多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用

多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第1頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引言在一元函數(shù)積分學(xué)中,我們知道定積分是某種確定形式的和的極限.極限的概念推廣到定義在區(qū)域、曲線及曲面上多元函數(shù)的情形，便得到重積分、曲線積分及曲面積分的概念.這種和的將函數(shù)在這些區(qū)域、曲線及曲面上的積分統(tǒng)稱為函數(shù)在幾何形體上的積分.第2頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)多元函數(shù)積分的概念與性質(zhì)1.物體質(zhì)量的計(jì)算設(shè)有一質(zhì)量非均勻分布的物體，其密度是點(diǎn)M的函數(shù)如果函數(shù)f已知，怎樣求物體的質(zhì)量呢？第3頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在定積分中，一根線密度為的細(xì)直棒AB，它的質(zhì)量可通過分割、近似、求和、取極限四個(gè)步驟化為定積分第4頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平面薄板的質(zhì)量設(shè)它所占的平面區(qū)域?yàn)镈，其密度為在D上連續(xù)，類似于對(duì)直棒的處理------“化整為零”可按如下步驟計(jì)算它的質(zhì)量.第5頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【分割】【近似】把D任意劃分為n個(gè)子域示面積）【求和】【取極限】（也表第6頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月薄板的質(zhì)量細(xì)棒的質(zhì)量均可由相同形式的和式極限來確定.一般地，設(shè)有一質(zhì)量非均勻分布在某一幾何形體G上的物體(G可以是直線段、平面或空間區(qū)域、一片曲面或一段曲線),其質(zhì)量可以按照以上四個(gè)步驟來計(jì)算：第7頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月把G任意劃分為n個(gè)子域示度量）（也表【分割】【近似】【求和】【取極限】上質(zhì)量分布近似看作均勻第8頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.多元函數(shù)積分的概念定義設(shè)G表示一個(gè)有界的可度量幾何形體，第9頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第10頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月被積函數(shù)元素積分域被積式或積分微元積分號(hào)積分和第11頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)G為不同的幾何形體時(shí)，對(duì)應(yīng)的積分有不同的名稱和表達(dá)式：（1）當(dāng)G是x軸上的閉區(qū)間[a,b],稱為定積分第12頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）當(dāng)G為平面有界閉區(qū)域（常記為D）時(shí)，（3）當(dāng)G為空間有界閉區(qū)域（常記為）時(shí)，稱為二重積分稱為三重積分第13頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（4）當(dāng)G為平面有限曲線段（常記為L(zhǎng)）或空間有限曲線段（常記為）時(shí)，稱為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分稱為積分路徑，ds稱為弧長(zhǎng)元素.第14頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（5）當(dāng)G為空間有限曲面片（常記為∑）時(shí)，稱為對(duì)面積的曲面積分稱為積分曲面，dS稱為曲面面積元素.第15頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1討論二重積分的幾何意義.解D任意劃分為n個(gè)子域曲頂柱體第16頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月小平頂柱體體積高×底面積小柱體體積無(wú)限累加得到以曲面為頂，區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積V.第17頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二重積分的幾何意義二重積分是曲頂柱體的體積的負(fù)值.當(dāng)被積函數(shù)當(dāng)被積函數(shù)其投影D為底曲頂柱體的體積.二重積分是曲面第18頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.多元函數(shù)積分的性質(zhì)多元積分的存在性與定積分類似：第19頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)1（線性性質(zhì)）第20頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)2（區(qū)域可加性）定積分二重積分第21頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)3對(duì)于二重積分來說（積分區(qū)間的長(zhǎng)度）定積分第22頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)4（比較性）二重積分：定積分第23頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)5(估值性）定積分二重積分：第24頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)6（積分中值定理）二重積分：定積分第25頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2估計(jì)積分的值,其中D是矩形域解在區(qū)域D上,由于有(確定被積函數(shù)在D上的最大值和最小值)所以又積分區(qū)域D的面積是由估值性質(zhì)(5)，第26頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

多元函數(shù)積分可看作定積分推廣為多元函數(shù)在不同幾何形體上的積分.n重積分

(多元函數(shù)在n維空間中的

有界閉區(qū)域上的積分)曲面積分（多元函數(shù)在有限曲面片上的積分）曲線積分（多元函數(shù)在有限曲線段上的積分）小結(jié)第27頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.多元函數(shù)積分的定義定積分重積分第28頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分：對(duì)面積的曲面積分：第29頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幾種幾何形體上的積分：D閉區(qū)間[a,b]L(平面有界閉區(qū)域)（平面有限曲線段）（有限曲面片）(空間有界閉區(qū)域)(空間有限曲線段)二重積分三重積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分第30頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、多元函數(shù)積分的性質(zhì)線性性、可加性、比較性、估值性、積分中值定理.第31頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若一個(gè)非均勻物體，其形狀如上述幾何形體G，其密度為G上的函數(shù)，則在G的元素dg上，其質(zhì)量應(yīng)是于是該物體的總質(zhì)量為第32頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二重積分的幾何意義：第33頁(yè)，課件共35頁(yè)，創(chuàng)作于2023