shí)軸長(zhǎng)2a=6,虛軸長(zhǎng)2b=8,P為雙曲線右支上的一點(diǎn),且PF2=F1F2,則PF1=(

)所以PF2=F1F2=10.又P為雙曲線右支上的一點(diǎn),則PF1>PF2,所以PF1-PF2=2a=6,所以PF1=2a+PF2=6+10=16.答案:D123453.若動(dòng)點(diǎn)P到定直線l的距離與到定點(diǎn)F的距離的差等于1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(

)A.雙曲線

B.拋物線C.拋物線的一部分

D.雙曲線的一支解析:如圖,過(guò)P作直線l的垂線,垂足為A,在PA上取一點(diǎn)B,使得AB=1,過(guò)點(diǎn)B作直線l的平行線l',則PB=PF,即動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離等于到定直線l'的距離,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線.答案:B123454.如圖,過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作準(zhǔn)線l的垂線,垂足為K,交拋物線于點(diǎn)O,M是拋物線上一點(diǎn),且MA⊥l于點(diǎn)A,若MA=3,MK=4,FK=5,則MO=

.

解析:如圖,連接MF,則MF=MA=3,則在△MFK中,MF2+MK2=32+42=25=FK2,所以MK⊥MF,123455.設(shè)F1,F2是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)2a=4,虛軸長(zhǎng)2b=6,P是雙曲線左支上的點(diǎn),若PF1,PF2,F1F2成等差數(shù)列,且公差大于0,則∠F1PF2=

.

解析:F1F2=